專題03平行線中的拐點模型之牛角模型平行線中的拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（牛角模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。模型1：牛角模型圖1圖2如圖1，已知AB∥CD，結論：∠1=∠2+∠3如圖2，已知AB∥CD，結論：∠1+∠3∠2=180°【模型證明】在圖1中，過E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°圖1圖2∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.在圖2中，過E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3∠2=∠FEB，∴∠1+∠3∠2=180°.注意;牛角模型的證明也可添加其他輔助線，如：延長AB交DE于點F，或延長EB交CD于點F等。例1．（2023下·綿陽市·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，點C是直線上一點，點D是直線外一點，若，，則度．

【答案】125【分析】直接延長交于點，利用平行線的性質得出，再利用三角形外角的性質得出答案．【詳解】解：延長交于點，

直線，，，．故答案為：125．【點睛】此題主要考查了平行線的性質以及三角形的外角，解題的關鍵是正確掌握平行線的性質．例2．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）空竹是我國傳統(tǒng)的一項游戲，其器材簡單但是動作花樣繁多，深受大眾喜愛．彤彤在跑步時發(fā)現(xiàn)廣場上抖空竹的老奶奶的某個動作可以抽象成一個簡單的數(shù)學圖形，如圖所示，，，，則的度數(shù)是．

【答案】/度【分析】延長交于，依據，，可得，再根據三角形外角性質，即可得到．【詳解】解：如圖，延長交于，

，，，又，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，三角形外角的性質，解決問題的關鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等．例3．（2023下·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）某種零件的形狀如圖所示，現(xiàn)要判斷與是否平行，工人師傅分別測量了，和的度數(shù)后，就做出了判斷．試猜想，和之間滿足什么關系時，并證明你的猜想．

【答案】當時，，證明見解析【分析】當時，，證明過程為：過點作，先根據平行線的性質可得，從而可得，再根據平行線的判定可得，然后根據平行公理推論即可得．【詳解】解：當時，，證明如下：如圖，過點作，，

，，，，．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質、平行公理推論，熟練掌握平行線的判定與性質是解題關鍵．例4．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┤鐖D，，點在上方，連接，若，則度．

【答案】【分析】延長交于點，根據可求得度數(shù)，進而求得的度數(shù)．【詳解】解：延長交于點，如下圖：

∵,∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是平行線的性質及三角形內角和定理，掌握平行線的性質及三角形內角和為是解題關鍵．例5．（2023下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，．(1)如圖1，寫出與的數(shù)量關系，并證明你的結論；(2)如圖2，，，與交于點，求的度數(shù)．【答案】(1)∠BED＋∠D＝120°．見解析(2)100°【分析】（1）如圖①，延長交于點，根據平行線的性質即可得結論；（2）設，，可得，，，，結合（1）可知，進而可得結論；【詳解】（1）解：（1）結論：，證明：如圖①，延長交于點，∵，，

，，；（2）解：如圖②，，，即，設，，，，，，由（1）知：，，，，，答：的度數(shù)為；【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形內角和與外角性質，解決本題的關鍵是掌握平行線的性質．例6．（2023下·北京海淀·七年級校考期中）已知，，點C在上方，連接、．

(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，過點C作交的延長線于點F，直接寫出和之間的數(shù)量關系______(3)如圖3，在（2）的條件下，的平分線交于點G，連接并延長至點H，若平分，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）過點C作，可得，再由平行線的性質得，則可求得；（2）過點C作，可證得，由，結合垂線，從而可求得；（3）延長交于點Q，過點G作，不難證得，再由角平分線的定義得，，可得，結合（2）即可求解．【詳解】（1）解：過點C作，如圖1，∴，

∵，∴∴，∵，∴；（2）解：，理由：過點C作，如圖，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即；（3）解：延長交于點Q，過點G作，如圖3，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，由（2）可得：，∴，即．【點睛】本題主要考查平行線的性質，垂線，解答的關鍵是結合圖形，分析清楚角與角之間的關系．例7．（2023·廣東七年級課時練習）已知，點為之外任意一點．

（1）如圖1，探究與之間的數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖2，探究與之間的數(shù)量關系，并說明理由．【拓展變式】如圖，“抖空竹”是國家級非物質文化遺產．在“抖空竹”的一個瞬間如圖1所示，將圖1抽象成一個數(shù)學問題：如圖2，若，則_______________．【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；[拓展變式]．【分析】（1）過點作，則，根據平行線的性質可得，進而得出結論；（2）理由如下：過點作，則，根據平行線的性質可得，，進而得出結論；（3）過點作，則，根據平行線的性質得出，，進而即可求解．【詳解】解：（1）．理由如下：過點作，則．．，．

（2）．理由如下：過點作，則．，．，．【拓展變式】過點作，則．，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，熟練掌握平行線的性質與判定是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023下·四川內江·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知直線，，，那么的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據平行線的性質求出，再利用三角形外角的性質求出即可．【詳解】解：如圖，

，，，是的外角，，，．故選：B．【點睛】本題考查的是平行線的性質三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質并靈活運用，平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．2．（2023下·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習）已知：如圖，，，，則的值為（）A．65° B．40° C．20° D．15°【答案】D【分析】由，根據平行線的性質可得，，即可求解．【詳解】解：∵，∴，；∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查的是平行線的性質，此類題解答的關鍵是熟練應用平行線的性質．3．（2023下·遼寧營口·七年級校聯(lián)考期中）如圖，把含角的直角三角板的直角頂點放在直線上，其中，直角邊和斜邊分別與直線相交，如果，且，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先過點作，由直線，可得，由兩直線平行，內錯角相等，即可求得答案的度數(shù)，又由是含有角的三角板，即可求得的度數(shù)，繼而求得的度數(shù)．【詳解】解：過點作，

∵直線，∴，∴，∵，∴，∴．故選：D．【點睛】此題考查了平行線的性質．解題時注意輔助線的作法，注意掌握兩直線平行，內錯角相等定理的應用．4．（2023上·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）如圖，在多邊形中，，，，則的大小的為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，由多邊形內角和定理，得，可進一步證得，結合，得．【詳解】解：連接，則，∵，∴．又，∴∴∴．∵，∴．故選：B

【點睛】本題考查多邊形內角和定理，平行線的性質；掌握多邊形的內角和定理是解題的關鍵．5．（2023下·四川·八年級統(tǒng)考期末）已知直線，將以，為兩腰的等腰的頂點P，N按如圖所示的方式分別放在a，b上，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設直線與交于點，如圖所示，先利用等腰三角形的性質求得，然后利用三角形的內角和定理求得的度數(shù)，再利用平行線的性質求得的度數(shù)，即可求得．【詳解】解：設直線與交于點，如圖所示，

∵，，∴，∴中，，∵，，∴，∴．故選：【點睛】本題考查了平行線的性質以及等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，平行線性質的正確運用是解題的關鍵．6．（2023下·浙江溫州·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，，的直角頂點C在直線b上，若，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作，由三角形內角和可求出，再根據平行得到內錯角相等，即可求出答案．【詳解】解：過點作，，，在中，，，，，，，故選C．【點睛】本題主要考查平行線的性質，解題關鍵是結合圖形利用平行線的性質進行角的轉化和計算．7．（2023下·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）如圖是螳螂的示意圖，已知，則的度數(shù)為．

【答案】14°【分析】延長交于D，交于點F，根據平行線的性質得，利用鄰補角的定義求出，然后根據三角形外角的性質求解即可．【詳解】解：延長交于D，交于點F，

∵，∴，∵，∴又∵∴∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質、三角形外角的性質等知識點，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．8．（2023下·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習）歡歡觀察“抖空竹”時發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的情形抽象成數(shù)學問題：如圖，已知，，，則的度數(shù)是．

【答案】/92度【分析】延長交于，由三角形的外角性質得，再由平行線的性質得出即可．【詳解】解：如圖，延長交于，，．，，故答案為：．

【點睛】本題考查了平行線的性質以及三角形的外角性質；熟練掌握平行線的性質和三角形的外角性質是解題的關鍵．9．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┤鐖D，，的角平分線和的角平分線的反向延長線交于點，且，則．

【答案】12【分析】延長交于點，令與相交于點，由平行線的性質和角平分線的定義，得出，，再利用三角形外角的性質，推出，進而得到，然后利用，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，延長交于點，令與相交于點，，，平分，平分，，，，是的外角，是的外角，，，，，，，，故答案為：12

【點睛】本題考查了平行線的性質、角平分線的定義，三角形內角和定理，對頂角相等，三角形外角的性質等知識，找出角度之間的數(shù)量關系是解題關鍵．10．（2023·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線，，，則．【答案】/20度【分析】本題主要考查平行線的性質，延長交于點，延長交于點，由對頂角相等可得，從而可求得，再由平行線的性質可得，由鄰補角的定義可得，利用三角形的外角性質即可求的度數(shù).解答的關鍵是熟記平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等.【詳解】解：延長交于點，延長交于點，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．11．（2023下·廣東深圳·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，、分別在、上，點在、之間，連接、，，平分，平分，在的下方有一點，平分，平分，求的度數(shù)為．【答案】/120度【分析】過點Q作，設，根據平行線的性質以及角平分線的定義，可得，由（1）可知，，即可求解．【詳解】解：如圖，分別過點G，P作，，過點Q作，∵，∴，∴，，∴，，∵平分，平分，∴，∴，∵，平分，平分，∴，設，∵，∴，∴，，設，∴，∵，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，掌握平行線的性質與判定是解題的關鍵．12．（2023下·浙江溫州·七年級期中）如圖，，作如圖所示的折線，，，反向延長CG交BF于點F，已知，，則．【答案】【分析】分別過點M、E、N、F作線段，使得，根據平行線的性質，推出，，進而得到，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：分別過點M、E、N、F作線段，使得，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質，巧妙利用多條平行線找出角度之間的數(shù)量關系是解題關鍵．13．（2023下·福建莆田·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線分別交，于點，．，分別平分與，交于點，延長交于點，作，交于點，連接．是上一點，連接，，平分交于點，則．

【答案】/30度【分析】利用，分別平分與，證明出，再證明出，求出，，再根據平分，求出，再與相減即可．【詳解】解：，，，分別平分與，，，，，，，，平分，，．故答案為：．【點睛】本題考查了平行的性質、角平分線的性質垂線的性質等知識點的應用，準確找到角之間的關系并計算是解題關鍵．14．（2023下·湖北·七年級黃石市有色中學校聯(lián)考期末）如圖，直線，直線EF與，分別交于點E，F(xiàn)，與的角平分線交于點P，延長交于點G，過點G作交直線于點Q，連接，點M是延長線上的一點，且，若平分交于點N，則的度數(shù)為．

【答案】/135度【分析】根據平行線的性質求出，根據角平分線定義求出，求出，求出，根據平行線的性質求出，再求出答案即可．【詳解】設，∵平分，∴，設，∵與的角平分線交于點P，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，三角形的內角和定理等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵．15．（2023下·遼寧葫蘆島·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，，，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據兩直線平行，內錯角相等求出，由兩直線平行，同旁內角互補求出，的度數(shù)即可求出．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查的是平行線的性質，熟知兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．16．（2023下·河南信陽·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖①，E是直線、內部一點，，連接，。(1)若，，則___________；(2)猜想圖①中、、的關系，并證明你的結論．(3)如圖②，射線與、分別交于點E、F，，a、b、c、d分別是被射線隔開的4個區(qū)域（不含邊界），其中區(qū)域c、d位于直線下方，P是位于以上四個區(qū)域上的任意一點，猜想：、、的關系？（選擇其中一種情況畫出圖形，并直接寫出結論）

【答案】(1)(2)；見解析(3)見解析【分析】（1）過點作，利用平行線性質即可求出．（2）過點作，利用平行線性質即可得出結論．（3）先將點設在其中一個區(qū)域，連接，，過點作，利用平行線的性質即可得出結論．【詳解】（1）解：如圖，過點作，

，，，，，，故答案為：．（2）證明：如圖，過點作，，，，，，（3）證明：如圖，點在區(qū)域內，連接，，過點作，

，，，，，，．證明：如圖，點在區(qū)域內，連接，，過點作，，，，，，，．證明：如圖，點在區(qū)域內，連接，，過點作，

，，，，，，．證明：如圖，點在區(qū)域內，連接，，過點作，，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的性質，作出合適的輔助線和熟練運用平行線的性質是解題的關鍵．17．（2023下·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）在綜合與實踐課上，老師讓同學們以兩條平行線，和一塊含的直角三角尺（，）．

(1)如圖（1），若三角尺的角的頂點G放在上，若，求的度數(shù)；(2)如圖（2），小穎把三角尺的兩個銳角的頂點E、G分別放在和上，請你探索并說明與間的數(shù)量關系．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）依據，可得，再根據，，即可得出，進而得到；（2）根據，可得，再根據，即可得到．【詳解】（1）解：，，又，，，又，，；（2）解：，理由：，，即，又，．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，掌握性質是解題的關鍵．18．（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，已知，，求的度數(shù)．（2）如圖2，，點P在的上方，之間有何數(shù)量關系？并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，已知，求的度數(shù)．

【答案】（1）的度數(shù)為；（2），理由見解答；（3）的度數(shù)為【分析】（1）延長交于點G，利用平行線的性質可得，再利用平角定義可得，然后利用三角形的外角進行計算即可解答；（2）設與交于點M，先利用三角形的外角可得，再利用平行線的性質可得，然后利用等量代換可得，即可解答；（3）利用（2）的結論可得，再利用角平分線的性質可得，，然后利用（2）的結論可，進行計算即可解答．【詳解】解：（1）延長交于

點G，

∵，∴，∵，∴，∵是的一個外角，∴，∴的度數(shù)為；（2），理由：如圖：設與交于點M，∵是的一個外角，∴，∵，∴，∴；（3）由（2）可得：，∴，∵平分，平分，∴，，由（2）得：，∴，∴的度數(shù)為．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．19．（2023下·四川成都·七年級?？茧A段練習）已知，點E為直線、所確定的平面內一點．

(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，點在的延長線上，連接、，若，，，求的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，如圖3，過點F作交的延長線于點G，連接，作交于點H，使，當時，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）首先延長，證明，然后由兩直線平行，同位角相等，即可證得：；（2）延長，交與，則可求出，然后由三角形內角和定理得出，即可得出；（3）根據平行線的性質得出，根據三角形外角的性質得出，然后根據已知條件和三角形內角和定理即可求得．【詳解】（1）解：證明：延長，交與，如圖

，，，，；（2）延長，交與，如圖，，，，，，，，，即；（3）如圖3，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質等，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．20．（2023·四川遂寧·七年級?？茧A段練習）如圖，直線，點C是之間（不在直線上）的一個動點．(1)若與都是銳角，如圖甲，寫出與之間的數(shù)量關系并說明原因；(2)若把一塊三角尺（）按如圖乙方式放置，點D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線的交點，若，求的度數(shù)；(3)將圖乙中的三角尺進行適當轉動，如圖丙，直角頂點C始終在兩條平行線之間，點G在線段上，連接，且有，求的值．

【答案】(1)，理由見解析(2)(3)2【分析】（1）過C作，則，依據平行線的性質，即可得出；（2）根據（1）中的結論可得，，再根據對頂角相等即可得出結論；（3）設，得到，再根據（1）中的結論可得，再根據對頂角相等即可得出，據此可得結論．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖所示，過C作，∵，∴，∴，，∴，∴；

（2）解：∵，，∴，由（1）可知：，又∵，∴，∴；（3）解：設，則，由（1）可得，，∴，∴，∴．【點睛】此題主要考查了平行線的性質與判定，以及三角板中角度的計算，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角，依據兩直線平行，內錯角相等進行求解．21．（2023下·廣東惠州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，直線，點C是之間（不在直線上）的一個動點．(1)若與都是銳角，如圖甲，請直接寫出與之間的數(shù)量關系；(2)若把一塊三角尺（）按如圖乙方式放置，點D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線的交點，若，求的度數(shù)；(3)將圖乙中的三角尺進行適當轉動，如圖丙，直角頂點C始終在兩條平行線之間，點G在線段上，連接，且有，求值．

【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）過C作，根據平行線的性質證明即可；（2）根據（1）的結論可得，再結合平行線性質即可求解；（3）設，則，結合（1）中結論即可求出．【詳解】（1）解：；理由：如圖，過C作，

∵，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴，∴，∴由（1）可得，，∴，∴；（3）解：設，則，由（1）可得，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，正確作出輔助線是關鍵．22．（2023上·吉林長春·七年級?？计谀┤鐖D，，點P為平面內一點．

(1)如圖①，當點P在與之間時，若，則＝°；(2)如圖②，當點P在點B右上方時，之間存在怎樣的數(shù)量關系？請給出證明；（不需要寫出推理依據）(3)如圖③，平分平分，若，則＝°．【答案】(1)65(2)，見解析(3)120【分析】（1）過點P作，根據平行線的性質求解即可；（2）延長交于點H，根據三角形外角求解即可；（3）延長交于點H，過點G，作，根據角平分線的性質和平行線的性質求解即可【詳解】（1）解：過點P作，如圖，

∵，∴，又∵，∴，，∴；（2）解：延長交于點H，如圖，∴是的一個外角，∵，∴，∴在中，，∴之間存在的數(shù)量關系為：；（3）解：延長交于點H，過點G，作，如圖，

∵，∴，∴，∵平分平分，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平行線的判定與性質，正確作出輔助線是關鍵．23．（2023下·江蘇揚州·