2025屆湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則=（）A.244 B.1C. D.2．若拋物線上的點到其焦點的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1C. D.23．已知雙曲線，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A. B.7C.6 D.5．春秋時期孔子及其弟子所著的《論語·顏淵》中有句話：“非禮勿視，非禮勿聽，非禮勿言，非禮勿動.”意思是：不符合禮的不看，不符合禮的不聽，不符合禮的不說，不符合禮的不做.“非禮勿聽”可以理解為：如果不合禮，那么就不聽.從數(shù)學(xué)角度來說，“合禮”是“聽”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，且，點是的右支上一點，且，，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.7．已知等比數(shù)列中，，則這個數(shù)列的公比是（）A.2 B.4C.8 D.168．設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為、，P是C上的點，⊥，∠=，則C的離心率為A. B.C. D.9．已知兩直線方程分別為l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，則a＝（）A2 B.－2C. D.10．圓關(guān)于直線l：對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.11．圓心在x軸上且過點的圓與y軸相切，則該圓的方程是（）A. B.C. D.12．方程表示的曲線經(jīng)過的一點是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的圖象上有一點，則曲線在點處的切線方程為______.14．已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，且直線l與橢圓交于C，D兩點，若直線l直線AB，設(shè)直線AC，BD的斜率分別為，，則的值為___________.15．已知對任意正實數(shù)m，n，p，q，有如下結(jié)論成立：若，則有成立，現(xiàn)已知橢圓上存在一點P，，為其焦點，在中，，，則橢圓的離心率為______16．若函數(shù)在[1，3]單調(diào)遞增，則a的取值范圍___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l：x-y+2=0，一個圓的圓心C在x軸正半軸上，且該圓與直線l和y軸均相切（1）求該圓的方程；（2）若直線x+my-1=0與圓C交于A、B兩點，且|AB|=，求m的值18．（12分）已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求證：在上恒成立19．（12分）2022北京冬奧會即將開始，北京某大學(xué)鼓勵學(xué)生積極參與志愿者的選拔．某學(xué)院有6名學(xué)生通過了志愿者選拔，其中4名男生，2名女生（1）若從中挑選2名志愿者，求入選者正好是一名男生和一名女生的概率；（2）若從6名志愿者中任選3人負(fù)責(zé)滑雪項目服務(wù)崗位，那么現(xiàn)將6人分為A、B兩組進(jìn)行滑雪項目相關(guān)知識及志愿者服務(wù)知識競賽，共賽10局．A、B兩組分?jǐn)?shù)（單位：分）如下：A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139從統(tǒng)計學(xué)角度看，應(yīng)選擇哪個組更合適？理由是什么？20．（12分）在二項式的展開式中，______.給出下列條件：①若展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為256.試在上面兩個條件中選擇一個補(bǔ)充在上面的橫線上，并解答下列問題：（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式的常數(shù)項.21．（12分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點到平面的距離；（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長；若不存在，請說明理由22．（10分）已知拋物線C：的焦點為F，為拋物線C上一點，且（1）求拋物線C的方程：（2）若以點為圓心，為半徑圓與C的準(zhǔn)線交于A，B兩點，過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交拋物線C于D，E兩點，若，證明直線DE過定點

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分別令代入已知關(guān)系式，再兩式求和即可求解.【詳解】根據(jù)，令時，整理得：令x=2時，整理得:由①+②得，，所以.故選：D.2、D【解析】根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【詳解】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D【點睛】本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì)．考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3、D【解析】由雙曲線的方程及雙曲線的離心率即可求解.【詳解】解：因為雙曲線，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.4、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝故答案為考點：等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想5、B【解析】如果不合禮，那么就不聽.轉(zhuǎn)化為它的逆否命題.即可判斷出答案.【詳解】如果不合禮，那么就不聽的逆否命題為：如果聽，那么就合理.故“合禮”是“聽”的必要條件.故選：B.6、B【解析】畫出圖形，利用已知條件轉(zhuǎn)化求解，關(guān)系，利用，解得，即可得到雙曲線的方程【詳解】由題意雙曲線的圖形如圖，連接與軸交于點，設(shè)，，因為，所以，因為，所以，則，因為點是的右支上一點，所以，所以，則，因為，所以，，由勾股定理可得：，即，解得，則，所以雙曲線的方程為：故選：B7、A【解析】直接利用公式計算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，，所以，解得.故選：A8、D【解析】詳解】由題意可設(shè)|PF2|＝m，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.9、B【解析】直接利用直線垂直公式計算得到答案.【詳解】因為l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.故選：【點睛】本題考查了根據(jù)直線垂直計算參數(shù)，屬于簡單題.10、A【解析】首先求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)為，即可得到方程組，求出、，即可得到圓心坐標(biāo)，從而求出對稱圓的方程；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)為，則，解得，即圓關(guān)于直線對稱的圓的圓心為，半徑，所以對稱圓的方程為；故選：A11、A【解析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程，列式即可求出【詳解】依題可設(shè)圓的方程為，所以，解得即圓的方程是故選：A12、C【解析】當(dāng)時可得，可得答案.【詳解】當(dāng)時可得所以方程表示的曲線經(jīng)過的一點是，且其它點都不滿足方程，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求得為增函數(shù)，根據(jù)，求得，進(jìn)而求得，得出即在點處的切線的斜率，再利用直線的點斜式方程，即可求解【詳解】由題意，點在曲線上，可得，又由函數(shù)，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，因為，所以，即在點處的切線的斜率為2，所以曲線在點的切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點處的切線方程，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的運算公式，結(jié)合直線的點斜式方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力14、##0.25【解析】求出點A，B坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線l與橢圓方程，借助韋達(dá)定理即可計算作答.【詳解】依題意，點，直線AB斜率為，因直線l直線AB，則設(shè)直線l方程為：，，由消去y并整理得：，，解得，于是有或，設(shè)，則，有，因此，，所以的值為.故答案：15、【解析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合題意，列出方程，代入數(shù)據(jù)，化簡即可得答案.詳解】由題意得：，所以，所以，解得.故答案為：16、【解析】由在區(qū)間上恒成立來求得的取值范圍.【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，在上恒成立，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）0【解析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用題干條件得到方程，求出，從而求出該圓的方程；（2）利用點到直線距離公式及垂徑定理進(jìn)行求解.【小問1詳解】設(shè)圓心為，，則由題意得：，解得：或（舍去），故該圓的方程為【小問2詳解】圓心到直線的距離為，由垂徑定理得：，解得：18、（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）求得，根據(jù)其正負(fù)，即可判斷函數(shù)單調(diào)性從而求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化目標(biāo)不等式為，分別構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可證明.【小問1詳解】因為，故可得，又為單調(diào)增函數(shù)，令，解得，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時，，要證，即證，又，則只需證，即證，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最大值；令，，又為單調(diào)增函數(shù)，且時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值.則，且當(dāng)時，同時取得最小值和最大值，故，即，也即時恒成立.【點睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題；處理本題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，屬中檔題.19、（1）（2）答案見詳解【解析】(1)：把4名男生和2名女生編號后用列舉法寫出任選2名的所有基本事件，同時可得出，兩人是一男一女的基本事件，計數(shù)后可計算概率；(2)：求出兩組數(shù)據(jù)的均值和方差，比較可得【小問1詳解】設(shè)4名男生分別用A，B，C，D表示：2名女生分別用1，2表示.基本事件為：，，，，，，，，，，，，共15種，所以所求概率為；【小問2詳解】A組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，B組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，A組數(shù)據(jù)的方差，B組數(shù)據(jù)的方差，所以選擇A隊．理由：A、B兩隊平均數(shù)相同，且，A組成績波動小20、（1），；（2）.【解析】選擇①：，利用組合數(shù)公式，計算即可；選擇②：轉(zhuǎn)化為，計算即可（1）由于共9項，根據(jù)二項式系數(shù)性質(zhì)，二項式系數(shù)最大的項為第5項和第6項，利用通項公式計算即可；（2）寫出展開式的通項，令，即得解【詳解】選擇①.，即，即，即，解得或（舍去）.選擇②.，即，解得.（1）展開式中二項式系數(shù)最大的項為第5項和第6項，，.（2）展開式的通項為，令，得，所以展開式中常數(shù)項為第7項，常數(shù)項為.21、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)題意分別由已知條件計算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾角公式列方程可求得結(jié)果小問1詳解】在中，，因為，分別是，邊上的中點，所以∥，，所以，所以，因為，所以平面，所以平面，因為平面，所以，所以，因為平面，平面，所以平面平面，因為，所以，因為，所以是等邊三角形，取的中點，連接，則，，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，中，，所以邊上的高為，所以，在梯形中，，設(shè)點到平面的距離為，因，所以，所以，得，所以點到平面的距離為【小問2詳解】由（1）可知平面，，所以以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則