二次根式（考點(diǎn)卷）

考點(diǎn)一二次根式有無(wú)意義的條件（共5題）

1.（23-24八年級(jí)下?廣西梧州?期中）若式子萬(wàn)7+X-2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x<2B.x<2C.x<2且"0D.X<2且HO

【答案】D

【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件、負(fù)整數(shù)指數(shù)暴有意義的條件等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意正確列出

不等式組成為解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式中被開(kāi)方數(shù)大于等于0、負(fù)整數(shù)褰的底數(shù)不等于零即可解答.

【詳解】解：???式子行二1+獷2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

???2-xNO且

??.xW2且w0.

故選D.

2.（2023?云南?模擬預(yù)測(cè)）要使無(wú)巨有意義，貝”的取值范圍是（）

x—2

A.且xw2B.x>1C.x>l且xw2D.x<1

【答案】A

【分析】本題考查了分式有意義的條件、二次根式有意義的條件，熟練掌握分式的分母不能為0和二次根

式的被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性是解題關(guān)鍵.根據(jù)分式的分母不能為0和二次根式的被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性求解即可得.

【詳解】解：由分式的分母不能為0和二次根式的被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性得：x-120且X-2H0,

解得且xw2,

故選：A.

3.（23-24八年級(jí)下?江蘇淮安?期末）若式子岳工1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

【答案】

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“二次根式有意義的條件即被開(kāi)方數(shù)不小于零”

列出不等式求解即可.

【詳解】解：???式子岳工I在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

/.2x+1>0,

解得：x"g，

??.X的取值范圍是

故答案為：x>-1.

4.（23-24八年級(jí)下?黑龍江佳木斯?期中）要使式子正I有意義，則m的取值范圍是.

m-2

【答案】加之一1且冽。2

【分析】本題考查了二次根式、分式有意義的條件.熟練掌握二次根式、分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

由題意得，m+1>0,機(jī)-2w0,求解作答即可.

【詳解】解：???式子也亙有意義，

m—2

/.m+1>0,加一2w0,

解得，冽2一1且相。2,

故答案為：加2-1且加二2.

5.（23-24八年級(jí)下?廣東廣州?期中）已知。，，為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足°=赤石+61+2.

（1）°=_，b=_；

⑵求疝?也?的值.

a+b

【答案】（1）。=2,b=5；

（2）2710.

【分析】（1）由二次根式的性質(zhì)，得6-520,5-620,即可得出6=5,然后代入即可求出。的值;

（2）把。、6的值代入即可求解；

本題考查了二次根式有意義的條件，利用二次根式的性質(zhì)求出。、6的值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：+1+2,

???/?—520,5—

Z?—5,

6Z—25

（2）當(dāng)Q=2,6=5時(shí)，

原式=^^三出=2癡.

2+5

考點(diǎn)二利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)（共5題）

1.（23-24八年級(jí)下?山東德州?階段練習(xí)）實(shí)數(shù)0,6在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)77_后_/5-

的結(jié)果是（）

ab

-101

A.-2bB.-2aC.2b-2aD.0

【答案】A

【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，二次根式化簡(jiǎn)，要求學(xué)生正確根據(jù)數(shù)在數(shù)軸上的位

置判斷數(shù)的符號(hào)以及絕對(duì)值的大小，再根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行判斷.

由數(shù)軸可知0<b<l,所以。一6<0,化簡(jiǎn)即可解答.

【詳解】解：由數(shù)軸可知一1<。<0,0<6<1,

:.a-b<0,

?*J-Jb~~J（a-6）2-—a-b+（a-b）——a-b+a-b——2b.

故選：A.

2.（23-24八年級(jí)下?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）已知-1<。<4,則簡(jiǎn)化川+2a+a2_J/_8a+i6的結(jié)果是（）

A.-3B.3C.2a-3D.3-2a

【答案】C

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握完全平方公式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

先把被開(kāi)方數(shù)分解因式，再化簡(jiǎn)求值.

【詳解】解：

a+1>0,q—4<0,

Jl+2Q+/—J。2—8〃+16

=|tz+11一|ci_41

=a+l+a—4

=2a—3f

故選：C.

3.（23-24八年級(jí)下?浙江寧波?階段練習(xí)）若而了-（萬(wàn)二則。的取值范圍是.

【答案】a<l/l>a

【分析】根據(jù)開(kāi)平方和一個(gè)數(shù)的平方的性質(zhì)將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)即可求出。

的取值范圍.本題考查了二次根式以及絕對(duì)值化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵在于一個(gè)未知數(shù)開(kāi)方的結(jié)果要帶絕對(duì)值，

一個(gè)帶根號(hào)的未知數(shù)的平方等于原來(lái)的數(shù).

【詳解】解：

_1|一（2-〃）=-1,

—1|—2+〃+1=0,

「Ja-+a-1=0,

「JQ—1|=一（〃—1）,

Q—1W0,

:.a<\.

故答案為：?<1.

4.（23-24八年級(jí)下?遼寧鐵嶺?階段練習(xí)）已知0<x<l,且x+^=ll,則4-十的值為.

Xyjx

【答案】-3

【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的運(yùn)算，完全平方公式，熟知分式混合運(yùn)算的法則是

解題的關(guān)鍵.先把已知條件式兩邊同時(shí)平方得到［6-=x+--2,貝116-3=±3,再求解即可.

*/0<%<1,

故答案為：-3

5.(23-24八年級(jí)下?廣西玉林?期中)(1)已知。，，為實(shí)數(shù)，且2H工=/-8,求。，，的值.

(2)已知實(shí)數(shù)加滿(mǎn)足|2023-向+Ym-2024=m,求加-2023?的值.

【答案】(1)a=2,b=±242；(2)2024

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是正確解答的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)二次根式有意義的條件可得出。的值，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為0得出△的值即可；

(2)根據(jù)二次根式有意義的條件可得用的取值范圍，再根據(jù)絕對(duì)值的定義將原式化為而隔=2023,

兩邊平方即可.

【詳解】解：(1)j4-2a和Ja-2均有意義,

4—2。20且Q—220,

即且

..〃二2,

當(dāng)。=2時(shí)，j4-2a+2V^I=/-8,

可得8=0

?"2=8,即b=±2A/2，

二.Q=2,b-±2A/2;

(2)Jm-2024有意義,

m>2024,

|2023-m|=m-2023,

因此|2023-司+J加-2024=m,可變?yōu)榧右?023+J加-2024=加,

即J加-2024=2023，

.5-2024=20232,

BP.-.m-20232=2024,

.?.加一20232的值是2024.

考點(diǎn)三復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)（共5題）

1.（2024八年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）己知a、b為有理數(shù)，且滿(mǎn)足a+6G=J12-，則

等于（）

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是把而Z7T化簡(jiǎn)為3-a.

先把J12.66化簡(jiǎn)為3-石,然后根據(jù)已知條件求出a、b的值，即可計(jì)算的值.

［詳解］解：???J12-=，（3-6『=3-6,

又,*>a+J12-6百，

*0eQ+—3-y/3，

a=3,b=—1f

Q—6=3—(—1)=3+1=4,

故選：D.

2.（23-24八年級(jí)下?黑龍江鶴崗?期末）把（m-l）J'中根號(hào)前的（m—l）移到根號(hào)內(nèi)得（

V1-m

A.y/m-1B.y/l-mC.—y/m-1D.-y/l-m

【答案】D

【分析】先判斷出冽-1的符號(hào)，然后解答即可.

【詳解】???被開(kāi)方數(shù);20,分母

1-m

1—m>0,/.m-1<0.

2

?,?原式=—(1—加)---—m)—--二—y/1—m.

1-m

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)：77=同.也考查了二次根式的成立的條件以及二次根式的乘

法.

3.(23-24八年級(jí)下?浙江湖州?期末)觀察下列各式：

5+276=(2+3)+2A/2^3=(V2)2+(V3)2+2A/2XV3=(V2+V3)2,

8+2V7=(l+7)+2>/1^7=l2+(V7)2+2xlxV7=(1+V7)2,……請(qǐng)運(yùn)用以上的方法化簡(jiǎn)內(nèi)刀石=_

【答案】V5+V2/V2+V5

【分析】本題考查了復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)，完全平方公式的應(yīng)用；按照題中提供的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：布+2回=J5+2+2廂

=J(后+詆2+2〉氐亞

=V(V5+V2)2

=#)+V2；

故答案為：V5+V2.

4.(23-24八年級(jí)上?四川?階段練習(xí))完成下列各題，

(1)若3=9,那么叵的值是_____.

abVb

(2)化簡(jiǎn)：722-6V13=.

【答案】|VToV13-3

【分析】(1)先對(duì)二次根式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，然后?=:得3=：,進(jìn)而代值求解即可;

(2)利用完全平方公式結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

2a+b

【詳解】解：(1)原式=

b

2_4

ab

Q_3

~b~4

原式=、2*+l,

=-Vio；

2

⑵也2-6出，

=722-2x3^/13，

=722-2713^9，

=713+9-2713x9，

="舊『-2jl3x9+32,

=A/T3—3,

故答案為：!Vio；VB-3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)及完全平方公式，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及完全平方公式是解題

的關(guān)鍵.

5.（23-24八年級(jí)下?山東臨沂?期中）閱讀與思考

下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

標(biāo)題：雙層二次根式的化簡(jiǎn)

內(nèi)容：二次根式的化簡(jiǎn)是一個(gè)難點(diǎn)，稍不留心就會(huì)出錯(cuò)，我在上網(wǎng)還發(fā)現(xiàn)了一類(lèi)帶雙層根號(hào)的式子，就是

根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的式子，它們能通過(guò)完全平方公式及二次根式的性質(zhì)消掉外面的一層根號(hào).

例如：要化簡(jiǎn),3+24，可以先思考（1+8）2=12+2x1x8+（夜『=3+2夜，所以

13+20=/2+2義1義0+（行『='（1+后『=1+后.通過(guò)計(jì)算，我還發(fā)現(xiàn)設(shè)

1a+b6=+=m+77V2（其中加，"，a,b都為正整數(shù)），則有a+=加°+2〃2+2"?〃血，

a=m2+2n2，b=.

這樣，我就找到了一種把部分雙層二次根式化簡(jiǎn)的方法.

任務(wù)：

⑴文中的6=.

(2)化簡(jiǎn)：&+26-

(3)已知八+4妍=》+y小,其中a,x,y均為正整數(shù)，求。的值.

⑷化簡(jiǎn)：j4°-8獷1+^4。+8而1=.(直接寫(xiě)出答案)

【答案】(1)2加〃

⑵

(3)7或13

(4)當(dāng)l4p<2時(shí)，^4p-Sy]p-l+^Ap+S-Jp-l=4,當(dāng)IP±2時(shí)，^4p-8^p-l+^4p+Sy/p-1-4-^/?-1

【分析】本題主要考查了復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)：

(1)根據(jù)題目所給信息即可得到答案；

(2)根據(jù)加+2人=55+2石+1結(jié)合完全平方公式求解即可;

(3)根據(jù)a+4指=X?+3/+2盯g,得出。=》2+3/，4=2xy,根據(jù)x,y為正整數(shù)，求出x=2,y=1

或x=l,y=2,最后求出。的值即可.

(4)根據(jù)歷二訴7+”^口7不^=版『+拒乒帝『進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】(1)解：a+by/2=m2+2n2+2mn4^<

■'-a=m2+2n2>b=2mn.

故答案為：2mn；

(2)解：J6+2行

=75+2行+1

+2xlxV5+l2

故答案為：V5+1:

(3)解：由題意得”+4AA=—+3/+2盯g,

.'.a=x2+3y2,4=2xy,

,?x，y為正整數(shù)，

.??％=2,y=l或x=l,y=2,

(2=22+3xl2=7或。=F+3x2?=13.

"TF31—2,27^7+2,

當(dāng)2J夕一1一2N0,即夕22時(shí)，則原式=2d=一1一2+2,〃一1+2=4dp—1；

當(dāng)2yJ1-1-2v0,即IV2<2時(shí)，則原式=2-2J<-1+2J,—1+2=4；

綜上所述，當(dāng)14p<2時(shí)，J4P-8^^T+J4P+8jp-l=4,當(dāng)時(shí),

J4P-8yJp-I+小4P+8yjp_[=4Jp-1.

考點(diǎn)四二次根式中的參數(shù)問(wèn)題（共5題）

1.（23-24八年級(jí)下?河北邯鄲?期中）若岳用是最簡(jiǎn)二次根式，且可與癡合并，則。的值是（）

A.—B.-C.-D.3

222

【答案】D

【分析】一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式

叫做同類(lèi)二次根式.最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的

因數(shù)或因式.

【詳解】解：712=273,

???j2a-3是最簡(jiǎn)二次根式,且可與2道合并,

2。-3=3,

a=3,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查同類(lèi)二次根式以及最簡(jiǎn)二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解同類(lèi)二次根式以及最簡(jiǎn)二次根

式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

2.（22-23八年級(jí)下?河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）若最簡(jiǎn)二次根式飆+2023與國(guó)（。為有理數(shù)）可以合并，則

m的值為（）

A.2021B.-2021C.2025D.-2025

【答案】B

【分析】最簡(jiǎn)二次根式后前方與行?？梢院喜ⅲ瑒tdm+2023與歷是同類(lèi)二次根式,即被開(kāi)方數(shù)相同,

即機(jī)+2023=2,求解即可.

【詳解】解：???最簡(jiǎn)二次根式胃加+2023與小可以合并,

+2023與血是同類(lèi)二次根式，

m+2023=2.

解得力=—2021.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了同類(lèi)二次根式，以及最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

3.（23-24九年級(jí)上?甘肅天水?階段練習(xí)）計(jì)算：如果7^與+萬(wàn)工=0,那么。+6=；

J1—x+Jx-1+x2-2=?

【答案】5-1

【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性解答即可，即國(guó)aW0"0.

【詳解】解：???V^z3+V2^=0,V^3>0,V2^>0,

Q_3=0,2—b=0,

：.a=3,b=2,

???a+6=5；

1—x>0,x-1>0,

x-1,

■■-71^1+77^!+^2-2=12-2=-1；

故答案為：5,-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的雙重非負(fù)性，熟知20）20是解題的關(guān)鍵.

4.（22-23八年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）若、些是整數(shù)，則整數(shù)〃的所有可能的值為

Vn

【答案】1,4,9,36

【分析】J二是整數(shù)，則々20,且々是完全平方數(shù),即可求出n的值.

Vnnn

【詳解】解：J出是整數(shù)，

Vn

???—>0,且非是完全平方數(shù)，

nn

.??①一=1,即〃=36；

n

QA

②一=4,即〃=9；

n

2A

③一=9,即“=4.

n

（4）—=36,即〃=1；

n

綜上所述，整數(shù)”的所有可能的值為1,4,9,36.

故答案是：1,4,9,36.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，理解、慳是整數(shù)的條件是解題的關(guān)鍵.

Vn

5.（23-24八年級(jí)?全國(guó)?假期作業(yè)）（1）已知小三是整數(shù)，求自然數(shù)n所有可能的值;

（2）已知村是整數(shù)，求正整數(shù)n的最小值.

【答案】（1）自然數(shù)n的值為2,9,14,17,18；（2）正整數(shù)n的最小值為6.

【分析】（1）根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出自然數(shù)n的值即可；

（2）根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出正整數(shù)n的最小值即可.

【詳解】（1）?.?可:是整數(shù),

[18-"=0,18-/?=1,18-"=4,18-〃=9,18-/?=16,

解得：?=18,n=17,n—14,n—9,n—2,

則自然數(shù)”的值為2,9,14,17,18；

（2）?.?血布=2用是整數(shù)，”為正整數(shù)，

???正整數(shù)〃的最小值為6.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)五二次根式的混合計(jì)算(共10題)

1.(23-24八年級(jí)下?河南駐馬店?期末)計(jì)算：

(1)724-^-76xVio+Vs

【答案】(1)2

⑵一4-4月

【分析】本題主?？疾榱硕胃降幕旌线\(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)和混合運(yùn)算法則計(jì)算即可得到答案；

(2)根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可得到答案；

【詳解】(1)解：幅+娓-2&W+a

2/s

=2a十幾--^-xW+20

=2-2A/2+2A/2

二2；

(2)(V5+V2)(V5-V2)-(A/3+2)2

=(A/5)2-(V2)2-(3+4+4>/3)

=5-2-3-4-4>/3

=-4-473.

2.(23-24八年級(jí)下?廣東惠州?期末)計(jì)算.

⑴廠1廠+2痘-屈；

V?V3-V2

⑵(272+1)(272.

【答案】⑴5囪-2啦;

(2)473.

【分析】(1)利用二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則計(jì)算即可求解;

(2)利用平方差公式、完全平方公式展開(kāi)再合并即可求解；

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：原式=6+后+2x2>/J-30

=73+72+473-372

=573-272；

(2)解:原式=8—1-(3-4-+4)

=7-7+473

=4y/3■

3.(23-24八年級(jí)下?黑龍江齊齊哈爾?期末)計(jì)算:

(1)A/27—y/6)

⑵(26+V5)(2V3-V5)-(V6-V3)2

【答案】(1)&+4

(2)672-2

【分析】本題考查了二次根式的加減乘除混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的加減乘除混合運(yùn)算的法則及二次

根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)二次根式的乘除計(jì)算，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后運(yùn)用二次根式的加減法法則計(jì)算，即

得答案；

(2)先根據(jù)平方差公式和完全平方公式計(jì)算，再運(yùn)用二次根式的加減法法則計(jì)算，即得答案.

【詳解】(1)解：V274-^^-+2^(^/1-2-^6)

=-j27^|-+2^|xVi2-2^1X76

=30+4-2加

=V2+4;

(2)解：(2V3+V5)(2A/3-V5)-(V6-V3)2

=(2A/3)2-(V5)2-(6-6V2+3)

=12-5-9+672

=60-2.

4.(北京市西城區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)計(jì)算:

(l)V3xV6+V50；

(2)(2V7+1)(2V7-1).

【答案】(1)80

(2)27

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡(jiǎn)方法.

（1）先化簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)二次根式的乘法和加法合并；

（2）先用平方差公式展開(kāi)，計(jì)算二次根式的乘法即可；

【詳解】⑴解:原式：V3XV6+V50

=372+572

=872.

（2）原式：（2^7+1）（2^7-1）

=（2仞2一1

=27.

5.（23-24八年級(jí)下?河南許昌?階段練習(xí)）計(jì)算:

⑵卜灰-6后+4后卜百-4石

【答案】（1）3

(2)2

【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的計(jì)算，是解題

的關(guān)鍵：

(1)先進(jìn)行開(kāi)方，去絕對(duì)值運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算；

(2)先化簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行除法運(yùn)算，再合并同類(lèi)二次根式即可.

【詳解】⑴解：原式=4-2+啦-啦+1=3;

(2)原式=僅0百-184+4呵+道-4石

=2+46-4后

=2.

6.(23-24八年級(jí)下?江蘇揚(yáng)州?期末)計(jì)算：

(1)VTs+13—Vs|—；

(2)[V6-1)2-(3+V5)(3-A/5).

【答案】⑴正

(2)3-276

【分析】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，完全平方公式等

知識(shí).熟練掌握二次根式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵.

(1)利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可；

(2)利用平方差公式，完全平方公式計(jì)算二次根式的乘法，然后合并同類(lèi)項(xiàng)即可.

【詳解】(1)解：M+卜一閩一

=30+3-2亞-3

=y[2；

(2)解：(V6-l)2-(3+V5)(3-V5)

=6-276+1-(9-5)

3-2巫.

7.（23-24八年級(jí)下?天津西青?期末）（1）計(jì)算：475-732-（745-472）；

（2）計(jì)算：（2V3+V7）（2A/3-V7）.

【答案】（1）V5；（2）5

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次根式的加減混合運(yùn)算、二次根式的乘法、平方差公式，解題關(guān)鍵是熟練

掌握二次根式的相關(guān)運(yùn)算.

（1）根據(jù)二次根式的加減混合運(yùn)算法則即可得解；

（2）根據(jù)二次根式的乘法、平方差公式即可求解.

【詳解】解：（1）原式=4囪-4次-3出+4夜

=yjh；

（2）原式

=12-7

=5.

8.（23-24八年級(jí)下?江蘇揚(yáng)州?期末）計(jì)算

⑴［瓦一岳+浦X2G；

（2）（6-1）+^2+V5^2—A/5j.

【答案】（1）7遙-12

(2)-2A/3+3

【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和乘法公式是解答的關(guān)鍵.

（1）先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)各數(shù)，再根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則，結(jié)合乘法分配律去掉括號(hào)，再加

減運(yùn)算即可求解；

（2）先利用乘法公式運(yùn)算各式，然后加減運(yùn)算即可.

【詳解】（1）解：^718-712+^x273

（石、

=3V2-2V3+—義2公

2

=6娓-(2國(guó)+娓

=776-12；

(2)解:(若一1『+(2+百)(2-石)

=3-273+1+4-5

=-2^3+3.

9.(23-24八年級(jí)下?江蘇鎮(zhèn)江?期末)計(jì)算:

(1)V18-V32+|l-V2|;

(2)(75-V3)2+(2+73)(2-?

【答案】(1)-1

(2)9-2715

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算；

(1)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后合并同類(lèi)二次根式即可求解;

(2)根據(jù)完全平方公式與平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)解：V18-V32+|l-V2|

=3收-4后+收-1

=-1；

(2)解：(V5-V3)2+(2+V3)(2-V3)

=8-2而+4-3

=9-2715-

10.(23-24八年級(jí)下?天津薊州?期末)計(jì)算：

(1)2712+-V27；

(2)^y/2+1j—V48-=--\/6.

【答案】(1)26

(2)3

【分析】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，二次根式的加減計(jì)算：

（1）先化簡(jiǎn)二次根式，再計(jì)算二次根式加減法即可；

（2）先根據(jù)完全平方公式去括號(hào)，然后計(jì)算二次根式除法，最后計(jì)算加減法即可.

【詳解】（1）解：2而+3卜后

=4V3+V3-3V3

=2V3;

(2)解：(V2+1)2-V48-A/6

=2+272+1-78

=2+2V2+l-2V2

=3.

考點(diǎn)六分母有理化（共5題）

1.（23-24八年級(jí)上?上海徐匯?階段練習(xí)）已知加=北^，下列各式為負(fù)值的是（

).

A.—B.2-（V3+m）C.m-1D.1-V3m

【答案】C

【分析】本題主要考查了分母有理數(shù)、二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，掌握分母有理化的方法成為解題關(guān)

鍵.

]

先對(duì)比=分母有理化，然后再分別代入各選項(xiàng)計(jì)算判斷即可.

2+6

12-62-百

..m=2-73>0

【詳解】解:2+6(2+@(2一@4-3

?1?A.m]2+6>°,不符合題意；

2+73

B.2-(有+加)=2-(百+2-6)=2-2=0,不符合題意;

C.w-l=2-V3-l=l-V3<0,符合題意;

D.l-V3(2-V3)=l-2V3+3=4-2V3>0,不符合題意.

故選C.

2.（2024八年級(jí)?全國(guó)?競(jìng)賽）己知的整數(shù)部分是加，小數(shù)部分是"，則機(jī)（加+J7"）+加”的值為

（）

A.10B.7C.6D.4

【答案】A

【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，分母有理化，代數(shù)式求值，先根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算求出如〃的值，再代

入進(jìn)行求解即可.

13+近3+V7

【詳解】解：二77=（3+⑺（3一行廣了，

*/4<7<9,

/.2<小<3,

2

:.m=2,n=§+近—2，

2

‘3+77、"T"

+mn=22+V7X-2+2x

2

故選：A.

3.（23-24八年級(jí)下?甘肅平?jīng)?期中）觀察以下各式：

—[==V2—1,—r=------r==y/3—V2,-j=-r==~^3

V2+1J3+J2V4+V3

利用以上規(guī)律計(jì)算：

11-_1^_^(V2024+l)=

---------------1-----------------1------1-/

V3+V2V4+V3

【答案】2023

【分析】本題考查了數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索，二次根式的混合運(yùn)算，由題意得出規(guī)律導(dǎo)工=〃-1,再利用此規(guī)

律結(jié)合二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可得出答案，得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???焉=亞-1,方士F6一行‘國(guó)匕="一5…’

-7==-1,

7n+1

11V2024+V2023^V^+1)

---------------1-----------------F…+

V3+V2V4+V3

+1

=2024-1

=2023，

故答案為：2023.

4.(23-24八年級(jí)下?湖北孝感?期末)觀察下列等式:

1V2-1

=A/2-1；

?V2+I-(VI+1)(72-1)

V3-V2

1=>/3—V2；

②V3+V2-(V3+V2)(V3-V2)

③("+我("-百「"一6；……

斗街1,1I1,1

x升：I+V2V2+V3V3+2?…J2023+J2024----------

【答案】2聞^-1

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，先根據(jù)平方差公式將二次根式的分母化為1,然后再進(jìn)行二

次根式的加減運(yùn)算即可得解，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

［詳解］陵+石耳+際+…+而fZH

lx(V2-l)1x(百一碼1X(2-A/3)1x(72024-72023)

(0一1)(1+碼+(6.0)(0+出〉(2一百)(6+2)(72024-V2023)(J2023+J2024)

=V2-l+V3-V2+2-V3+...+V2024-V2023

=V2024-l

=2>/506-1,

故答案為：2西^-1.

5.(23-24八年級(jí)下?山東濟(jì)寧?期中)［材料一］兩個(gè)含有二次根式且非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含

二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.

例如：V2xV2=2.(V3+1)X(V3-1)=2,我們稱(chēng)夜和血互為有理化因式，6+1和6-1互為有理化因

式.

（1）石的有理化因式是（寫(xiě)出一個(gè)即可），2-6的有理化因式是（寫(xiě)出一個(gè)即可）；

[材料二]如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不

含根號(hào)，這種變形叫做分母有理化.

（2）利用分母有理化化簡(jiǎn)：七+僅上方+石匕+……+V2024+V2023-

[材料三]與分母有理化類(lèi)似，將代數(shù)式分子、分母同乘分子的有理化因式，從而消去分子中的根式，

這種變形叫做分子有理化.

(6-夜)(6+a)]

比如:A/3—V2=

V3+V2V3+V2

（3）試?yán)梅肿佑欣砘容^說(shuō)-療和療-卡的大小.

【答案】（1）下,2+6；（2）27506-1；（3）V7-A/6>V8-V7

【分析】本題考查分母有理化，估算無(wú)理數(shù)的大小及規(guī)律探索問(wèn)題，熟練掌握分母有理化的步驟及方法是

解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)有理化因式的定義即可求得答案；

（2）根據(jù)所得規(guī)律計(jì)算即可；

（3）利用分母有理化得到蘇，=近+而，a;=鳳班,然后比較,：胃，胃|胃大小即可.

【詳解】（1）解：???石X石=5,

???布的有理化因式是指；

（2-x（2+=4-3=1,

的有理化因式是2+6；

故答案為：,2+V3；

]]]]

⑵率：V2+l+73+V2+V4+V3+....*J2024+J2023

=V2-l+V3-V2+V4-V3+...+V2024-V2023

=-1+V2-V2+AA-V3+V4-...-V2023+A/2024

=72024-1

=2A/506-1；

(3)V7-V6>V8-V7.

理由如下：

___J近+6_/y,[71_次+77_辰:/7

-太)(0+6)'VTTT-pTTTp+VT),

**'y/l+<y/l+VS，

11

:.-----------<-----------

ypl—>/6A/8—y/1

.??V7-V6>A/8-V7.

考點(diǎn)七二次根式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題(共5題)

1.(23-24八年級(jí)下?福建泉州?階段練習(xí))若丫=3-同方，則代數(shù)式x2-6x+8的值為()

A.2005B.-2005C.2023D.-2023

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值和十字相乘法分解因式，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)

算是解此題的關(guān)鍵.根據(jù)十字相乘法得出--6x+8=(x-2)(x-4),再代入求出答案即可.

【詳解】解：,；x=3-J2024，

'''x2—6x+8

=(x-2)(x-4)

=(l-j2024)(-l-j2024)

=[-j2024『-l

=2024-1

=2023.

故選：C.

2.(23-24八年級(jí)下?浙江金華?階段練習(xí))若x=3-屈Z，則代數(shù)式，-6x+9的值是()

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】D

【分析】本題考查了完全平方公式，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.將代數(shù)式化為

完全平方式，再代入計(jì)算即可.

【詳解】解：-.-x=3-72024-

x2-6x+9=(x-3)2=(3-72024-3)'=2024,

故選：D.

3.(23-24九年級(jí)上?四川內(nèi)江?期中)當(dāng)x="、2022時(shí),多項(xiàng)式4工3-2025x-2022的值為

2

【答案】-1

【分析】本題考查已知字母的值，求代數(shù)式的值，根據(jù)已知條件，得到(2x-巾=2022,進(jìn)而得到

4X2-4X-2021=0,將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為X(4X2-4X-2021)+(4X2-4X+1)-2023,再代值計(jì)算即可，本題的難

度較大，關(guān)鍵是將已知式子進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化.

【詳解】解：?.?％=1±叵2,

2

???(2x-l)2=2022,

?-?4X2-4X-2021=0,

...4x3-2025x-2022=x(4x2-4x-2021)+(4x2-4x+l)-2023

=(2X-1)2-2023

=2022-2023

=-l.

故答案為：-1.

4.(22-23八年級(jí)下?河北保定?期末)已知>==i+JT7+18,貝！I

(1)無(wú)一了=；

(2)4x-y[y-.

【答案】-10-V2

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求得x的值，進(jìn)而求得了的值，再將值代入計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意得x-820,8-x>0,

解得：x=8,

y=18,

（1）x-j=8-18=-10,

（2）G-&=瓜-屈=2亞-36=-近,

故答案為：-10,-V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解

題的關(guān)鍵.

5.（23-24八年級(jí)下?河南商丘?期中）【閱讀材料】在二次根式的計(jì)算中，如：

（退+后）（退-后）=L（3+V3）（3-V3）=6,它們的積不含根號(hào)，我們稱(chēng)這樣的兩個(gè)二次根式互為有理化因

式.于是我們可以利用這樣的兩個(gè)二次根式，進(jìn)行分母有理化（通過(guò)分子、分母同乘一個(gè)式子，把分母中

11x73V3

的根號(hào)轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過(guò)程），例如:

3

1_6-及_B

7F77F（百+揚(yáng)但④廠7-

【解決問(wèn)題】

（1）化簡(jiǎn)蕓石的結(jié)果為；

⑵已知"Vm公舟行求得一步的值

⑶計(jì)算…+后短?

【答案】⑴2+g

(2)4A/3

(3)276-1

【分析】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法則、減法法則是解題的

關(guān)鍵.

（1）利用分母有理化、平方差公式計(jì)算；

（2）利用分母有理化化簡(jiǎn)a,b,利用提公因式法把原式變形，代入算即可；

（3）根據(jù)（1）的結(jié)論計(jì)算即可.

11X（2+6）

【詳解】⑴解：］笈二（2一而2+3廣+5

故答案為：2+6；

a=廣「二,「迎=、=而+2百

（2-）舊-210（713-273）（H713+2^）

,_1______岳_26______=/7T_?/?

一日+20一（屈+2⑹（四-2⑹-'

.1日-加=皿"6）=（而+2后）（而-26）（而+26-而+2⑹=46；

1111

⑶不+京市+忑…*后+2屈

=A/2-1+V3-V2+2-V3+---+2V6-V23

=2-\/6—1.

考點(diǎn)八二次根式的應(yīng)用（共5題）

1.（23-24八年級(jí)下?云南玉溪?階段練習(xí)）如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為12和18的兩個(gè)小正方形,

則余下部分的面積為（）

A.1276B.1273C.1272D.1876

【答案】A

【分析】本題考查二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出大正方形的邊長(zhǎng).先求出兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，然

后再求出大正方形的邊長(zhǎng)，用大正方形的面積減去兩個(gè)小正方形的面積即可.

【詳解】解：??,積為12的小正方形的邊長(zhǎng)為：癡=26，

面積為18小正方形的邊長(zhǎng)為：屈=3叵,

???大正方形的邊長(zhǎng)為2g+3后,

二大正方形的面積為（26+3行『=30+12指，

二余下部分的面積為30+12n-12-18=12幾.

故選A.

2.（23-24八年級(jí)下?廣東湛江?期中）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書(shū)九章》一書(shū)中，給出了

著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式，即如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則該三角形的面積為

5=；I現(xiàn)已知“Be的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5,則O8C的面積為（）

A.4sB.2逐C.6D.12

【答案】C

【分析】本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用題目中的面積公式解答.根據(jù)題目

中的面積公式可以求得A/8C的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5的面積，從而可以解答本題.

［詳解］解：：S=J'a&_（4±a三人,

V42

.?.△48C的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5,則。的面積為：

s=/軻-不-2土產(chǎn)3］=6,

故選：C

3.（2024八年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）觀察下列各式：

r~i~r,11_ir.ir~ir,i

卜平+吩封中+*=1+m，,i+？+不=1+殺，

請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,

計(jì)算5+(+9+』+*+%+』+%+!+..?J1+擊+豆,

其結(jié)果為

【答案】2020受20空20

2021

【分析】本題考查了二次根式運(yùn)算類(lèi)型的規(guī)律探究，根據(jù)已知等式將各式分別化簡(jiǎn)，得到1+工+1+工

1x22x3

M+」+...+l+…1再將等式寫(xiě)成1x2020+1」+工+上…+淅。彳］進(jìn)行計(jì)算得到答

3x42020x202111x22x33x42020x2021）

案；正確分析得到等式的計(jì)算規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】&1+，++=1+士'

I+/+:=I+』'

...L^-_L-

1+1+F++

F4JVV2020220212

=1+—+1+^—+1+^—+---+1+1

1x22x33x42020x2021

1111、

=1x2020+----1-----1-------1----------

1x22x33x42020x2021

r1111111

=1x2020+1——+------+-------+…+

(2233420202021

=2020+1--------

2021

=2。2。瑞

2020

故答案為：2020

2021

4.(23?24八年級(jí)下?廣東江門(mén)?期末)古希臘幾何學(xué)家海倫和我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的

a+b+c

三邊求面積的公式，稱(chēng)為海倫——秦九韶公式：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是mb,c,記尸=

2

那么三角形的面積為S=2-a)(P-c).如圖，在△45C中，NB,/C所對(duì)的邊分別記為

a,b,c,若Q=4,b=5,c=6,則△48C的面積是一

【分析】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用和數(shù)學(xué)常識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，利用材料中提供的公式解

答.

根據(jù)a,b,c的值求得p=￡,然后將其代入三角形的面積S=Jp(p-aWp-6)(p-c)求值即可.

【詳角窣］解：丁。=4,b=5,c=6,

4+5+615

故答案為：?五.

5.(23-24八年級(jí)下?四川達(dá)州?期末)閱讀以下材料：如果兩個(gè)正數(shù)。、6,即。＞。力＞0,由完全平方式的

非負(fù)數(shù)性質(zhì)可得：

v(4a-4b)2＞0(當(dāng)八=〃即。=6時(shí)，取等號(hào))，

a-2y[ab+b>0

:.a+b>2y[ab(當(dāng)且僅當(dāng)Q=b時(shí)取等號(hào))

結(jié)論：對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)〃都有〃+上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)Q=6時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)

的積為定值(常數(shù))時(shí)，可以利用這個(gè)結(jié)論求兩數(shù)。力的和的最小值.

444I~~4/-

例如：當(dāng)％為正數(shù)時(shí)，兩數(shù)％和一均為正數(shù)，且%一=4(常數(shù))，則有工+^之2.%?之=2'"=4當(dāng)且僅當(dāng)

XXX\X

4

x=—即％=2時(shí)取等號(hào)

x

4

.??當(dāng)、=2時(shí)，％+-有最小值，最小值為4.

x

利用以上結(jié)論完成下列問(wèn)題：

(1)已知加為正數(shù)，即加＞0,則當(dāng)m=_時(shí)，加+,取到最小值，最小值為一；