2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-1§11.2

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法兩類曲線積分的關(guān)系第十一章曲線積分與曲面積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-2一、問題的提出變力沿曲線所作的功常力沿直線所作的功分割實(shí)例？對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-3求和取極限取近似取即近似值精確值對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-4二、概念1.定義

設(shè)L為xOy面內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一條有向光滑

用L上的點(diǎn):把L分成n個(gè)有向小弧段曲線弧,在L上有界.上任意取定的點(diǎn).如果當(dāng)各小段的極限總存在,長(zhǎng)度的最大值則稱此極限為函數(shù)在有向?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-5

記作曲線弧L上或稱第二類曲線積分.對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分,即類似地定義稱在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分.積分弧段被積函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-62.存在條件3.組合形式在光滑曲線弧L上連續(xù),“點(diǎn)積”形式曲線積分存在.第二類其中對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-74.推廣5.性質(zhì)空間有向曲線弧Γ,(1)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-8

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與(3)有向曲線弧,則曲線的方向有關(guān).(2)L1L2L對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-9三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).因此下限應(yīng)是起點(diǎn)的坐標(biāo),上限是終點(diǎn)的坐標(biāo).思想是化為定積分計(jì)算.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-101.積分弧段為參數(shù)方程定理且對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-11推廣對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-122.積分弧段為直角坐標(biāo)方程對(duì)坐標(biāo)的曲線積分(1)y=y(x),始點(diǎn)為(a,a’),終點(diǎn)為(b,b’).(2)x=x(y),始點(diǎn)為(a,a’),終點(diǎn)為(b,b’).2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-13例解⌒⌒(1)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分其中L為拋物線y2=x上從A(1,-1)到B(1,1)的一段弧.2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-14(2)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-15

其中Γ是由點(diǎn)A(1,1,1)到點(diǎn)B(2,3,4)的直線段.直線AB的方程為解化成參數(shù)式方程為于是例A點(diǎn)對(duì)應(yīng)B點(diǎn)對(duì)應(yīng)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-16例(1)L是上半圓周逆時(shí)針方向;解A點(diǎn)對(duì)應(yīng)(2)L是x軸上由點(diǎn)到點(diǎn)的線段.

(1)中L的參數(shù)方程為B點(diǎn)對(duì)應(yīng)其中原式=對(duì)坐標(biāo)的曲線積分)cos(dcos202tataòp)sin(d)cossin(tatata-+2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-17(2)L的方程為原式=(2)L是x軸上由點(diǎn)到點(diǎn)的線段.

其中對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-18例直接化為定積分計(jì)算取逆時(shí)針方向.解由曲線積分的性質(zhì).則其中ABCDA為對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-19四、兩類曲線積分之間的關(guān)系設(shè)有向平面曲線弧為則有向曲線弧L的切向量為對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-20可用向量表示有向曲線元?jiǎng)t推廣空間曲線對(duì)坐標(biāo)的曲線積分2011.2.6北京工商大學(xué)11-2-21例解

所以把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分.其中L為沿拋物線從點(diǎn)(0