廣東省部分學(xué)校2025屆新高三上學(xué)期開學(xué)摸底聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢

測

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合。=區(qū)，集合/=卜|-3Vx<1},5={x|0<x<2},則圖中陰影部分表示的集

C.(0,1)D.(2,3)

2.若z=2一一不”R)且⑶d則x取值的集合為()

A.{2}B.{3}C.{3,7}D.{1,3}

3.已知首項為1的等比數(shù)列{叫的前”項和為Sn,若$7=16$4-15,貝I]%=()

A.24B.12C.20D.15

4.設(shè)向量)=(3,4)3=(1,-1),則萬在3方向上的投影向量為()

A.(2,-2)B,(-2,2)C,D.&一；]

5.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N。,/),若尸(X<0)+尸(X<3)=占，則尸(2<X<3)=

()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

6.已知某圓錐的側(cè)面積為正兀，軸截面面積為1,則該圓錐的母線與底面所成的角為()

A.15°B.30°C.45°D.60°

7.設(shè)拋物線E：尤2=2方腦>0)的焦點為尸，過點尸(0,3)的直線與拋物線E相交于A,B

兩點，|/引=2,忸同=10,則。=()

A.1B.2C.4D.22

試卷第1頁，共4頁

8.已知a>0,b〉0,設(shè)函數(shù)/⑺乂工-公題乂工+人），若f（x）40,則工+，的最小值為

2ab

（）

A.8B.4C.2D.1

二、多選題

9.若隨機變量X~B（6,p）,且p（X=3）=5，則（）

A.p=；B.￡（X）=2

C.E（2X+1）=7D.〃（X）=3

10.如圖，函數(shù)/（%）=加也（3%+9）（力>0,3>0,|9|《）的圖象與》軸的其中兩個交點為

A,8,與y軸交于點C,。為線段BC的中點，OB=^OC,。4=2,AD=^~,則（）

3

A.〃x）的圖象不關(guān)于直線尤=8對稱

B./（x）的最小正周期為12兀

C./（—久+2）的圖像關(guān)于原點對稱

D.f（x）在［5,7］單調(diào)遞減

11.如圖，矩形/5CZ1中，"為的中點，將A/BM沿直線翻折成A/4”,連接耳

N為片。的中點，則在翻折過程中，下列說法正確的是（）

試卷第2頁，共4頁

A.不存在某個位置，使得CN，/月

B.翻折過程中，CN的長是定值

C.若AB=BM,則

D.若AB=BM=1,當三棱錐片的體積最大時，其外接球的表面積是4兀

三、填空題

12.在V/5C,角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,120°,BD_LBC交/C于

點。，且AD=1,則2a+c的最小值為.

2一，________.

13.設(shè)昂匕是雙曲線C:一-v1_=1的兩個焦點，。為坐標原點，點尸在C上且不二耳=0,

則APRF?面積為.

14.對于任意的尤jeR,函數(shù)/'(x)滿足/(x+?+〃x-y)=2〃x)/(y),函數(shù)g(x)滿足

g(x+y)=g(x)g(y).若/⑵=一1,g(3)=8,則g(/(2024))=.

四、解答題

15.在A4BC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c.已知a==5,c=舊.

⑴求角C的大小；

(2)求sinA的值；

IT

(3)求sin(2Z+：)的值.

16.某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發(fā)放節(jié)日紅包.在一個不透明的袋子中裝有〃個形

狀大小相同的標有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機摸取加個球(加4〃)，摸完后全

部放回袋中，球上所標的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額.

⑴若〃=4,m=2,當袋中的球中有2個所標面值為40元，1個為50元，1個為60元時，

在員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元的條件下，求取到面值為60元的球的概率；

⑵若〃=5,m=4,當袋中的球中有1個所標面值為10元，2個為20元，1個為30元，1

試卷第3頁，共4頁

個為40元時，求員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學(xué)期望與方差.

71

17.如圖，在三棱錐尸一/BC中，ZABC=-,AO=CO,PA=PB=PC.

(1)證明：OP_L平面NBC；

(2)若PA=41AB=6BC，E是棱BC上一點且2BE=EC,求平面PAE與平面PAC的夾角9.

2

18.已知函數(shù)/(x)=xlnx-ot2,g(x)=ax-ax+1,/z(x)=/(x)+g(x).

(1)討論：當ae(-叫0]U時，〃x)的極值點的個數(shù)；

(2)當a>l時，3X€(1,+?)),使得〃(無)<(e-l)“-3e+3,求實數(shù)a的取值范圍.

22

19.已知橢圓0：二+二=1(.>6>0)過點/(-2,0),且a=26.

a"b

⑴求橢圓。的方程；

⑵設(shè)。為原點，過點C(l,0)的直線/與橢圓。交于尸，。兩點，且直線/與x軸不重合，直

線NP,分別與y軸交于M,N兩點.求證QMHONI為定值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案ACDCACBBACACD

題號11

答案ABD

1.A

【分析】圖中陰影部分表示的集合為與(/口臺)，根據(jù)交集、補集的定義計算可得.

【詳解】因為/={X-3<x<l},3={x|0<x<2},

所以4c3={x[0Vx<l},

所以{龍]-3<x<0}=(-3,0),

即圖中陰影部分表示的集合為(-3,0).

故選：A

2.C

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)z,根據(jù)|z|=l得方程，求解即得.

【詳解】Z=2-i--=(2i)(2+i)(x+i)=(5r)-i

2+i2+i2+i

因|z|=l,則(5：X)T=I,即

2+1|2+i|

可得，(5—xy+l=5,解得，x=3或7.

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)給定條件，借助等比數(shù)列前〃項和公式求出公比夕即可得解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列{冊}的公比為明顯然否則7=16x4-15,此等式不成立,

則上旦=16?上宜一15,由gwO,整理得/_16/+15=0,即⑷-1)(“3T5)=0,

1-q\-q

因此/=15,所以&=lx/=15.

故選：D

4.C

【分析】利用求投影向量的公式進行求解即可.

【詳解】Z在5方向上的投影向量為

答案第1頁，共13頁

b\|^|"V2V2-2

故選：C.

5.A

【分析】由條件結(jié)合正態(tài)密度曲線的對稱性可得？(X<0)=P(￡>2),結(jié)合條件可求

P(2<X<3).

【詳解】因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(l,b2),

所以隨機變量X的均值〃=1,

所以隨機變量X的密度曲線關(guān)于x=l對稱，

所以P(X<0)=P(X>2),

又尸(X<0)+P(X<3)=.,

所以尸(X>2)+P(X42)+尸(2<X<3)*,

因為P(X>2)+尸(X42)=l,

所以尸(2<X<3)=0.1,

故選：A.

6.C

【分析】設(shè)相應(yīng)長度，根據(jù)圓錐的側(cè)面積和軸截面面積列式可得一［,再結(jié)合線面夾

角運算求解.

【詳解】設(shè)圓錐的母線為/>0,底面半徑為，>0,高為〃>0,

答案第2頁，共13頁

設(shè)該圓錐的母線與底面所成的角為e,則0。＜夕＜9。。，

h

可得tan6='=l,所以該圓錐的母線與底面所成的角為。=45。.

r

故選：C.

7.B

【分析】設(shè)直線N5的方程為＞=丘+3,AO2）S（x2,y2）,聯(lián)立["'："，利用韋達

[X=2py

定理和拋物線的定義即可求解.

【詳解】設(shè)拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點為人過點尸（0,3）的直線與拋物線E相交于A,

8兩點,

設(shè)直線45的方程為〉=履+3,A（xlfy1）f9（%2，丫2），

[y=kx+3_

聯(lián)2、，可得x--2pfa:-6P=0,所以再+尤2=2。左，x,x=-6p,

[x=2py2

22

貝1乂為=咨=9.因為|/尸|=2,忸尸|=10,所以必=2-￡，%=10-4，

4P22

則,一,解得°=2或p=22.因為2一勺0,所以p=2.

故選：B

8.B

【分析】由/（x）V0化簡得（x+6廣公1,就底數(shù)進行分類討論求解得到。+6=1,最后利

用常值代換法，由基本不等式即可求得.

【詳解】由/卜）＜0可得，（“一“）1°8工（"+匕）4°,即既工1+方廣"〈地同，也即

222

（x+b）f（x+6）。，

因x+6〉0,①當x+bNl時，可得了-〃20,即得aVl-b；

②當0＜%+6＜1時，可得x-aVO,即得1一6（4,

綜上可得，1一6="，即a+b=l,因。＞0,b＞0,

故由』+L=m+6）（L+L）=2+4222+2、^^=4,

ababba\ba

111

當且僅當”=6=；時，一+不取得最小值，等于4.

2ab

故選：B.

9.AC

答案第3頁，共13頁

【分析】利用二項分布的性質(zhì)及期望、方差公式計算一一判定選項即可.

【詳解】因為X~B(6,p),所以尸(X=3)=C初3(i_p/=

整理得p(l-p)=；,解得p=g,

則E(X)=6x1=3,E(2X+1)=2E(X)+1=7,6x-x-=

2222

故選：AC

10.ACD

【分析】先寫出關(guān)鍵點坐標，得到方程，后根據(jù)酒構(gòu)造方程組解出4。,。，得到

3

解析式，最后按照正弦型三角函數(shù)特征，結(jié)合對稱性，周期性，奇偶性和單調(diào)性逐個驗證即

可.

【詳解】由題可2(2,0),?2+\,o],C(0,/sin夕)，則41+琮，且詈

有百sin司=2+巴，sin(2④+。)=0

3

解得巴=6(負值舍去),

G)

4sin=8

e,口，16x16.f71兀、

解得4=彳，.?sin二1一彳，

33163J

對A,/⑻吟sin[x8一[=0,故A正確；

2兀=]2

對B：/("的最小正周期為工一，故B錯誤；

6

對C：/(-x+2)=ysin"-X+2)-1=-芋sin[5,/(f+2)為奇函數(shù)，故C正確;

對D：當5Vx<7時，*裊-卜蘭，\/(x)在[5,7]單調(diào)遞減，為奇函數(shù)，故D正確.

故選：ACD.

II.ABD

【分析】對于A,取/。的中點為E,若CN1AB、,則可推出矛盾，即可判斷；對于B,結(jié)

答案第4頁，共13頁

合余弦定理即可判斷；對于C,采用反證的方法，利用/W，為D得出互相矛盾的結(jié)論，即

可判斷；對于D,根據(jù)三棱錐體積最大，可得出平面8/"，平面/MD,從而結(jié)合面面垂

直性質(zhì)求出相關(guān)線段的長，確定三棱錐外接球球心，求出半徑，即可判斷

【詳解】對于A,取ND的中點為E,連接CE交地（于F，則四邊形MCDE為平行四邊形,

如圖,

尸為的中點,由于N為4。的中點，則,

如果CN，/耳，則ENLCN,

由于則EN_LNF,

由于共面且共點，故不可能有加，GV,ENLNF同時成立，

即不存在某個位置，使得A正確

對于B,結(jié)合A的分析可知NNEC=/M42],且NE=二AB?AM=EC,

2

在ACEN中，NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cosZNEC,

由于EN,EC,ZNEC=ZBTM=ZB4M均為定值，故為定值，

即翻折過程中，CN的長是定值，B正確；

對于C,如圖，取中點為O,由于4B=W,即44=4初，則/“，耳。,

若/"由于80c2Qu平面OD5],故/M_L平面。。用,

OOu平面。。與，故則4D=M),

由于=故AD=2AB,DC=CM,典]MD=6CD=?AB,

答案第5頁，共13頁

故與ND=Afi)矛盾，故C錯誤;

對于D,由題意知，只有當平面片平面/MD時，三棱錐用-/必)的體積最大;

設(shè)4D中點為E,連接OE,耳￡,腔，由于/5=5M=1,貝!|48]=8幽=1,

且/4_L8[M,3Q_L4W,而平面片/Mc平面NAffl=/",80u平面

故4O_L平面/MD,OEu平面NMD,故BQLOE,

1B11

則AM=yf2,B,O=-AM=—,OE=-DM=-AM=—,

122222

從而\(/?Y+(/*?Y=1，則E/=ED=EA/=E4=1,

K2)I2J

即的中點E即為三棱錐片的外接球球心，球的半徑為1,

故外接球的表面積是4兀，D正確，

故選：ABD

【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于選項D的判斷，解答時結(jié)合三棱錐體積最大，可

得平面2國〃，平面從而結(jié)合面面垂直性質(zhì)求出相關(guān)線段的長，確定三棱錐外接球

球心，求出半徑，即可判斷.

12.氧

33

【分析】根據(jù)面積公式和5/的=%9+%80，求出Gac=c+2a,故利用基本不等式“1”

的代換求出最值，得到答案.

【詳解】???SAABC~S“BD+S△BCD，

—acsinB=—cBDsin/ABD+^—aBDsinZCBD,

222

161i11i1

:.—acx——=—cxlx——i--tzxlxl,

22222

/.百Q(mào)C=c+2a，

??.6」一，

ac

當且僅當￥吟即八孚"苧時,等號成立，

答案第6頁，共13頁

故答案為：更

3

13.3

【分析】利用雙曲線定理結(jié)合勾股定理求出忸司,|西|的長，再利用三角形面積公式即可.

【詳解】由題意得雙曲線中a=l,6=6，c=g=2,則其焦點坐標片(-2,0),乙(2,0),

根據(jù)雙曲線對稱性，不妨假設(shè)點尸在第一象限，

設(shè)伊工|="，|尸耳卜機+2,其中冽

因為西?再(=0,則尸片，珊,

BPm2+(m+2)2=42,解得加=-1+近(負舍)，

則用|=V7+i,則人尸片名面積為:因跖卜;x(V7+i)(5-1)=3.

故答案為：3.

14.2

【分析】利用賦值法先判定了(X)的周期性，化g(/(2024))=g(/(0)),再利用賦值法計算

即可.

【詳解】令＞=0,得2/(x)=2/(O)/(x),則"0)=1或〃x)=0(與/⑵=-1矛盾舍去).

令x=y=l,得/(2)+/(0)=2[/(1)7=0,則/(1)=0,

則/(x+l)+/(x-l)=0,貝l]/(x+4)=/(x),則/(2024)=/(0)=l.

又因為g(x+y)=g(x)g(y),所以g(3)=g(2)g(l)=[g(1)/=8,則g(l)=2,

從而g(〃2024))=g⑴=2.

故答案為：2

【點睛】思路點睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)問題通常用賦值法，通過巧妙賦值先判定/(x)的周期

性，再利用賦值法計算函數(shù)值即可.

,、兀

15.(1)-;

⑵誓；

答案第7頁，共13頁

126+5

（’26

【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求出C的大小，

（2）根據(jù)正弦定理即可求出sin4的值，

（3）根據(jù)同角的三角形函數(shù)的關(guān)系，二倍角公式，兩角和的正弦公式即可求出.

【詳解】（1）由余弦定理以及a=2C,6=5,c=,

a2+b2-c28+25-136

則cosC=

lab-2X2A/2X5-2'

,：CG(0,71),

2/義等_2.；

（2）由正弦定理,以及c=:,4=20，C=ji3,可得sin/；a,sinC

cVis13

(3)由a<c,及sin4=2y，可得cos/=-sin2^3屈

1313

ryi.r..._..._2-\/133A/13_12

則sin2A=2sinAcosA=2x-------x--------——,

131313

/.cos2A=2cos2A-1=—,

13

」.sm(2/+4旦山+1S2/=￡

62226

3

16.(1)-

（2）期望為96；方差為104

【分析】（1）記事件A：員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件B：取到面值為60元的

球，根據(jù)條件先求?“），?（”），再利用條件概率公式，即可求解；

（2）由題知X可能取值為80,90,100,110,再求出對應(yīng)的概率，利用期望和方差的計算公式,

即可求解.

【詳解】（1）記事件A：員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件3：取到面值為60元的

球，

因為球中有2個所標面值為40元，1個為50元，1個為60元，且

答案第8頁，共13頁

40+50>90,40+60>90,50+60>90,所以P(4)=段與號=g,

C46

又尸("IH4所"(面止第Hi

6

(2)設(shè)X為員工取得的紅包數(shù)額，則X可能取值為80,90,100,110,

所以P(X=80)=：=J尸(X=90)===:，

2211

P(X=100)=-^=-,P(X=110)=曰=『

1121

j5ffy,￡,(^)=80x-+90x-+100x-+110x-=96,

i121

r>(^)=(80-96)2x-+(90-96)2x-+(100-96)2x-+(110-96)2x-=104.

17.（1）證明見解析

【分析】（1）連接。，通過證明AP/O發(fā)尸30得出OP結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出線

線垂直來證明線面垂直即可；

（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量計算面面夾角即可.

【詳解】（1）連接。8,因為P/=PC,AO=CO,所以。尸，/C,

jr

因為=AO=CO,所以80=/。，

因為尸/=可，所以三APBO,則/PQ4=/PO3,所以。

因為O5I/C=O,08、/Cu平面/3C,

所以O(shè)P_L平面48c.

（2）易知/8=3C,。為/C的中點，所以O(shè)BL/C,

由（1）可知，O8,OC,OP兩兩垂直，以。為坐標原點，O2,OC,OP所在直線

分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)。4=1,因為產(chǎn)N=后3=后。，所以AP/C為正三角形，

所以P（0,0,G）,4（0,TO）,C（0,l,0）,

因為2BE=EC,所以所以萬=（0,1,Zg=f|,1,oY

答案第9頁，共13頁

y4-6z=0

設(shè)平面尸/￡的法向量為為=(%//),貝1乂24，

—x+—y=0

133

令Z=l,貝=一百,x=26,.?.無=(2?,d,l),

又平面尸/C的一個法向量為)=。,0,0),

所以cosO=旦且=M=也，即平面山￡與平面功C的夾角為3.

\n\-\a\1x426

18.(1)答案見解析

(2)(2,+co).

【分析】(1)對函數(shù)/(X)求導(dǎo)，分別討論當?！?-8,0］和aeg導(dǎo)函數(shù)的正負，即可得

到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出極值點的個數(shù)；

(2)對"(x)求導(dǎo)，確定其最小值，從而將問題轉(zhuǎn)化成不等式e"i+(e-1)(0-3)-1>0成立，

進而構(gòu)造函數(shù)儀a)=e"T+(e-l)(.-3)-l,求導(dǎo)確定其單調(diào)性，即可求解.

【詳解】(1)/(x)=lnx+l—2辦，xG(0,+oo),

①當Q￡(-00,0］時,f\x)為增函數(shù)，

因為Xf0時,/'(X)——8；X—>+00時，/'(%)—>+°0,

所以/'(X)有唯一的零點/(%〉0)，當X￡(O,Xo)時，/'(x)<0,當%￡(%,+8)時，f\x)>0,

所以/(X)有一個極小值點，無極大值點.

②當工,+81時，令夕(x)=/'(x)=lnx+l—2ax,貝|—2〃=^―,

2Jxx

答案第10頁，共13頁

令00)=0,^x=—,

2a

當］時，0(x)>0,9(x)單調(diào)遞增；當x￡,+s］時，(p(x)<0,9(x)單調(diào)遞減.

所以。(0皿=/；］=ln；?O,即/MH。，所以/(幻的極值點的個數(shù)為0.

\2aJ2a

綜上所述，當ae(-*O］時，/(X)的極值點個數(shù)為1,

當aeg,+，|時，"X)的極值點個數(shù)為0.

(2)h(x)=x\nx-ax+lf

由〃(x)=lnx+l—。=0,得蘇=ef由〃〉1,得—>1,

當xw(l,e"T)時，h\x)<0,〃(%)單調(diào)遞減；當X?e"T,+Go)時，h\x)>0,心)單調(diào)遞增.

所以〃(X)在(1,ea-')上單調(diào)遞減，在(尸1,內(nèi))上單調(diào)遞增，

所以〃(x)min=〃(「?=l-e"\

因為當a>1時，3xe(l,+oo),使得/z(x)<(e-l)a-3e+3,

所以只需1-ei<(e-l)a-3e+3成立,即不等式e"—+(e-1)(。-3)-1>0成立.

令k(a)=e".+(e-1)(“-3)-1,貝(］E(a)=ea-l+e-l,

則l(a)>Ml)=e,

則k\a)=+e-l>0在ae(1,+<?)上恒成立，

故k(a)=e?！?(e-l)(a-3)-1在ae(l,+oo)上單調(diào)遞增,

又儀2)=0,所以a>2,

故實數(shù)。的取值范圍為(2,+s).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求出〃(X)min=〃(e"T)=l-e"T,從而轉(zhuǎn)

化為求出不等式e"T+(e-l)(a-3)-l>0成立.

19.(吁+/=1

⑵證明見解析

【分析】(1)由題可得。=2,進而得出6=1,即可得出橢圓方程；

(2)先考慮直線斜率不存在時，可