第七章向量空間法第七章

第一節(jié)主要學習內容向量導入向量是線性代數中最基本的概念，在數學和應用科學領域發(fā)揮著重要的作用，它不僅是解決幾何問題的橋梁，而且在物理學、計算機圖形學、數學建模等領域中扮演著重要的角色.向量空間是滿足某些性質的集合，在向量空間中通過描述向量與矩陣的關系，向量與向量的線性組合來解決線性方程組解的問題.本章主要介紹了二維向量，三維向量，n維向量以及向量空間的基礎概念和性質，在向量空間中通過向量組的性質來求解齊次（非齊次）線性方程的解.一、向量《自然哲學的數學原理》（PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica）是艾薩克·牛頓（IsaacNewton，1643-1727）的偉大著作，在這本書中他確立了牛頓物理學的原理，用經典的二維和三維幾何學為“運動”和“力”這兩個新演員搭建舞臺，牛頓發(fā)現，對力的分析需要人們同時獲取“力有多大？”以及“在什么方向上施力？”在這方面，他預見了向量的概念，向量是具有大小和方向的數學量.第一節(jié)向量向量是指既有大小又有方向的量，僅有大小沒有方向的量叫做標量或數量.二、二維向量存在于在同一個平面的“向量”稱為二維向量，又稱為平面向量.例如物理中的力和速度，這些量是既有大小又有方向的二維向量的三種表示：幾何表示：帶有方向的線段叫做有向線段，如圖7-1二維向量所示，A是起點，B是終點，箭頭表示方向.向量可以用有向線段表示.其中有向線段的方向表示向量的方向，有向線段的長度表示向量的大小.圖7-1二維向量

一切向量的共性是它們都有大小和方向，因此與起點無關的向量稱為自由向量.即自由向量可在同一平面自由平移，平移后不影響向量的大小及方向.本文所研究的向量均為自由向量.

圖7-3向量a的坐標表示

圖7-2向量的坐標表示

兩個向量的夾角及位置關系圖7-4向量的夾角

圖7-5木塊滑動

圖7-6向量加法的三角形法則向量加法的三角形法則兩向量首位順次相接，首指向尾為和

圖7-7向量加法的平行四邊形法則兩向量共起點為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和.向量加法的平行四邊形法則

圖7-11平行向量的和

圖7-12向量加法的交換律

圖7-13向量加法的結合律

向量減法運算

即兩向量相減，共起點，連終點，方向指向被減向量圖7-14向量減法的平行四邊形法則

圖7-15向量減法的三角形法則

向量的數乘運算向量數乘運算的性質：

圖7-16向量加法的結合律向量數乘運算的性質：

圖7-17向量加法的分配律（1）圖7-18向量加法的分配律（2）

定理7.1.1

向量線性運算的坐標表示

三、三維向量圖7-21空間直角坐標系

圖7-22右手法則空間直角坐標系中任意兩條坐標軸可以確定一個平面，這樣的平面稱為坐標面.空間直角坐標系有三個坐標面，分別是由x軸、y軸所確定的xoy面，由y軸、z軸所確定的yoz面，由x軸、z軸所確定的zox面.三個坐標面把空間分成八個部分，每一個部分稱為一個卦限，如圖7-23空間直角坐標系卦限圖所示.圖7-23空間直角坐標系卦限圖

表7-1空間直角坐標系的八個卦限+--++--+++--++--++++----卦限IIIIIIIVVVIVIIVIII幾何表示：與二維向量類似，空間中的有向線段可以表示三維向量，如圖7-24三維向量，A是起點，B是終點，箭頭表示方向.有向線段的方向表示向量的方向，有向線段的長度表示向量的大小.圖7-24三維向量三維向量的三種表示

圖7-25三維向量的坐標表示

兩個向量的夾角及位置關系圖7-26空間兩向量的夾角

向量的共線與共面

三維向量的線性運算

向量線性運算的坐標表示

向量的方向角與方向余弦圖7-27向量的方向角

向量在軸上的投影圖7-28向量投影

數量積的坐標表示

圖7-30數量積的分配律

圖7-30數量積的分配律

圖7-31數量積的數乘

向量積

向量的運算

向量的運算

向量與矩陣的關系

向量組

類似地

線性方程組的向量表示

五、向量空間

定義7.1.1線性關系

定義7.1.2

定義7.1.3

若向量組有一個部分組線性相關，則向量組整體線性相關．定理7.1.2

推論7.1.2-1

定理7.1.3

定理7.1.4

定理7.1.5

向量組的秩

定義7.1.4

定義7.1.5

定理7.1.6

推論7.1.6-1

等價的向量組具有相等的秩．

推論7.1.6-2

推論7.1.6-3

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