高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省部分學(xué)校A佳聯(lián)考2024屆高三5月模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)10000個(gè)零件，現(xiàn)連續(xù)12天檢測(cè)，得到每天的次品零件個(gè)數(shù)依次為：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，則這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與第60百分位數(shù)之和是（）A.29 B.30 C.30.5 D.31〖答案〗B〖解析〗將這12個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為，，所以排列后的第8個(gè)數(shù)即為第60百分位數(shù)：16，中位數(shù)為，故所求為：.故選：B.2.雙曲線的上焦點(diǎn)到雙曲線一條漸近線的距離為，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（）A. B.4 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由對(duì)稱性，不妨設(shè)，雙曲線的漸近線是，則由題意，解得，故所求為.故選：A.3.已知m，n是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，若，，則或，則m，n相交、平行、異面都有可能，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則與相交或平行，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，又，則或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得或，若，則存在過(guò)的平面與相交，令交線為，則，而，于是，；若，而，則，因此，D正確.故選：D.4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，則下列命題正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，（c為常數(shù)），是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，，則，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，B正確；對(duì)于C，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，D錯(cuò)誤.故選：B5.若，則（）A. B. C.1 D.或〖答案〗A〖解析〗由，可得，，兩邊同時(shí)除以并整理可得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，，不符合題意，所以.故選：A.6.已知一個(gè)多邊形的周長(zhǎng)等于，所有各邊的長(zhǎng)成等差數(shù)列，最大的邊長(zhǎng)為，公差為，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A.4 B.6 C.23 D.6或23〖答案〗B〖解析〗由題意可知：，則，即，得，解得：或.當(dāng)時(shí)，不合題意；故選：B.7.某大學(xué)一宿舍4名同學(xué)參加2024年研究生招生考試，其中兩人順利上初試線，還有兩人差幾分上線，這兩名學(xué)生準(zhǔn)備從A，B，C，D，E，F(xiàn)這6所大學(xué)中任選三所大學(xué)申請(qǐng)調(diào)劑，則這兩名學(xué)生在選擇了相同大學(xué)的條件下，恰好選擇了兩所相同大學(xué)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，這兩名學(xué)生恰好選擇了兩所相同大學(xué)的方法總數(shù)為：，這兩名學(xué)生選擇了相同大學(xué)的方法總數(shù)為：，所以所求概率.故選：C.8.已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若，且的面積為，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗我們首先來(lái)證明一個(gè)引理：若，則，證明如下：設(shè)，則由余弦定理有，即，所以，所以，從而引理得證；根據(jù)題意可得，，解得，因?yàn)椋?，解得，由，，可得三角形為等邊三角形，所以，所以，所以，所以是的中點(diǎn)，所以，所以，即，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是某個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)〖解析〗式，其部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（）A.B.這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相為或C.在上單調(diào)遞減D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于AB，由題意，，因?yàn)椋曰?，?dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)只能是當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)無(wú)解，綜上所述，，這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的初相為，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意，當(dāng)時(shí)，，而在上不單調(diào)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)，顯然，且的定義域（全體實(shí)數(shù)）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是偶函數(shù)，故D正確.故選：AD.10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（）A.三棱錐的體積是定值B.存在點(diǎn)P，使得與所成的角為C.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D.若，則P的軌跡的長(zhǎng)度為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，是定值，A正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則對(duì)于B，，使得與所成的角滿足：，因?yàn)?，故，故，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平面的法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為：，因?yàn)?，故故，而，，故即的取值范圍為，C正確；對(duì)于D，，由，可得，化簡(jiǎn)可得，在平面內(nèi)，令，得，令，得，則P的軌跡的長(zhǎng)度為，D正確；故選：ACD.11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是的導(dǎo)函數(shù)，且滿足：是奇函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A.是奇函數(shù) B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由，得，則，又是奇函數(shù)，即，從而，，即，則是奇函數(shù)，A正確；對(duì)于B，在中，令，可得，在中，令，可得，從而，B正確；對(duì)于C，在中，以代，可得，與求和，可得，令，可得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由以及，可得，從而，則是周期為3的周期函數(shù)，，，，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)是方程的兩根，則______.〖答案〗4〖解析〗由韋達(dá)定理有，且，所以.13.已知，點(diǎn)P是以線段為直徑的圓上任意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)B的距離的倍，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗以AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，于是，化簡(jiǎn)得：，即，因此點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，為半徑的一個(gè)圓，與的位置關(guān)系是相交，所以14.對(duì)集合，其中，定義向量集合，若對(duì)任意，存在，使得，則______.〖答案〗5或〖解析〗取，則存在使得，從而可得，即，所以一定是一正一負(fù)（因?yàn)?不屬于集合），不妨令，則，所以，所以，取，則存在使得，從而可得，若，則矛盾，故不可能同時(shí)大于0，若，則矛盾，故不可能同時(shí)小于0，所以必定有一正一負(fù)，所以有：，則，或，則，情況一：當(dāng)，時(shí)，，從而，或（舍去，集合元素間互異），或，即（舍去，與矛盾），此時(shí)（這里不考慮具體與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因?yàn)橛杉臃ń粨Q律可知，兩個(gè)加數(shù)交換位置不影響結(jié)果），情況一：當(dāng)，，，從而，即（舍去，集合元素間互異），或（舍去，集合元素間互異），或，即，此時(shí)（這里不考慮具體與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因?yàn)橛杉臃ń粨Q律可知，兩個(gè)加數(shù)交換位置不影響結(jié)果），綜上所述，或.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.陽(yáng)春三月，油菜花進(jìn)入最佳觀賞期，長(zhǎng)沙縣江背鎮(zhèn)、望城光明村彭家老屋、瀏陽(yáng)達(dá)滸油菜花田、岳麓區(qū)含泰社區(qū)油菜花田都免費(fèi)向市民、游客開放，長(zhǎng)沙某三所高級(jí)中學(xué)A，B，C組織學(xué)生去這四個(gè)景區(qū)春游，已知A，B兩所學(xué)校去每個(gè)景區(qū)春游的可能性都相同，C學(xué)校去岳麓區(qū)含泰社區(qū)春游的可能性為，去其它三個(gè)景區(qū)春游的可能性相同.（1）求望城光明村彭家老屋迎來(lái)三所學(xué)校春游的概率；（2）長(zhǎng)沙縣江背鎮(zhèn)迎來(lái)學(xué)校所數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：（1）依題意，A，B兩所學(xué)校去每個(gè)景區(qū)春游的概率都是，C學(xué)校去岳麓區(qū)含泰社區(qū)春游的概率為，去其它三個(gè)景區(qū)春游的概率為所以望城光明村彭家老屋迎來(lái)三所學(xué)校春游的概率為：.（2）依題意，長(zhǎng)沙縣江背鎮(zhèn)迎來(lái)學(xué)校所數(shù)X的可能值為：0，1，2，3，,，，所以長(zhǎng)沙縣江背鎮(zhèn)迎來(lái)學(xué)校所數(shù)X的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.16.如圖，四棱錐的底面是梯形，平面.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）解：因?yàn)槠矫妫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又，所以兩兩互相垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為n1=x則，即，取，滿足條件，所以可取，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，解得，所以，由題意，化簡(jiǎn)并整理得，解得或（舍去），所以，綜上所述，棱上是否存在一點(diǎn)E，且，使得二面角的余弦值為.17.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，.（1）求E的方程；（2）直線，過(guò)l上一點(diǎn)P作E的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N.求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）由已知，，過(guò)F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)的方程為，Ax1,聯(lián)立，得，則，則，所以，解得，故拋物線E的方程為：.（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，，即，所以，，令，當(dāng)時(shí)，可化為，則，則在處的切線的方程為：，即，同理可得切線的方程為：，聯(lián)立與的方程，解得，所以，則，滿足，則直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為.18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，即，①當(dāng)時(shí)，，恒成立，在R上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減，在R上至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件，當(dāng)時(shí)，，令，則，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，于是，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，①若，則fxmin=ga>0，故②若，則，僅有一個(gè)實(shí)根，不滿足條件；③若，則，注意到，f-2=于是在上有一個(gè)實(shí)根，又，且，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，hx≥h(43則，又，即，則有，即，于是在上有一個(gè)實(shí)根，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此在R上至多兩個(gè)實(shí)根，又在及上均至少有一個(gè)實(shí)根，則在R上恰有兩個(gè)實(shí)根，所以時(shí)，在R上恰有兩個(gè)實(shí)根.19.角谷猜想，也稱為“”猜想.其內(nèi)容是：任取一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，將它除以2；如果是奇數(shù)，則將它乘以3再加上1，如此反復(fù)運(yùn)算，該數(shù)最終將變?yōu)?.這就是對(duì)一個(gè)正整數(shù)運(yùn)算時(shí)“萬(wàn)數(shù)歸1”現(xiàn)象的猜想.假如對(duì)任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實(shí)施第1次運(yùn)算后的結(jié)果記為，實(shí)施第2次運(yùn)算后的結(jié)果記為，…，實(shí)施第次運(yùn)算后的結(jié)果記為，實(shí)施第n次運(yùn)算后得到數(shù)1，停止運(yùn)算，便可以得到有窮數(shù)列，1，其遞推關(guān)系式為：叫做數(shù)列an的原始項(xiàng).將此遞推關(guān)系式推廣為：（，且），其它規(guī)則不變，得到的數(shù)列記作數(shù)列，試解答以下問(wèn)題：（1）若，則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為______；（2）求數(shù)列的原始項(xiàng)的所有可能取值構(gòu)成的集合；（3）若對(duì)任意的數(shù)列，均有，求d的最小值.解：（1），，所以數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為5.（2），下面證明對(duì)于任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，均存在數(shù)列an為數(shù)列，時(shí)，符合題意，反證，假設(shè)存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不存在數(shù)列an為數(shù)列，設(shè)此時(shí)的最小值為，即時(shí)，存在數(shù)列，時(shí)，不存在數(shù)列，①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，因?yàn)榇嬖谝詾樵柬?xiàng)的數(shù)列，，所以就是原始項(xiàng)為的數(shù)列，與