課后限時集訓(xùn)(五十三)雙曲線建議用時：40分鐘一、選擇題1．(2024·浙江高考)漸近線方程為x±y＝0的雙曲線的離心率是()A．eq\f(\r(2),2) B．1C．eq\r(2) D．2C[依據(jù)漸近線方程為x±y＝0的雙曲線，可得a＝b，所以c＝eq\r(2)a，則該雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，故選C.]2．已知雙曲線的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1，則下列關(guān)于雙曲線說法正確的是()A．虛軸長為4B．焦距為2eq\r(5)C．離心率為eq\f(\r(13),3)D．漸近線方程為2x±3y＝0D[由題意知，雙曲線eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1的焦點在y軸上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以選項A，B均不對；離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),2)，故選項C不對；由雙曲線的漸近線知選項D正確．故選D.]3．(多選)(2024·山東青島二中期中)若方程eq\f(x2,5－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1所表示的曲線為C，則下面四個命題中正確的是()A．若1＜t＜5，則C為橢圓B．若t＜1，則C為雙曲線C．若C為雙曲線，則焦距為4D．若C為焦點在y軸上的橢圓，則3＜t＜5BD[對于A，當(dāng)t＝3時，方程x2＋y2＝2表示圓，所以A不正確；對于B，當(dāng)t＜1時，5－t＞0，t－1＜0，此時曲線C是焦點在x軸上的雙曲線，所以B正確；對于C，當(dāng)t＝0時，方程eq\f(x2,5)－eq\f(y2,1)＝1表示雙曲線，此時雙曲線的焦距為2eq\r(6)，所以C不正確；對于D，當(dāng)方程eq\f(x2,5－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示焦點在y軸上的橢圓時，滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－t＞0，,t－1＞0，,5－t＜t－1，))解得3＜t＜5，所以D正確．]4．(2024·全國卷Ⅰ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為()A．eq\f(7,2) B．3C．eq\f(5,2) D．2B[法一：設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，則由題意可知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令點P在雙曲線C的右支上，則有|PF1|－|PF2|＝2，兩邊平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×6＝3，故選B.法二：設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，則由題意可知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝eq\f(3,tan45°)＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故選B.]5．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a＞0)的一條漸近線方程為4x＋3y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線C上，且|PF1|＝7，則|PF2|＝()A．1 B．13C．17 D．1或13B[由題意知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a＞0)的一條漸近線方程為4x＋3y＝0，可得eq\f(4,a)＝eq\f(4,3)，解得a＝3，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝5.又由F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線上，且|PF1|＝7，可得點P在雙曲線的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13.故選B.]6．(2024·西安模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的頂點到其一條漸近線的距離為1，焦點到其一條漸近線的距離為eq\r(2)，則其一條漸近線的傾斜角為()A．30° B．45°C．60° D．120°B[設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右頂點A(a,0)，右焦點F2(c,0)到漸近線y＝eq\f(b,a)x的距離分別為1和eq\r(2)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ab,\r(a2＋b2))＝1，,\f(bc,\r(a2＋b2))＝\r(2)，))即eq\f(a,c)＝eq\f(\r(2),2).則eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(c2,a2)－1＝2－1＝1，即eq\f(b,a)＝1.設(shè)漸近線y＝eq\f(b,a)x的傾斜角為θ，則tanθ＝eq\f(b,a)＝1.所以θ＝45°，故選B.]7．(多選)已知雙曲線E過點(3，eq\r(2))，(6，eq\r(11))，則()A．E的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1B．直線x－eq\r(2)y－1＝0與E有且僅有一個公共點C．曲線y＝ln(x－1)過E的一個焦點D．E的離心率為eq\r(3)ABC[設(shè)雙曲線E的方程為mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因為雙曲線E過點(3，eq\r(2))，(6，eq\r(11))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m＋2n＝1，,36m＋11n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,3)，,n＝－1，))故雙曲線E的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1，選項A正確；聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(2)y－1＝0，,\f(x2,3)－y2＝1，))消去x得y2－2eq\r(2)y＋2＝0，Δ＝0，故選項B正確；E的一個焦點為點(2,0)，易知該點在曲線y＝ln(x－1)上，故C正確；因為a＝eq\r(3)，c＝2，所以雙曲線E的離心率e＝eq\f(2\r(3),3)，選項D錯誤．故選ABC.]8．(多選)(2024·山東濱州期末)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，則能使雙曲線C的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的條件是()A．雙曲線的離心率為eq\f(5,4)B．雙曲線過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))C．雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0D．雙曲線的實軸長為4ABC[由題意可得焦點在x軸上，且c＝5.A選項，若雙曲線的離心率為eq\f(5,4)，則a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此時雙曲線的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故A正確；B選項，若雙曲線過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(25,a2)－\f(\f(81,16),b2)＝1，,a2＋b2＝25，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝16，,b2＝9，))此時雙曲線的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故B正確；C選項，若雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，可設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝m(m＞0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，此時雙曲線的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故C正確；D選項，若雙曲線的實軸長為4，則a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此時雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,21)＝1，故D錯誤．故選ABC.]二、填空題9．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個焦點為(eq\r(5)，0)，則a＝________；b＝________.12[由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以eq\f(b,a)＝2.又c＝eq\r(5)，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.]10．(2024·南寧模擬)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________．2[由已知得|AB|＝|CD|＝eq\f(2b2,a)，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.因為2|AB|＝3|BC|，所以eq\f(4b2,a)＝6c，又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，解得e＝2，或e＝－eq\f(1,2)(舍去)．]11．已知焦點在x軸上的雙曲線eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，它的焦點到漸近線的距離的取值范圍是________．(0,2)[對于焦點在x軸上的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，它的焦點(c,0)到漸近線bx－ay＝0的距離為eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.雙曲線eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，即eq\f(x2,8－m)－eq\f(y2,m－4)＝1，其焦點在x軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－m>0，,m－4>0，))解得4<m<8，則焦點到漸近線的距離d＝eq\r(m－4)∈(0,2)．]12．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1與雙曲線x2－eq\f(y2,n)＝1的離心率分別為e1，e2，且有公共的焦點F1，F(xiàn)2，則4eeq\o\al(2,1)－eeq\o\al(2,2)＝________，若P為兩曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|＝________.03[由題意得橢圓的半焦距滿意ceq\o\al(2,1)＝4－m，雙曲線的半焦距滿意ceq\o\al(2,2)＝1＋n，又因為兩曲線有相同的焦點，所以4－m＝1＋n，即m＋n＝3，則4eeq\o\al(2,1)－eeq\o\al(2,2)＝4×eq\f(4－m,4)－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為兩曲線的左、右焦點，點P為兩曲線在第一象限的交點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝4，,|PF1|－|PF2|＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝3，,|PF2|＝1，))則|PF1|·|PF2|＝3.]1．(2024·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，則C的離心率為________．2[如圖，由eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，得F1A＝AB.又OF1＝OF2，所以O(shè)A是三角形F1F2B的中位線，即BF2∥OA，BF2＝2OA.由eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，得F1B⊥F2B，OA⊥F1A，則OB＝OF1，所以∠AOB＝∠AOF1，又OA與OB都是漸近線，得∠BOF2＝∠AOF1，又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝180°，得∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°，又漸近線OB的斜率為eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)，所以該雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1＋\r(3)2)＝2.]2．(2024·黃岡模擬)雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，一個焦點為F(0，－8)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．已知點A(－6,0)，若點P為C上一動點，且P點在x軸上方，當(dāng)點P的位置改變時，△PAF的周長的最小值為________．eq\f(y2,16)－eq\f(x2,48)＝128[∵雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，