高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義平面向量、復(fù)數(shù)之平面

向量的概念及線性運算

一'知識點講解及規(guī)律方法結(jié)論總結(jié)

1.平面向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有①大小又有②方向的

向量量；向量的大小叫做向量的長度平面向量是自由向量.

（或③模）.

零向量記作0,其方向是④任意

零向量長度為0的向量.

的.

與非零向量。共線的單位向量為⑤—

單位向量長度等于1個單位長度的向量.

F和⑥—一.

1a\\a\

平行向量（共

方向⑦相同或相反的非零向量.0與任意向量平行（共線）.

線向量）

長度⑧相等且方向⑨相同相等向量一定是平行向量，平行向量

相等向量

的向量.不一定是相等向量.

若力互為相反向量，則。=—A

相反向量長度相等且方向相反的兩個向量.

0的相反向量為0.

注意（1）0是一個向量，0是一個實數(shù)，101=0.

（2）兩個向量不能比較大小，只能判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小.

2.平面向量的線性運算

向量

定義法則（或幾何意義）運算律

運算

(1)a+b=b+a.

求兩個向量和

加法/討(2)(a+力)+c=〃+(b

的運算.

三角形法則平行四邊形法則+c).

求a與》的相

反向量一》的

減法XaVa——b=a~\~(——b).

和的運算叫做

三角形法則

a與b的差.

(1)Ma1=12I|al.

(1)A(〃a)=%〃〃=

求實數(shù)力與向(2)當(dāng)/1>0時，A〃與a的方向

〃(癡).

數(shù)乘量a的積的運⑩相同；當(dāng)2<0時，癡與。

(2)(2+M)a=Xa~\~fia.

算.的方向?相反；當(dāng)力=0時，

(3)2(a+b)=Xa+Xb.

AQ=O.

注意利用三角形法則時，兩向量要首尾相連；利用平行四邊形法則時，兩向量要有相同

的起點.

常用結(jié)論

向量運算的常用結(jié)論

(1)若尸為線段A8的中點，。為平面內(nèi)任一點，則加=號COA+OB).

(2)對于任意兩個向量a,b,都有：①I|a|一|方1I<Ia±bI<IaI+II；

②Ia+ZH2+］。―8|2=2(1°|2+|B|2).

注意當(dāng)a,》不共線時：①式的幾何意義是三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的

絕對值小于第三邊；②式的幾何意義是平行四邊形中兩鄰邊的長與兩對角線的長之間的關(guān)

系.

3.共線向量定理

向量a(a邦)與，共線的充要條件：存在唯---個實數(shù)九使?.

注意(1)只有非零向量才能表示與之共線的其他向量.(2)兩向量共線包含同向共線和

反向共線兩種情況.

二'基礎(chǔ)題練習(xí)

1.下列說法正確的是(D)

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.單位向量都相等

C.a與b同向，且則a>b

D.兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件

2.［新高考卷H］若。為△ABC的邊AB的中點，則方=(A)

A.2CD-CAB.2CA-CD

C.2CD+CAD.2CA+CD

解析解法一因為。是AB的中點，所以屈=2而，所以而=5+屈=方+2前=方

+2（CO-CX）=2CD~CA,故選A.

解法二因為。是的中點，所以而=3（,CA+CB）,即2方+荏，所以荏=

2CD-CA,故選A.

3.已知向量a,從若IaI=2,I5|=4,貝Wa-bI的取值范圍是⑵6］.

解析由I|a|—|Z>|I<Ia-bIfIaI+I6I,得2WIa-bI<6.

4.已知a與》是兩個不共線的向量，且向量a+乃與一（6—3”）共線，則4=一搟.

（1

（2=—k,k=-,

解析由題意知存在％￡R,使得.+助=左］一（萬一3"）］,所以■{解得<1

（1=3k,4=--.

、3

三'知識點例題講解及方法技巧總結(jié)

命題點1平面向量的有關(guān)概念

例1（1）下列說法正確的是（B）

A.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同

B.若A,B,C,。是不共線的四點，且屈=反，則四邊形ABC。為平行四邊形

C.a=b的充要條件是IaI=IbI且a//b

D.已知九〃為實數(shù)，若癡則a與％共線

解析A錯誤，兩個向量是否相等只與模及方向有關(guān)，與位置無關(guān)；B正確，因為荏=

DC,所以I同I=I反I且荏〃反，又A,B,C,。是不共線的四點，所以四邊形

ABC。為平行四邊形；C錯誤，當(dāng)a〃Z>且IaI=I方I時還可能是a=一瓦所以“|aI

=II且a〃加'是的必要不充分條件；D錯誤，當(dāng)力=〃=0時，a與8可以為任意向

量，滿足腦=〃方，但a與％不一定共線.故選B.

（2）設(shè)a,5都是非零向量，下列四個條件中，使不成立的充分條件是（C）

IaIIb\

A.a=—bB.a//b

C.a=2bD.a〃力且\a\=\b\

解析因為向量下巴7的方向與向量a的方向相同，向量丁」的方向與向量力的方向相同，

IaIIbI

且不乙=下」，所以向量a與向量》的方向相同，故可排除選項A,B,D.當(dāng)a=2分時，

IaIIbI

=T4T，故a=2）是丁，=丁魯成立的充分條件.

I2bIIbIIaIIbI

方法技巧

向量有關(guān)概念的關(guān)注點

(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度.

(2)非零向量的平行具有傳遞性.

(3)平行向量即共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制.

(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.

(5)向量f是與向量a同方向的單位向量.

Ia1

訓(xùn)練1下列說法正確的是(B)

A.相反向量就是方向相反的向量

B.a,b,c為非零向量，若a//b,b//c,則a〃c

C.若。與5共線，則a=5或a=—》

D.若a為平面內(nèi)的某個向量，的為單位向量，則“=IaIa0

解析對于A,相反向量是方向相反，長度相等的兩個向量，故A錯誤；對于C,若向量

。與萬共線，則a與匕的方向相同或相反，但長度不一定相等，故C錯誤；對于D,。與

Ialao的模相等，但方向不一定相同，故D錯誤；易知B正確.故選B.

命題點2平面向量的線性運算

角度1向量加、減法的幾何意義

例2(1)［多選］尸是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足IPB-PCI-IPB+PC-2PAI=

0,則△ABC不可能是(AD)

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

解析設(shè)。為邊的中點，則而+無=2而，由已知有ICBI=I2PD-2PAI=

2\AD\,所以△ABC為直角三角形，故選AD.

(2)［全國卷I］設(shè)a,5為單位向量，且la+b1=l,則Ia-bI=百.

解析解法一如圖，四邊形。4cB為平行四邊形，設(shè)M=a,OB=b,'

利用平行四邊形法則得說=a+b,=IaI=IbI=Ia+bI=1,

o■

.?.△OAC為正三角形，：.\BA\\a-bI=2x?x|aI=用.

解法二Va,6為單位向量，且Ia+5I=1,(a+b)2=1,：A+l+2ab-l,

.,.a-b——I，/.Ia—bI2=a2+Z>2—2a0=1+1—2x(一|)=3,Ia—bI=V3.

方法技巧

利用向量加、減法的幾何意義解決問題的思路

(1)根據(jù)兩個向量的和與差，構(gòu)造相應(yīng)的平行四邊形或三角形，再結(jié)合其他知識求解；

(2)平面幾何中，如果出現(xiàn)平行四邊形或可能構(gòu)造出平行四邊形或三角形的問題，那么可

考慮利用向量知識來求解.

角度2向量的線性運算

例3［2022新高考卷I］在△ABC中，點。在邊上，2￡>=2。4.記刀=膽，CD^n,則方

=(B)

A.3m_2?B.-2/n+3n

C.3m+2nD.2/M+3”

解析因為BD=2D4,所以同=3而，所以荏=刀+屈=不+3前=刀+3(.CD-

CX)=—2刀+3麗=—2機+3”.故選B.

方法技巧

向量的線性運算問題的求解策略

(1)利用三角形法則或平行四邊形法則求解；

(2)利用相等向量、相反向量、共線向量以及三角形中位線等，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知

向量有直接關(guān)系的向量進行求解.

角度3根據(jù)向量線性運算求參數(shù)

例4在AABC中，點。在線段8C上，且前=2沆，點。在線段CD上(與點C,。不重

合).^AO=xAB+(1—x)AC,則x的取值范圍是(C)

7119

A.(0,1)B.(-,1)C.(0,-)D.(-,-)

3333

解析設(shè)的=2近，(|,1),則而=屈+麗=荏+；1麗=(1—7)AB+AAC=xAB

+(1—x)AC,則兀=1一丸￡(0,：).故選C.

方法技巧

求參數(shù)問題可以通過向量的線性運算將向量表示出來，進行比較，構(gòu)造方程(組)求解.

訓(xùn)練2(1)［多選］在梯形A8C。中，AB//CD,AB=2CD,AC與相交于點O,則下列

結(jié)論正確的是(ABD)

---->---->1---->

A.AC-AD^-ABB.I0A+20CI=0

C.OA=-CD+-CBD.AB+BC+CD+DA=0

解析對于A,AC-AD=DC=-AB,故A正確.對于B,由題知歿=皮=:所以瓦?十

2AOAB2

2OC=0,故I瓦5+2反I=0,故B正確.對于C,OA=ICA=I(.CB-AB)=|(,CB+

2無)=|CB+|CD,故C錯誤.對于D,AB+BC+CD+DA^AC+CA=O,故D正確.故

選ABD.

(2)在AABC中，AB=2,8C=38，ZABC=30°,為8c邊上的高.若而=2荏+

*4(7,貝!J九一u=|.

解析如圖，為BC邊上的高，：.AD±BC,'：AB=2,NA2C=30。，

.\B￡)=V3=-BC,：.AD^AB+^D=AB+-JC=AB+-(XC-AB)=

333J

-AB+-AC.

33

又+〃AC,.*.A=-,fi=~,故4一〃=±

命題點3共線向量定理的應(yīng)用

例5(1)已知。為△ABC內(nèi)一點，且而=3(OB+OC),AD^tAC,若B,O,D三點、

共線，貝h=(B)

1117

A.-B.-C.-D.-

4323

解析設(shè)片是BC邊的中點，則［(OB+OC)=OE,由題意得前=云，所以而=｝荏=

-CAB+AC)=-AB+-AD,又因為5,O,。三點共線，所以工+工=1,解得/=士故選

444t44t3

B.

(2)［全國卷H］設(shè)向量〃，方不平行，向量筋+力與Q+2方平行，則實數(shù)2=，.

解析因為)與〃+2方平行，所以存在〃￡R,使得九/+5=//(〃+2辦),即(2—〃)a

+(1—2/z)萬=0.因為向量a,萬不平行，所以2—〃=0,1—2//=0,解得2=〃=去

方法技巧

利用共線向量定理解題的策略

(1)利用a//b^a=Xb(厚0)求解.

(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A,B,C三點共線包后，前共

線.

(3)若4與力不共線且癡=〃方，則丸=〃=0.

(4)OA=WB+jtiOC(九〃為實數(shù))，若A,3,。三點共線，則2+〃=1.

注意市=；1赤+〃而中的三個向量的起點相同時，才有A,B,。三點共線T+〃=l.

訓(xùn)練3(1)已知ei,。2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，OA=3ei+2e2,而=4幻+氏2,OC=

52一4%，若A,B,C三點共線，則實數(shù)左的值為(A)

A.-lB.OC.lD.2

解析解法一因為瓦？=3幻+2?2,OB=4ei+ke2f反=50一4&，所以荏=礪一瓦？=

(4ei+既2)—(3ei+2?2)=ei+(k—2)e?,AC—OC—OA—(5ei—4e2)—(3ei+2c2)

=2ei—6e2,又A,B,。三點共線，所以存在唯一的實數(shù)九使得荏=/？，即劣+廉一

(22=1,k=-1,

2)?2=2(2ei—6?2)，所以1解得|1故選A.

1—6A=k—2,A-->

解法二根據(jù)題意，設(shè)。A=xOB+(1—x)OC,則3ei+2e2=[4x+5(1—x)]ei-\~[kx—

4%+5(1—%)=3

得

{fcx—4(1—%)=2,

(2)[2023湖北天門中學(xué)、仙桃中學(xué)等校5月聯(lián)考]如圖，在△ABC中，AD

為BC邊上的中線，G為△ABC的重心，M,N分別為線段AB,AC上的動

/I

點，且M,N,G三點共線，若前=%說(拄0),AN=juAC。屋0),則%,s---tr-

+4"的最小值為(B)

3Q

A.-B.3C.2D.-

24

解析由題意得m=三通=&三(AB+AC)=-CAB+AC)=-(=前+工前)，由于

M，N,G三點共線，故點+/1.故，+4〃=(升4〃)號+力=|+S+^4+2JFl

=3,當(dāng)且僅當(dāng)?=2,即2=1,〃=工時等號成立，故2+4〃的最小值為3,故選B.

3A3u2

等和線的應(yīng)用

例6[全國卷III]在矩形4BC。中，4B=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與8。相切的

圓上.若而K京+〃而，則力+〃的最大值為（A）

A.3B.2V2C.V5D.2

解析解法一如圖，過點C作交直線AB于點E,因為都=2屈

-\-/JAD,則由等和線定理可知，當(dāng)?shù)群途€/與圓相切時，4+〃最大，設(shè)此時/

與直線AB交于點F,則易知AB=BE=EF,此時%+〃=竺=處些型=三竺

rABABAB

=3.

解法二以A為坐標(biāo)原點，AB,AO所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的

平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2).可得直

2

線BD的方程為2x+y—2=0,點C到直線8。的距離d=所以圓C

的方程為（x-1）2+（y—2）2=:因為點尸在圓C上，所以可設(shè)尸（1+

手cos。，2+竿sin。).易知麗=(1,0),15=(0,2),AP^XAB+^iAD^Q,

=

f1+—COS0A,7rp尺

2〃)，所以45所以2+“=2+包cos<9+*sin(9=2+sin(O+9)<3,其

(2+等sin。=2”，55

中(p滿足tan夕=2.所以的最大值為3.

方法技巧

等和線定理：如圖，對于平面內(nèi)一組基底瓦?，而及任一向量而，而=

___>___>/F-JXf,

MA+juOB（九R）,若點尸在直線A8上或在平行于AB的直線431

上，則X+]Li=k（定值）且I左I=^7=—=—（/為OP與A3的交

OFOBOA

點），反之也成立.我們把直線A8以及與直線AB平行的直線AiBi稱為等和線.

推導(dǎo)：由三點共線結(jié)論推導(dǎo)等和線定理，由三點共線結(jié)論可知，若赤=xH?+y加（x,

yGR）,則無+y=l,由△04B與△0421相似，必存在一個常數(shù)左（左GR）,使得加=

kOF,則而=廊=婦團1+心而，又加=幾瓦?+〃加（九〃GR）,所以%+〃=%（x+y）

=上反之也成立.

訓(xùn)練4在扇形AOB中，C為弧A8上的一個動點，乙4。8=60。.若瓦=而2+亞正則x+

3y的取值范圍是「1,3].

解析解法一如圖1,在。8上取一點O,使。8=3。。，連接AD,與0C交于點E,過

C作C尸〃4D,交。8于點尸，則方=而了+用后=赤+3了赤，所以尤+3產(chǎn)弟=蕓.當(dāng)

OE0D

C,A重合時，器最小，為1；當(dāng)c,B重合時，*最大，為3,所以x+3y的取值范圍是

[1,3],

圖1圖2

解法二（坐標(biāo)法）設(shè)扇形AOB的半徑為1,以。為原點，建立如圖2所示的平面直角坐

標(biāo)系，則8(1,0),A(|,爭，設(shè)NBOC=。,0W紇，則C(cos6,sin0),

0C=(cos0,sinO')=x(|,y)+y(1,0),

2V3sin0

cos0="X-------------

即3

V3y=cos0—V3sin0

sin0=—Xi

2(3

所以，+3尸28；吧+3cosV3sin8=3cos。一爭in0.

令g（。）=3cos6（-ysin0（OW線），易知g（。）在[0,中上單調(diào)遞減，所以

g《)=l<g⑻<g(0)=3,

所以x+3y的取值范圍是[1,3].

解法三（構(gòu)造函數(shù)法）設(shè)扇形AOB的半徑為r,

因為方=赤+,礪，

22222222

所以配2=(t^OA+yOB')=xOA+2xyI0AIIOBI-cos60°+yOB,即r=xr+

xy，+y2產(chǎn)，

整理得關(guān)于y的方程產(chǎn)+孫+/—1=0.

易知無，y￡[0,1],△=4-3/>0,

-%+4~3x2

所以y

2

—3X+34—3%2

所以x+3y=x+-----------------

222

34~3x2

令/(無)=-|x+^L_(xe［0,1］),易知/(尤)在［0,1］上單調(diào)遞減，所以/⑴=

l<f(x)<f(0)=3,

所以x+3y的取值范圍是［1,3］.

四'命題點習(xí)題講解

1.［命題點1］設(shè)a,6為非零向量，則“a〃加'是，與6方向相同”的(B)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析因為a,8為非零向量，所以當(dāng)a〃萬時，〃與方方向相同或相反，因此"a〃方"是"a

與b方向相同”的必要不充分條件.

2.［命題點3］在△A8C中，點尸滿足前=2斤，過點尸的直線與A3,AC所在直線分別交于

點M,N,若贏=癡至，AN=nAC(m>0,n>0),則m+2〃的最小值為(A)

A.3B.4C.fD詈

解析如圖，連接AP,易知布=同+秒=荏+］(.AC-AB)=|XB

+々前=工前+巳前.因為M,P,N三點共線，所以三+義=1,因，-，一

33m3n3m3n

為機>0,及>0,所以機+2〃=(m+2n)(―+—)=-+

3m3n3

2n2m_3

里+網(wǎng)＞三+2當(dāng)且僅當(dāng)一=一,即m=n=l時等號成立.

3m3n~33m3n'

3.［命題點3/2023河南省重點中學(xué)測試］已知。，E分別是△ABC的邊A3,AC上的點，且滿

足前=］而，荏=|蕭下為直線OE與直線BC的交點.若衣=4荏+〃尼(2,〃為實

數(shù))，則〃一%的值為(C)

551

A.lB.--C.-D.-

332

解析由題意，得標(biāo)=同+而=:荏+9.因為。，E,尸三點共線，所以罰=碗=

k(a+荏)=/(/《殖，/為實數(shù)，所以前三四+%(押*醇=

0一主）說+|質(zhì).因為8,C,尸三點共線，所以（；*）+|左=1，即左=2,所以方=

一1屈+]左.又初=4荏+〃左，所以4=_[,〃=$所以〃―/=*

五'習(xí)題實戰(zhàn)演練

“2024云南文山州月考]己知平面向量“，》不共線，屈=4a+6b,BC^~a+3b,而二

a+3b,則（D）

A.A,B,。三點共線B.A,B,C三點共線

C.B,C,。三點共線D.A,C,。三點共線

解析BD=~BC+CD^6b,得不出說=4麗，：.AB,前不共線，AA,B,。三點不共

線，A錯誤；由已知得不出話=力而，：.AB,就不共線，.*.A,B,C三點不共線，B錯

誤；由已知得不出就=4麗，：.BC,而不共線，：.B,C,D三點、不共線,C錯誤；前=

AB+BC=3a+9b=3CD,：.AC,而共線，/.A,C,。三點共線，D正確.故選D.

2.[2024河南濟源市第六中學(xué)月考]設(shè)a,6是兩個非零向量，則下列說法正確的是

（C）

A.若|a+bI=IaI—I&I,貝Ua_LA

B.若a_L"貝!IIa+bI=IaI—IftI

C.若Ia+bI=IaI—IZH,則存在實數(shù)九使得。=勸

D.若存在實數(shù)九使得a=M,貝！|Ia+bI=IaI—I/（I

解析Ia+bI=IaI—I/>I成立的充要條件是向量a,b方向相反，且Ia|>|方|,

易知C正確.

3.如圖，尸是線段。2,A2的延長線所圍成的陰影區(qū)域（含邊界）內(nèi)任意一點，且加=

xOA+yOB,則（C）

A.X+J<1B.x+y<l

C.X+J>1D.x+y>l

解析設(shè)存與線段AB的延長線交于點E,則在=201+（1—力）OB,設(shè)而=相岳，根

據(jù)題意易知：論1,當(dāng)且僅當(dāng)尸，E重合時機=1.所以加=加1。1+加（1-/）OB=xOA+

yOB,所以尤=成，y—m（1—/）,x+y=7〃Nl.故選C.

4.已知平面向量a,》滿足|6I=2,I2a—bI=1,則IaI的取值范圍為（C）

A.[|,j]B.（1,3）C.[p|]D.（2,4）

解析因為|2a—bI=1,所以I萬I-I2a_bI<2IaI<I6I+I2a—bI,所以

1<2IaI<3,可得IaIe[|,|],故選C.

5J2023武漢市調(diào)研]在正六邊形ABCDEE中，用前和荏表示無，則麗=(B)

2>1)

A--AC+-AEB.謁刀+|版

33

C「|前+|旗D-|^+|^

解析解法一如圖，記正六邊形的中心為。，連接BE,交AC于點

G,則點。在BE上，G為AC的中點，且G為。8的中點，所以庶=

-AC,CD^-GE^-CAE-AG}=-(.AE--AC)^--AC+-AE,故選

2333233

B.

解法二如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB,AE1所在直線分別為無軸，y軸建

立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正六邊形4BCOEF的邊長為2,則A(0,

0),C(3,V3),D(2,2V3),E(0,2舊)，所以前=(3,

V3),AE=(0,2A/3),CD=(-1,遍).設(shè)方=尤尼+》版，貝4

(-1,V3)=x(3,V3)+y(0,2V3)=(3x,V3x+2V3y),得

_一一

3x——1,解得《23所以方=一工前+々族，故選B.

.V3x+2V3y=V3,(二，

6.[2024四川資陽模擬]在平行四邊形ABC。中，E是AB的中點，尸是線段。E上的點，且

FC^-AB+-AD,則(D)

84

A.FO=2￡TB.FF=2FD

C.ED=3￡TD.￡F=3FD

解析解法一由四邊形48cA是平行四邊形可知前=皮，因為E為A8的中點，所以

AB=2AE,FD=FC+CD=-AB+-AD+CD=-AD--AB=-AD--AE=-^D,所以麗=

8448444

3FD.故選D.

解法二設(shè)麗=2前，/￡[0,1],因為防=同一荏=而一號說，所以而=麗+反=

XED+AB=X(XD-|XB)+AB=(1一夕)AB+^AD,又無=(屈而，所以;1=右

所以麗=立麗，即麗=3萬.故選D.

4

7.［2024河南信陽部分學(xué)校聯(lián)考］已知向量”=(6,2),則與。方向相反的單位向量6的坐

標(biāo)為(-甯，-*

3V10VlOx

解析解法一b=-------，—------).

1010

解法二設(shè)匕=癡=(62,2/0,2<0,則(64)2+(2/1)2=1,得;1=一呼，故/>=

z3V10VlOx

8.［2024天津四中月考］在等腰直角三角形ABC中，尸是斜邊BC上一點，若布

糕了，則△ABC的面積為§.

解析而=~^*+不竺7=二三廂+不工前.由題可知B,P,C三點共線，所以一

+?士?=1.又因為I屈I=I左I,所以I屈I=5,故4A8C的面積S=-x5x5=—.

Mel22

9.［多選］如圖所示，A,B,C是圓。上的三點，線段OC與線段