專題24.2點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系

目錄

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系............................................................1

取值范圍....................................................................2

最值問(wèn)題....................................................................3

直線和圓的位置關(guān)系..........................................................4

取值范圍....................................................................5

切線求角度...................................................................5

切線求長(zhǎng)度...................................................................6

切線的判定...................................................................8

切線長(zhǎng)定理...................................................................9

三角形的內(nèi)切圓.............................................................10

證明綜合...................................................................11

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

/X

①點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑

②點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于半徑

③點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑

\_________________________J

【例1】己知。。的半徑為5,04=4,則點(diǎn)A在（）

A.內(nèi)B.。。上C.OO外D.無(wú)法確定

【變式訓(xùn)練1］已知O。的半徑為3,平面內(nèi)有一點(diǎn)到圓心。的距離為5,則此點(diǎn)可能在（

A.QO內(nèi)B.OO外

C.O。上D.以上都有可能

【變式訓(xùn)練2】已知，點(diǎn)A為O。所在平面上一點(diǎn)，且點(diǎn)A到。。上所有點(diǎn)的距離中，最長(zhǎng)

為5,最短為1,則的半徑為（）

A.2B.2.5C.3D.2或3

【變式訓(xùn)練3］已知O。的半徑為5,點(diǎn)A在O。外，則長(zhǎng)度可能是（）

A.2.5B.4C.5D.7

【例2】如圖，在矩形43C。中，AB=6,AO=8,若以點(diǎn)。為圓心，8為半徑作O。，則下

列各點(diǎn)在外的是（）

C.點(diǎn)CD.點(diǎn)。

【變式訓(xùn)練1】如圖，AABC中，AB^AC^lOcm,BC=12cm,AD1BC于點(diǎn)D,點(diǎn),P為

AD上的點(diǎn)，DP=2,以點(diǎn)尸為圓心6cm為半徑畫圓，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.點(diǎn)A在O尸外B.點(diǎn)8在。尸外C.點(diǎn)C在。尸外D.點(diǎn)。在。尸內(nèi)

【變式訓(xùn)練2】矩形A8CD中，AB=S,8c=3西，點(diǎn)尸在邊A8上，且BP=3AP,如果圓

P是以點(diǎn)P為圓心，尸。為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）

B.點(diǎn)B在圓尸外，點(diǎn)C在圓P內(nèi)

C.點(diǎn)B在圓P內(nèi)，點(diǎn)C在圓P外

D.點(diǎn)、B,C均在圓尸內(nèi)

【變式訓(xùn)練3】如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,A。為底邊上的高，BC=6,AC=5,

以A為圓心，為半徑作。4則點(diǎn)C與0A的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)C在。A內(nèi)B.點(diǎn)C在。A上C.點(diǎn)C在。A外D.不能確定

取值范圍

【例3】如圖，在Rt/VIBC中，NC=90°,AC=4,8C=7,點(diǎn)。在邊BC上，CD=3,以

點(diǎn)。為圓心作O。，其半徑長(zhǎng)為r,要使點(diǎn)A恰在。。外，點(diǎn)8在。。內(nèi)，那么，的取值范

圍是（)

A.4<r<5B.3<r<4C.3<r<5D.l<r<7

【變式訓(xùn)練1】如圖，已知矩形A8CD的邊A8=6,BC=8,現(xiàn)以點(diǎn)A為圓心作圓，如果B、

C、。至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，那么OA半徑廠的取值范圍是

【變式訓(xùn)練2】如圖，在矩形ABC。中，AB=8,AD=6,以頂點(diǎn)。為圓心作半徑為廣的圓，

若要求另外三個(gè)頂點(diǎn)A、B,C中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，則r的取

值范圍是

【變式訓(xùn)練3】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果點(diǎn)8（a,0）在以A（1,0）為圓心，2為半徑的圓

內(nèi)，那么a的取值范圍是（）

A.a>-1B.a<3C.-l<a<3D.-

最值問(wèn)題

【例4】如圖，△ABC中，AB=AC,BC=24,于點(diǎn)。，A￡>=5,尸是半徑為3的04

上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PC,若E是PC的中點(diǎn)，連結(jié)。E,則OE長(zhǎng)的最大值為（）

A.8B.8.5C.9D.9.5

【變式訓(xùn)練1】如右圖，在矩形A8CD中,A8=10,AO=12,P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，/APB=90°,

連接PD，則尸。的最小值為（）

72V61

C.10D.

61

直線和圓的位置關(guān)系

相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。

相切：直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)

叫做切點(diǎn)。

相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)叫這條直線和圓相離。

y

【例5】如圖，在RtZ\A2C中，NC=90°，NB=30°,BC=4cm,以點(diǎn)C為圓心，以2c相

的長(zhǎng)為半徑作圓，則OC與A8的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.相切或相離

【變式訓(xùn)練1】如圖是“光盤行動(dòng)”的宣傳海報(bào)，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)

系是（）

內(nèi)一介節(jié)約T九上

A.相切B.相交C.相離D.平行

【變式訓(xùn)練2】已知。。的半徑等于5,圓心。到直線/的距離為6,那么直線/與的公

共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.無(wú)法確定

【變式訓(xùn)練3】已知。。的半徑是一元二次方程/-5x-6=0的一個(gè)根，圓心。到直線/的

距離d=5,則直線I與。。的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.平行

取值范圍

【例6】已知的半徑為10,直線A8與相交，則圓心。到直線距離1的取值范

圍是?

【變式訓(xùn)練1】如圖，在RtZXABC中，NC=90°,ZB=30°,AC=2,以C為圓心，r為

半徑作圓.若該圓與線段A8只有一個(gè)交點(diǎn)，則廠的取值范圍為一

C

切線求角度

【例7】如圖，A8是。。的切線，切點(diǎn)、為B,C。是。。的直徑，連接8。，BO,BC,若N

ABC^50°,則/。的度數(shù)是（）

BA

A.45°B.50°C.55°D.60°

【變式訓(xùn)練1】如圖，A3為。。直徑，直線為O。的切線，C為切點(diǎn)，交的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)。，且AC=CD貝ijNBAC=（）

C.30°D.36°

【變式訓(xùn)練2】如圖，AB是。。的直徑，B4與。。相切于點(diǎn)A,ZABC=25°,OC的延長(zhǎng)

線交出于點(diǎn)尸，則NP的度數(shù)是（）

A.25°B.35°C.40°D.50°

【變式訓(xùn)練3】如圖，△ABC內(nèi)接于O。,AB是O。的直徑，BD是O。的切線，點(diǎn)2為切

點(diǎn)，8。與線段AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)。，若NA8C=65°,則/。等于（)

C.45°D.35°

切線求長(zhǎng)度

【例8】如圖，從圓外一點(diǎn)P引圓的兩條切線B4,PB,A,8為切點(diǎn)，M為P8上一點(diǎn),連

接交。。于點(diǎn)。，^MO//PA,PA=9,MD=2,則。。的半徑長(zhǎng)是（）

A.3B.4C.2V2D.2^/3

【變式訓(xùn)練1】如圖，AB是。。的切線，A為切點(diǎn)，0B交。。于點(diǎn)C,若。。的半徑長(zhǎng)為1,

【變式訓(xùn)練2】如圖，AB是圓。的直徑，切圓。于點(diǎn)E,ACLPQ于點(diǎn)C,AC交圓。

于點(diǎn)。，若OA=5,EC=4,則的長(zhǎng)為（）

【變式訓(xùn)練3】如圖，AB是。。的直徑，AC是。。的切線，A為切點(diǎn)，連接BC,過(guò)點(diǎn)0

作BC的平行線交AC于點(diǎn)若AB=6,AC=8,則0M的長(zhǎng)度為（）

A.7B.5C.V13D.V34

切線的判定

【例9】如圖，以△ABC的邊8C的長(zhǎng)為直徑作O。，交AC于點(diǎn)D,若求證:

A8是。。的切線.

【變式訓(xùn)練1】已知，如圖：A8是。。的直徑，AB=AC,BC交。。于。，Z)E_LAC于點(diǎn)E,

求證：是。。的切線.

【變式訓(xùn)練2】如圖，AB為。0的直徑，點(diǎn)C,D在O。上，AC=CD=DB,DELAC.

求證：OE是。。的切線.

【變式訓(xùn)練3】如圖，點(diǎn)尸是。。的直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)(PBVOB),點(diǎn)、E是線段0P

的中點(diǎn).在直徑A2上方的圓上作一點(diǎn)C,使得EC=EP.

求證：PC是。。的切線.

OE

切線長(zhǎng)定理

【例10］如圖，AB.AC,80是OO的切線，切點(diǎn)分別是尸、C、D.若AB=10,AC=6,

則的長(zhǎng)是（）

【變式訓(xùn)練1】如圖，尸為OO外一點(diǎn)，必、尸8分別切。0于點(diǎn)A、B,CD切。0于點(diǎn)區(qū)

分別交必、PB于點(diǎn)C、D,若B4=8,則△PCD的周長(zhǎng)為（）

B.12C.16D.20

【變式訓(xùn)練2】如圖，。0內(nèi)切于四邊形A3C。，AB=10fBC=7,CO=8,則的長(zhǎng)度為

（）

R

A.8B.9C.10D.11

【變式訓(xùn)練3】如圖，四邊形ABC。是。。的外切四邊形，且48=9,8=15,則四邊形

ABCD的周長(zhǎng)為

三角形的內(nèi)切圓

【例11］如圖，在RCABC中，ZACB=90°,。。是△ABC的內(nèi)切圓，三個(gè)切點(diǎn)分別為

D、E、F,若BF=3,AF^IO,則△ABC的面積是（）

C.13V3D.30

【變式訓(xùn)練1】如圖，是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為E,F,且/A=90°,BC=

5,CA=4,則。。的半徑是（）

A.1B.V3C.2D.2V3

A

【變式訓(xùn)練2】如圖，點(diǎn)/是AABC的內(nèi)心，若N/=116°,則/A等于（）

證明綜合

【例12］如圖，四邊形A2CD內(nèi)接于O。，ZDAB=90°,點(diǎn)E在。C的延長(zhǎng)線上，且NCED

=ZCAB.

（1）求證：ZJE是。。的切線.

(2)AC//DE,當(dāng)AB=8,￡>C=4時(shí)，求AC的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練1】如圖，已知AB是。。的直徑，AB=BE,點(diǎn)P在8A的延長(zhǎng)線上，連接AE

交O。于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作垂足為點(diǎn)C.

（1）求證：PC與。。相切；

（2）連結(jié)。C,如果「。=2次，/尸=30°,求0C的長(zhǎng).

E

選擇題（共8小題）

1.已知。的直徑為10,點(diǎn)P到點(diǎn)。的距離大于8,那么點(diǎn)P的位置（）

A.一定在的內(nèi)部B.一定在的外部

C.一定在。上D.不能確定

2.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4.點(diǎn)產(chǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)C作于交AB于E,D是鈣的中點(diǎn)，則DM長(zhǎng)度的最小值是（）

A.73B.72C.1D.A/6-2

3.已知點(diǎn)尸在半徑為8的。外，貝1（）

A.OP>8B.OP=8C.OP<8D.OP于3

4.下列敘述正確的是（）

A.在不等式兩邊同乘或同除以一個(gè)不為0的數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向不變

B.兩邊及其一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

C.不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓

D.方差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定

5.如圖，AABC內(nèi)接于圓，弦血交AC于點(diǎn)P,連接AD.下列角中，是AB所對(duì)圓周角

A.ZAPBB.ZABDC.ZACBD.ZBAC

6.O的半徑為4,直線加上一點(diǎn)P與點(diǎn)。的距離為1,則直線機(jī)與（O的位置關(guān)系為（

)

A,相離B.相交C.相切D.無(wú)法判斷

7.一。的半徑為5,若直線/與該圓相交，則圓心O到直線/的距離可能是（）

A.3B.5C.6D.10

8.如圖，BD是。的切線，ZBCE=30。，則/￡>=()

A.40°B.50°C.60°D.30°

二.填空題（共4小題）

9.已知圓外