行列式二階、三階行列式—對角線原理■計(jì)算下列二階行列式；;;；；.解=;=;=;■計(jì)算下列三階行列式(1)(2);(3)(4)(5)(6).(7).解==2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8-0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1)=-24+8+16-4=-4.=;=.=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).行列式的定義排列與逆序■計(jì)算以下各個(gè)排列的逆序數(shù),并指出它們的奇偶性:123441322413314265；314265789；542391786；134785692139782645987654321；246813579；.(4)13…24…；(5)13……2.(6).解逆序數(shù)為0逆序數(shù)為4:41,43,42,32.逆序數(shù)為3.偶排列偶排列奇排列11;17.偶排列偶排列,這表明該排列的逆序數(shù)與n有關(guān),故要對n進(jìn)行討論:當(dāng)時(shí)為偶數(shù)，此時(shí)排列.為偶排列;當(dāng)時(shí)為奇數(shù)，此時(shí)排列.為奇排列.(4)逆序數(shù)為.32(1個(gè))52,54(2個(gè))72,74,76(3個(gè))××××××(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1個(gè))(5)逆序數(shù)為.32(1個(gè))52,54(2個(gè))××××××(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1個(gè))42(1個(gè))62,64(2個(gè))××××××(2n)2,(2n)4,(2n)6,×××,(2n)(2n-2)(n-1個(gè))(6)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，排列為其中為的逆序數(shù)；為與它前面數(shù)構(gòu)成的逆序數(shù)；為與它們前面數(shù)構(gòu)成的逆序數(shù)的和；為，與它們前面數(shù)構(gòu)成的逆序數(shù)的和.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，排列為其中為的逆序數(shù)；為與它們前面數(shù)構(gòu)成的逆序數(shù)的和；為與它們前面數(shù)構(gòu)成的逆序數(shù)的和.■確定，使6元排列為奇排列.■在由1,2,3,4,5,6,7,8,9組成的下述9階排列中,選擇使得:(1)(2)(3)(3)均要求說明理由.分析排列中的兩個(gè)未知數(shù)據(jù)排列的定義只能取3或7.因而只有兩種情況：132574896與172534896，然而我們只需計(jì)算上述的一個(gè)排列就可得知結(jié)果，因?yàn)榕c是和作一次對換得到的，而作一次對換必改變排列的奇偶性，也就是說若為偶排列,則必為奇排列.其余題解法也類似.解(1)取有為偶排列,符合題目要求.(2)取有為偶排列,故取時(shí)172534896為奇排列,符合題目要求.(3)取有為偶排列，符合題目要求.(4)取有為偶排列.故取時(shí)931425786為奇排列,符合題目要求.■寫出四階行列式中含有因子的項(xiàng).解由定義知，四階行列式的一般項(xiàng)為，其中為的逆序數(shù)．由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.對應(yīng)的分別為或故和為所求.■寫出4階行列式中包含因子的項(xiàng),并指出正負(fù)號.解4階行列式中包含因子的項(xiàng)有和.由于，故取正號;，故取負(fù)號.■當(dāng)___,=___時(shí)成為5階行列式中一個(gè)取負(fù)號的項(xiàng),為什么?解和只能取1,4或者4,1.不妨先假設(shè),則=,這個(gè)項(xiàng)的符號就是,不符合要求.那么當(dāng)時(shí)=,它和相比就是交換了列指標(biāo)1和4的位置,因與相比改變了奇偶性,所以的符號為負(fù).故應(yīng)填.■若是5階行列式中的一項(xiàng),則當(dāng)___,=___時(shí)該項(xiàng)的符號為正,當(dāng)___,=___時(shí)該項(xiàng)的符號為負(fù),為什么?解此問和問題3類似,和只能取2,3或者3,2.不妨先假設(shè),則符號為=,所以取的是負(fù)號.那么由問題3的分析可知當(dāng)時(shí)符號取正.所以當(dāng)時(shí)該項(xiàng)的符號為正,當(dāng)時(shí)該項(xiàng)的符號為負(fù).■在6階行列式中,下列項(xiàng)應(yīng)該取什么符號?為什么?(1);(2);(3);(4).解(1)因,所以取正號;另一種方法是:=,因,所以取正號.(2),(3),(4)也可這樣做,不再列出.(2)因,所以取負(fù)號;(3)因,所以取負(fù)號;(4)因,所以取正號.■按行列式定義,計(jì)算下列行列式((4)中,并均要求寫出計(jì)算過程):.;；;..解=1根據(jù)定義=.在行列式的通項(xiàng)中,只有這一項(xiàng)的因子中不含零,所以==.根據(jù)定義,=.在行列式的通項(xiàng)中每一個(gè)項(xiàng)中最后三個(gè)因子分別取值于行列式最后三行的不同列的三個(gè)數(shù),而行列式最后三行中均只有二個(gè)數(shù)不為零,所以這三個(gè)因子中至少一個(gè)取零.這樣行列式的每一項(xiàng)中都含有因子零,所以每項(xiàng)都為零,從而.所給行列式的展開式中只含有一個(gè)非零項(xiàng)，它前面的符號應(yīng)為，所以=！。所給行列式的展開式中只含有一個(gè)非零項(xiàng)，它前面的符號應(yīng)為，所以=！。.該行列式的展開式只有一項(xiàng)不為零,即,而該項(xiàng)帶有的符號為,所以=..根據(jù)定義=,該展開式通項(xiàng)中取自的第行,現(xiàn)在第行中除了外其余元素都為零.故若,則對應(yīng)的行列式展開式中的那一項(xiàng)一定為零,求和時(shí)可不考慮.因此只要考慮的項(xiàng).同樣對于行列式的第行中除了和外其余元素都為零,且因,從而只能取了.依次類推,行列式展開式的所有項(xiàng)中除去列指標(biāo)對應(yīng)的項(xiàng)外都為零.又因?yàn)?所以=.■由行列式定義計(jì)算中與的系數(shù)，并說明理由。解含有的展開項(xiàng)只能是，所以的系數(shù)為2；同理，含有的展開項(xiàng)只能是，所以的系數(shù)為-1?！銮蟮恼归_式中和的系數(shù).解的系數(shù)為；含的項(xiàng)只有，所以的系數(shù)為行列式的性質(zhì)■利用行列式的性質(zhì)計(jì)算解=;;;====0?！鼋獾?列的(?1)倍加到第3列，再把第1列的(?1)倍加到第2列，其余各列不變，得■計(jì)算n階行列式(n32).解當(dāng)時(shí),當(dāng).■解==0■如果，求.解-12■設(shè),據(jù)此計(jì)算下列行列式(要求寫出計(jì)算過程):(1);(2).解(1)=.(2)法一=.法二注意到該行列式的第二列均為2個(gè)數(shù)的和,可用行列式的性質(zhì)5將該行列式分成2個(gè)行列式之和.■設(shè)，其中是互不相同的數(shù)。(1)由行列式定義，說明是一個(gè)次多項(xiàng)式；(2)由行列式性質(zhì)，求的根。解(1)因?yàn)樗o行列式的展開式中只有第一行含有，所以若行列式的第一行展開時(shí)，含有的對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)恰為乘一個(gè)范德蒙行列式于是，由為互不相同的的數(shù)即知含有的對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不為0，因而為一個(gè)次的多項(xiàng)式。(2)若用分代替時(shí)，則由行列式的性質(zhì)知所給行列式的值為0，即.故至少有個(gè)根.又因?yàn)槭且粋€(gè)次的多項(xiàng)式，所以必是的全部根?！鲈O(shè)兩兩不等,求，求的根?！銮笙铝卸囗?xiàng)式的根(要求寫出計(jì)算過程):(1)=;(2)=.解所以有三個(gè)根.(1)法一=.所以多項(xiàng)式的根為.法二是的4次多項(xiàng)式,且可直接驗(yàn)證,所以的根為.(2)法一=.所以多項(xiàng)式的根為法二是的次多項(xiàng)式,且可直接驗(yàn)證,所以的根為展開定理求余子式與代數(shù)余子式■求行列式中元素和的代數(shù)余子式.解元素的代數(shù)余子式為,而元素的代數(shù)余子式為.用展開定理計(jì)算簡單行列式■求一行或一列元素代數(shù)余子式的線性組合■已知行列式，求（1）第4行元素的余子式之和；（2）第4行元素的代數(shù)余子式之和。解由代數(shù)余子式性質(zhì)知：行列式最后一行元素不影響所求。（1）（2）?！?求.解.■已知，計(jì)算解-1■設(shè),計(jì)算A41+A42+A43+A44,其中A4j(j=1,2,3,4)是|A|中元素a4j的代數(shù)余子式.解A41+A42+A43+A44=■已知，計(jì)算和.解將上式設(shè)為，此式設(shè)為，可直接計(jì)算此行列式結(jié)果為3，也可按以下方法來做：題目中的原行列式設(shè)為由行列式的性質(zhì)得：則■已知四階行列式，試求A41+A42與A43+A44的值。其中A4j是D的第4行元素的代數(shù)余子式(j=1，2，3，4)。解。由于，分別取i=j=4，得再取i=2，j=4，得。將代入，得。解得?！鲆阎螅?1)；(2)和?！?，求解將所有行加到最后一行四塊缺角行列式■=;■==.■解低階行列式的計(jì)算■解■解原式==?！鼋狻！?解原式.■解。■解=.■；解■;解原式.■;解原式.解原式==20?！?解原式.■.解原式.■解;■解■,解■；解■.解.■解■解=.注:做到處也可以按第一列展開,再按第一列展開得:原式.■解.■解.■解;■解=;■解-50■解■解原式=?！鼋狻?；解各列加到第一列后提取因式=.■解原式=■解===■解■解■.解■解=;■解+=■解下列方程:(1);解,原方程的解為.(2).解,原方程的解為.■設(shè)解====高階行列式的計(jì)算■;解將原行列式的第一行加于其余各行,得.■解;■解法一解法二從第2列開始，各列統(tǒng)統(tǒng)加到第1列上去，得；■.解■.解=an-an-2=an-2(a2-1).■===;■解+=;■解先按最后一行展開，得■=；?！鼋夥ㄒ桓餍屑拥降谝恍?，然后提取公因式，有：解法二將第一行乘(-1)分別加到其余各行,得再將各列都加到第一列上,得=[x+(n-1)a](x-a)n-1.■將第2、3、…、n行全部加到第1行第1行乘以-1加到以下各行■解。■解各列加到第一列，然后提出公因數(shù)有：.■.解法一各列加到第一列上，然后提取公因式解法二■解原式=?！鼋夥ㄒ唤夥ǘ?解.■計(jì)算行列式解.■解■解■.解■解法一解法二解法三的第列提取,得.解法四將行列式增加一行、一列第一行乘以-1加到以下各行第i+1列乘以加到第1列，＝解法五解法六■解■求(其,i=1,2,…,)的值.解.■計(jì)算行列式.解.■解法一解法二■.解將各列全加到第1列上后提取公因子得：.■解將第k行的(?1)倍加到第k+1行上去(k=n?1，n?2，n?3，…，2，1)，再將第k行的(?1)倍加到第k+1行上去(k=n?1，n?2，n?3，…，3，2)，得解■解法一解法二原行列式按第1列展開得.解法三按第n行展開得■解法一按第一行(列)展開，得遞推公式=2于是==1由此得+1+2+解法二■解解按第一行展開后再按最后一行展開，有■解由此得遞推公式：即而則得.■,i=1,2,…,)解法一解法二■解各行均減去第二行，再按第一行展開得：?！鼋飧餍芯鶞p去第三行,再按第一行或第三列展開得■解■解■,.解=解■解按第一行展開，有遞推公式得遞推公式：=1\*GB3①同理可得：=2\*GB3②聯(lián)立=1\*GB3①與=2\*GB3②，解方程組得■解按第一行展開得：后者再按第一列展……①①表明：數(shù)列是以b為公比的等比數(shù)列。因?yàn)?，從而，…………②[首項(xiàng)]所以?！踇通項(xiàng)公式]由于原行列式關(guān)于a、b對稱，故也有?！躘通項(xiàng)公式]③-④：，…………⑤當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，。由④或③知。綜合得：■。解。對調(diào)，即得的轉(zhuǎn)置行列式，從而當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得；當(dāng)時(shí)，對上式取極限得，故?！鼋馔砜傻谩．?dāng)時(shí)，從上述兩式可以解得；當(dāng)時(shí)，只須對上式令即可得。范得蒙行列式■.解■■==;■;解此行列式為范德蒙德行列式,則■范德蒙行列式■第1列乘以加到第三列范德蒙行列式■==■。解這是一個(gè)三階行列式，看似不難，總可以利用對角線法則計(jì)算，但容易出錯(cuò)?？蓪⒌谝恍械摹?”寫成“”，由行列式加法性質(zhì)得：?！?=;■，■解在行中提出因子，（范德蒙行列式）?！觥＝鈱⒃黾右恍?、一列得到下列階行列式，此行列式顯然與原行列式相等，所以?！鼋鈽?gòu)造輔助范德蒙行列式，為中元素的余子式，而則克萊姆法則■解,■解，。用克拉默法則解線性方程組■；