其次章不等式

學(xué)問梳理

學(xué)問點(diǎn)一：不等式的基本性質(zhì)

1.實(shí)數(shù)的大小兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,其大小關(guān)系有三種可能，即a=b,a<b.

a>b<^a—b>0.

依據(jù)a=b<^a—b=O.

a<b<^>a—b<0

結(jié)論要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與2的大小

2.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容留意

1對(duì)稱性a>b0b<a=

2傳遞性a>b9b>c=a>c不行逆

3可加性a>b^>a+c>b+c可逆

4可乘性a>b,c>O^ac>bcc的符號(hào)

a>b,c<O^ac<bc

5同向可加性a>b,c>d=^a+c>b+d同向

6同向同正可乘性a>b>0,c>d>O^ac>bd同向

7可乘方性a>b>O=^an>bn(n￡N,〃22)同正

學(xué)問點(diǎn)二：不等式的解法

1.區(qū)間的概念

⑴設(shè)a,6是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a<b,則有下表:

定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示

閉區(qū)間一,萬(wàn)_4____

1a%

{x\a<x<b]開區(qū)間，_4____一

3b)a%

半開半閉區(qū)間，_4____一

/b)a*

{RQVXWZ?}半開半閉區(qū)間(a,b]u____

a

(2)實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(一8,+8),“8”讀作“無(wú)窮大”.如:

8,Q)

符號(hào)「4,+8)(〃，+0°)(-8,a](一

集合{x\x^a]x〉a{小Wa}[x\x<a]

2.一元一次不等式(組)的解法

任何一個(gè)一元一次不等式經(jīng)過不等式的同解變形后，都可以化為ax>6(aW0)的形式.當(dāng)a>0時(shí)，解集

為k|x>+；當(dāng)a<0時(shí)，解集為*|X<胃.若關(guān)于尤的不等式26的解集是R,則實(shí)數(shù)m6滿足的條件是:

4=0,b<0.

3.一元二次不等式的解法

（1）一元二次不等式的概念

設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù)，且存0,形如o^+bx+oO（<0,K）或戌）的不等式統(tǒng)稱為一元二次不等式.

⑵一元二次不等式的解集狀況（下面以。>0為例，假如a<0時(shí)，兩邊乘以-1,可以轉(zhuǎn)化為。>0的情形）

判別式/=序一4acJ>0J=0/<0

kL1Z

二次函數(shù)y=ax2+bx

（〃）的圖象

+c>0Xv]ojx2x

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的=X2

一元二次方程ax2+有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根XI，

_b沒有實(shí)數(shù)根

bx+c=0（tz>0）的根X2（X1<X2）

2a

ax1+bx+C>0(Q>0)解集為（-00，石）。（%2，內(nèi)）解集為（-Q0，xJu（Xi，4W）解集R

ax1+bx+c<0(a>0)解集為（X］,x2）解集為0解集為0

ax1+bx+c>0(ti>0)解集為（-℃，解集為R解集為R

ax1+bx+c<0(?>0)解集為［石,馬］解集為{xi}解集為0

4.含有確定值的不等式

（1）確定值的代數(shù)意義

a,a>0,

正數(shù)的確定值是它的本身，負(fù)數(shù)的確定值是它的相反數(shù)，零的確定值仍是零.即|々|=0,a=0,

-a,a<0.

（2）確定值的幾何意義

一個(gè)數(shù)的確定值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

（3）兩個(gè)數(shù)的差的確定值的幾何意義

卜-4表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)匕之間的距離.

(4)確定值不等式：

|x|<a(a>0)的解集是{x|—a<x<a},如圖1；

|x|>a(a>0)的解集是{x|x<-?；騲>a},如圖2；

|ax+Z?|>c(c>O)<^ax+b>c^.ax+b<-c；

考點(diǎn)講解

考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)

1.假如ac>6c,那么下列不等式中，肯定成立的是()

A.ac2>bc2B.a>bC.a+c>b+cD.—>—

cc

【答案】D

【解析】對(duì)于ac>bc,貝對(duì)于A和B：當(dāng)cvO,則avb,故a/v)/,a<b,故A、3錯(cuò)誤;

對(duì)于C：當(dāng)cvO時(shí)，a+c<h+c,對(duì)于。：由于ac>Z?c等價(jià)于0〉2,故。正確.

CC

2.假如a>0,Z?<0,則下列不等式中正確的是()

A.—<—B.y[-b<-JaC.b1<a2D.

ba

【答案】A

【解析】a>0,b<0,則—<—,故A正確，例如a=l,b=-2,則故錯(cuò)誤，

ba

例如a=l,b=—2,則〃>片，故。錯(cuò)誤，例如〃=2,b=-l,貝ljg|<a,故。錯(cuò)誤，故選：A.

3.g+3與幾+質(zhì)的大小關(guān)系是()

A.77+3<A/6+^/10B."+3>遙+^C.而+3=通+回D.不確定

【答案】B

【解析】(T7+3)2=16+6A/7=16+^/252,(A/6+^)2=16+2A/60=16+^/240,

(V7+3)2>(^+V10)2,:.幣+3>&+M,故選：B.

4.已知6<0,則b,ab,片匕的大小關(guān)系是()

A.b<ab<a2bB.crb<ab<bC.a2b<b<abD.b<a2b<ab

【答案】D

【解析】取特殊值：a=--,b=-l,則歷=1，^=--,i^b<a2b<ab,故選：D.

224

5.比較(x-5)2和(x-3)(x-7)兩個(gè)表達(dá)式的大小，并說明理由.

【答案】答案見解析

【解析】解:由于(尤—5)-一(x—3)(無(wú)—7)=4>0,所以(x—5)~>(x—3)(x—7)

6.已知瓦c,d均為實(shí)數(shù)，則下列命題中錯(cuò)誤的是()

cd

A.右ab〈U,be-ad>0,貝lj------->0

ab

cd

B.若必>0,------>0,則從一必>0

ab

cd

C.右be—ad>6,------->0,貝!|而>0

ab

H11八皿11

D.右一<7<0,貝【J--

aba+bab

【答案】A

【解析】對(duì)于A,由于必<0,bc-ad>0,所以￡-?=絲乜<。，故A錯(cuò)誤;

abab

對(duì)于B,由于向>0,￡_?=”學(xué)>0,所以歷一出>0,故B正確;

abab

十,_cdbe-ad?廣廣,_八,,

對(duì)于C,由于歷-成/>0,—-=—>0,所以lx次?>0,故C正確;

abab

1111

對(duì)于D,由一<;<0可得人<a<0,所以一-<0<—,故D正確,

aba+bab

故選：A

7.若1WQ<3,則必的取值范圍為

【答案】［T3）

【解析】解：14。43,若OW6<1,貝若一1W少<0,則0<-6Wl,0<-ab<3,所以一34。6<0,

綜上-3（仍<3,故答案為：［-3,3）.

8.已知比較a+工與6的大小.

ab

【答案】a+->b+-

ab

【解析】解：a>b.A,a+——(b+—)=a—b+———=(a—b)+—~~—=(a—/7)(1———)>0,a+—>b+—.

ababababab

9.設(shè)2<”3,-4<b<-3,求a+6,a-b,￡,ab,2的取值范圍.

ba

【答案】—2<tz+Z?<0,5<a—b<7,—1<—<——,—12<ab<-6,3<—<8

b2a

【解析】解：?.?2vav3,-4<Z?<-3,/.3<-/?<4,一一，二.一2va+bv0,5<a-b<7,

3b4

1111d?tZt|-tyd1/1T■?O</111

v—<——<一,—<——<1,BP—1<—<——，\*6<—ab<V2,..—l2<ab<-6,\*9<b<16,

4632bb23a2

Z?alb

3<—<8,H:―2<a+Z?vO,5<Q—Z7v7,-1<一<—，—12vabv-6,3<—<8.

ab2a

10.已知以b、cwR,下列命題中正確的是（將正確命題的序號(hào)填在橫線上）

①若a>b,則〃c?〉。5;②若〃>h>0,貝!

ab

A

③若一〉0,則而>0;④若a>〃>c,貝lj|a+Z?|〉|b+c|.

a

【答案】②③

【解析】①若當(dāng)C=。時(shí)，貝!)〃°2=尻2,故①錯(cuò)誤；

②若a>b>0,不等式兩邊同時(shí)乘以4,則0<工<:，故②正確；

abab

③若一>0,不等式兩邊同時(shí)乘以/,貝故③正確；

a

④若a>b>c,當(dāng)a=l,b=0,c=—2時(shí)，則|〃|v|人+°|,故④錯(cuò)誤;

故答案為：②③

11.(1)已知acR,比較(〃+3)(a+7)和(a+4)(“+6)的大?。?/p>

(2)已知x<y<。，比較,與，的大小.

xy

【答案】(1)(a+3)(a+7)<(a+4)(a+6)(2)->—

xy

【解析】解：(1)(?+3)(6:+7)—(a+4)(tz+6)=tz2+10?+21-(6?2+10(7+24)=-3<0,所以

(a+3)(a+7)<(a+4)(a+6)；

八八11y-x

(2)0x<y<O,回y—x>0,xy>0,團(tuán)----=---->。，所以

xyxy

12.若bc-必之0,bd>Q,求證：“工c”

bd

【答案】證明見解析

_,7c…cc+da+bb(c+d)-d(a+b)bc+bd-ad-bd

【解析】證明：由于物?一bd>0,所以［-----=———V-3——-=---------------

abbaba

be-ad八a+b,c+d

------>0,所以----<----

bdbd

考點(diǎn)二不等式的解法

15—?Y

13.關(guān)于x的不等式；（x+7）+fK4的解集是

【答案】■坦7}

【解析】去分母得，3（x+7）+2（5-2x）<24,去括號(hào)得，3x+21+10-4xW24,則-爛-7所以不等式的解集為{x|吐7}.

14.解不等式組廠一5<3—6

,并將解集在數(shù)軸上表示出來.

[x-246-3x

【答案】,數(shù)軸略.

1

x-5<3x-6[2x>lx〉一

【解析】由原不等式組<得《即《2

x-2<6-3x4x<82x

x<2>

所以，原不等式的解集是2.

15.解不等式組產(chǎn)一2（5-3》）>8

[2xV2（2x+3）

【答案】（2,+8）

9x>18fx>2/、

【解析】解：由原不等式組可得4,解得，\,所以不等式組的解集為（2,+8）

[2x>-6[x>-3'7

16.已知a,b為常數(shù)，且不等式依+〃>0的解集為-s,|,則不等式區(qū)—3a>0的解集為.

【答案】

a<0a<0

【解析】由于不等式依+〃>0的解集為-,所以《_b_2^即<2，因此不等式Zzx-3a>0

b=——a

a33

229（9]

可化為一一ax-3a>0,則一x+3〉0,解得x〉——，即不等式區(qū)—3a>0的解集為—7，+°0，故答

33212）

案為：[一^件00].

17.不等式（x-2><4的解集為.

【答案】{x|04xW4}

【解析】由（x—2）2?4,得一2Wx—2<2,解得：0WxW4,所以解集為{x|0WxW4}.

18.不等式x（x—2）<0的解集為.

【答案】{x|0<x<2}

【解析】由尤（尤—2）<0解得0<%<2,則不等式x（x—2）<0的解集為何。<大<2},故答案為:

{目0<無(wú)<2}.

19.不等式f+5x—6>0的解集是（）

A.卜卜（一2或x>3}B.1x|-2<x<3|

C.{x|x（-6或x）l}D.|x|-6<x<1}

【答案】C

【解析】由于f+5x—6>0,所以（x—l）（x+6）>0:.x>l或x<Y,選C.

20.求下列不等式組的解集：

x2—2x-3>0x2—2x—15>0

；（2）{,

x-1>0|^x2-4x-12<0

【答案】(1)(3,+00);(2)[5,6).

(x-3)(x+l)>0x〉3口上光〈—1

【解析】解：(1)原不等式組等價(jià)于<即多，其解集為x>3,因此，原不等

x-l>0x>1

式組的解集為(3,+8).

(x-5X%+3)>0x>5口ViX<—3

(2)原不等式組等價(jià)于即1一?一，其解集為53<6,因此，原不等式組的解集

(x-61%+2)<0-2<x<6

為[5,6).

|l-2x|<9

21.解不等式組《

x~—x—12>0

【答案】[-4,-3)D(4,5]

-9<l-2x<9—4Vx<5

【解析】解：原不等式組等價(jià)于《則1一，故原不等式的解集為

(x-4X%+3)>0'x>4或%<-3

[-4,-3)4,5]

22.解下列不等式：

(1)|l-2x|>3;(2)2<|x+l|<3;(3)|x-l|>|2x+3|;

【答案】⑴(-00,4)o(2,+oo)(2)[-4,-3)o(l,2](3)I-2,-1

【解析】解：(1)原不等式等價(jià)于l-2x>3或l-2r<-3,解這兩個(gè)不等式得或x>2,所以原不等式的解集為

(-00,-1)U(2,+00)

x+1>2%+1〉+1<-2x><—3

⑵原不等式可化為《n即V解得〈一即-4%<-3或k立2,所以,

巾+1區(qū)3—3V%+1V3-4<x<2

原不等式的解集為[-4,-3)u(1,2].

4

(3)兩邊平方得，(x+l)2>(2x+3)2,整理得，3f+10x+8<0,即(x+2)(3x+4)<0,解得—,所以，原不等式的解集

3

為12，。

23.已知不等式以2+公+12o的解集為{R—5VxVl}.求a、b的值

,14

【答案】。,匕的值分別為一m，—y

【解析】解：由題意不等式以2+樂+120的解集為{為卜5<%<1},故1,-5是方程依2+陵+1=0的兩

b11414

個(gè)根，/.1+(-5)=—，1x(-5)=—,/.a=—,b=—,故答案為：—；.

aa5555

24.當(dāng)常數(shù)k取何值時(shí)，關(guān)于x的不等式一+(上1)%+4>0的解集為全體實(shí)數(shù)集R.

【答案】(-3⑸

【解析】解：由于不等式/+(hl)x+4>0的解集為全體實(shí)數(shù)集R,可知，方程/+(hl)尤+4=0的判別式/

=(hl)2-16<0,即優(yōu)+3)(h5)<0,其解為-3<M5,所以當(dāng)比(-3,5)時(shí)，不等式f+(hl)x+4>0的解集為R.

25.已知關(guān)于x的不等式aj^+bx+c>0的解集為{x[2<x<3},求關(guān)于x的不等式c/+/?x+〃<0的解集.

【答案】或無(wú)〉L

32

【解析】解：由不等式ax1-\-bx-\-c>0的解集為{%|2<x<3},可知〃<0,且2和3是方程dix2+ta+c=0的兩根,

beb5

由根與系數(shù)的關(guān)系可知=—5,—=6,由〃<0知c<0,—=-一，故不等式cd+H+avO,

aac6

即必+2%+旦>0,即犬-9兀+工>0,解得無(wú)〈工或

所以不等式ex2+Z?x+a<0的解集為

cc6632

<xx<—^c>—>

32

鞏固練習(xí).

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)

1.若。<6<0,則下列不等式正確的是(

A.-<-B.ab>a2C.|o|<|Z?|D.a2>b2

ab

【答案】D

【解析】A,當(dāng)。=一2,b=T時(shí)，則L>L錯(cuò)誤，

ab

B,當(dāng)a=—2,6=—l時(shí)，則岫<〃，錯(cuò)誤,

C,當(dāng)a=—2,6=—l時(shí)，則|。|>|"，，C錯(cuò)誤，

D,1.ta<b<0,a2-b2=(a+b)(a-b)>0,a2>b2,二。正確，故選：D.

2,設(shè)x=2a(a+2),y=(a-l)(a+3),則有()

A.x>yB.x..yC.x<yD.兀,y

【答案】A

【角星］%—y=2Q(Q+2)—(a—1)(。+3)=a?+2a+3=(a+1)2+2>0?x^>y：A.

3.不等式(x+2)Q-%)>。的解集是()

A.{九|九<一2或%>1}B.或x>2}

C.{%|-2<x<l}D.{x|-l<x<2}

【答案】C

【解析】由于(x+2)(l-x)>0,所以(x+2)(x—1)<0,解得—2<x<l,即不等式的解集為{x|—2<尤<1},

故選：C.

4.若lvav2,3<Z?<5,則下列不等式中不正確的是()

3b

A.4va+人<7B.2<b—a<3C.3<^<10D.—<—<5

2a

【答案】B

【解析】???1VQV2,3Vh<5,由不等式的可力口性可得，4<6Z+Z?<7,故A正確,

\'l<a<2,「.一2v-av-l,?/3<Z;<5,:.l<b-a<4,故_8錯(cuò)誤，

,.Tvqv2,3<b<5,/.3<tzZ?<10,故。正確，

??Tvav2,—<—<1,\-3<b<5,—<5,故￡)正確.

2a2a

故選：B.

5.不等式3/一％一220的解集是()

A.1x|—|<x<ljB.jx|-l<x<|-

C.D.1|xW-l或

【答案】C

2、

【解析】3X2-X-2=(3X+2)(X-1)>0,解得：x<--^x>l,故選：C.

6.記集合M=|x|x2>41,N={N%2_4X〈O},則Mp|N=()

A.{x|2<x<4}B.{%|%之0或x<-2}

C.1x|0<x<21D.1%|-2<x<4|

【答案】A

【解析】回M=卜,2>4|={%卜<一2或1>2},N={x|%2_4Jr?0}={x[0<x?4},所以A/^|N={x[2<x<4},

故選：A.

7.以下不等式中，與不等式|1-%|?3同解的不等式是()

A.1—x<±3B.l-x<3

C.―3<1—xK3D.x-l>3^tx-l<-3

【答案】C

【解析】回|1-乂43,0-3<l-x<3,故選：C.

8.關(guān)于x的一元二次不等式依。+2訴+l>0的解集為R,則。的取值范圍()

A.a>0B.0<?<1C.0<d!<lD.a>1

【答案】B

6Z>0

【解析】要使一元二次不等式加+2辦+1>。的解集為R,則需滿足.,,,n0<”1,故選:

A=(2a)2-4a<0

B.

9.已知A={x,2一2x—3>。},B=6+bwo2若aU3=R,0nB=(3,4],則有()

A.a=3,b=4B.a=3,b=—4

c.〃=—3,b=4D.a=—3^b=-4

【答案】B

【解析】由2%—3>0,得(X—3)(x+l)>。，得％v—1或1>3,即A=(—8,—l)U(3,+a)),

又AUB=R,406=(3,4],得8=[-1,4],即—1,4是方程/—依十匕二。的兩根，得1+4=3,

6=—lx4=T,故選：B.

10.下列命題為真命題的是()

A.若a>6>0,則B.若a>6>c>0,則￡<.

ab

C.若a〈b〈U,貝D.若QVZ?VO,則一<,

ab

【答案】B

【解析】對(duì)于A,若a>人>0,當(dāng)。=0時(shí)，ac2=be2,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于3,若a>%>c>0,￡一￡=叵色>0,故￡>￡,故3正確,

baabba

對(duì)于C,若avbvO,則儲(chǔ)>",故。錯(cuò)誤，

對(duì)于。，若a<6<0,則』-工="心<0,則1>工，故。錯(cuò)誤，

baabab

故選：B.

二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)

11.不等式％2—4W0的解集是.

【答案】[-2,2]

【解析】不等式/—4W0化為(x+2)(x—2)W0,解得—2W九W2,故不等式的解集為[—2,2],故答案

為：[-2,2].

12.不等式,―5|26的解集為.

【答案】(-oo,—

【解析】原不等式等價(jià)于A-5>6或x-5<-6,解這兩個(gè)不等式得x>ll或爛-1,所以原不等式的解集為

(-00,-1]U[H,-H?)

4x2-15x+9>0

13.不等式組<的解集為______________

3x2+x-2>Q

【答案】(一0°,—+℃)

4x2-15x+9>0(4尤—3)(x—3)>0

【解析】由<可得《，解得xW—1或x>3,故答案為:

3x2+%-2>0(3%-2)(%+1)>0

(-CO,-1]O(3,-HX>).

JC—1>〃

14.不等式組4有解，則實(shí)數(shù)a的滿足的取值范圍集合是_______________.

x-4<2a,

【答案】（一1,3）

【解析】由不等式組可得，1+4（尤<4+2a，要有解，貝U

1+/<4+2。=。2_2。_3<0=（。一3）（。+1）<0,解得—1<。<3,故答案為：（—1,3）.

15.若關(guān)于x的不等式尤2一%+6<0的解集是（—1,。，則/,=.

【答案】一2

—1+？=1

【解析】由題設(shè)可知：關(guān)于工的一元二次方程V—》+人=0的兩根為一1與/，由韋達(dá)定理可得",,

-t=b

解得：t=2,b=—2,故答案為：—2.

16.不等式上+2|<2的解集為.

【答案】（-4,0）

【解析】不等式等價(jià)于-2<x+2<2,解得-4<x<0.故原不等式的解集為（-4,0）,故答案為：（-4,0）.

17.已知—2領(lǐng)Jc-1,2張少3,則x—y的取值范圍為.

【答案】[-5,-3]

【解析】???2到3,.-.-3^Py-2,-.--2^-1,，一5融7-3,故x—y的取值范圍是[-5,-3].

18.若關(guān)于x的不等式（a——1）無(wú)一1>。的解集為0,則a的取值范圍是.

【答案】—3WaWl

【解析】當(dāng)a—1=0,即a=l時(shí)，不等式化為一1>0,其解集為0,符合題意；當(dāng)a—IwO,即時(shí)，

fa-1<0

由不等式（a—l）Y+（a—1卜—1>0的解集為0得<1）<0'解得一3工。<1，綜上所

述：〃的取值范圍是一3<Q?1,故答案為：—3<Q<1.

三、解答題（本題共6小題，共46分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.）

19.(6分)比較(x-2)(%-4)與(1-1)(X-5)的大小關(guān)系.

【答案】(x-2)(%-4)>(x-1)(%-5)

【解析】解：,/(x-2)(%-4)-(%-1)(%-5)=(九?-6x+8)-(x2-6x+5)=x2-6x+8-x2+6%—5=3>0,

(x—2)(x—4)>(x—l)(x—5).

x-3>0

20.（6分）解不等式組《

犬—3x—4>0

【答案】（4,+8）