黑龍江省重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三上期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且與平面的垂線垂直，如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是（）A．點(diǎn)F的軌跡是一條線段 B．與BE是異面直線C．與不可能平行 D．三棱錐的體積為定值2．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，且，則的最小值為（）A． B．C． D．3．已知為實(shí)數(shù)集，，，則（）A． B． C． D．4．已知f(x)，g(x)都是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|，若a>0，則（）A．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)5．已知i是虛數(shù)單位，則1+iiA．-12+32i6．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為，則（）A．3 B． C． D．8．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值為（）A．1 B．2 C． D．49．已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．10．若的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，且的最小值為，則（）A． B． C． D．11．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，并且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C．2 D．12．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿足，且時(shí)，，則（）A．2 B． C．1 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前項(xiàng)和_____．14．若，則__________．15．已知三棱錐中，，，，且二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_________.16．某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過(guò)程必須先后經(jīng)過(guò)兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制，再次燒制過(guò)程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過(guò)第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5、0.6、0.4，經(jīng)過(guò)第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6、0.5、0.75；則第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為_(kāi)_______；經(jīng)過(guò)前后兩次燒制后，合格工藝品的件數(shù)為，則隨機(jī)變量的期望為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知六面體如圖所示，平面，，，，，，是棱上的點(diǎn)，且滿足.（1）求證：直線平面；（2）求二面角的正弦值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，為側(cè)棱上一點(diǎn)，已知.（Ⅰ）證明:平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.19．（12分）我們稱n（）元有序?qū)崝?shù)組（，，…，）為n維向量，為該向量的范數(shù).已知n維向量，其中，，2，…，n.記范數(shù)為奇數(shù)的n維向量的個(gè)數(shù)為，這個(gè)向量的范數(shù)之和為.（1）求和的值；（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求，（用n表示）.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）求證：在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求證：.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)為何值時(shí)，軸為曲線的切線；（2）用表示、中的最大值，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).22．（10分）已知函數(shù)，其中，．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)?shù)淖钚≌芷跒闀r(shí)，求在上的值域．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，體積公式分別進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)于，設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，，平面，平面，平面．同理可得平面，、是平面內(nèi)的相交直線平面平面，由此結(jié)合平面，可得直線平面，即點(diǎn)是線段上上的動(dòng)點(diǎn)．正確．對(duì)于，平面平面，和平面相交，與是異面直線，正確．對(duì)于，由知，平面平面，與不可能平行，錯(cuò)誤．對(duì)于，因?yàn)?，則到平面的距離是定值，三棱錐的體積為定值，所以正確；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2、A【解析】

是函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)五點(diǎn)法求出圖中零點(diǎn)及軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)可得．【詳解】由題意，，∴函數(shù)在軸右邊的第一個(gè)零點(diǎn)為，在軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)是，∴的最小值是．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的對(duì)稱性．函數(shù)的零點(diǎn)就是其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)．3、C【解析】

求出集合，，，由此能求出．【詳解】為實(shí)數(shù)集，，，或，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查交集、補(bǔ)集的求法，考查交集、補(bǔ)集的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4、A【解析】試題分析：由題意得，F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a)，∵a>0，∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a)：F(-a)=2g(1+a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，∴F(-a)>F(a)，若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，∴F(-a)≥F(a)，若f(a)<g(1-a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2f(a)，∴F(-a)=F(a)，綜上可知F(-a)≥F(a)，同理可知F(1+a)≥F(1-a)，故選A.考點(diǎn)：1.函數(shù)的性質(zhì)；2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.【思路點(diǎn)睛】本題在在解題過(guò)程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì)，避免了由于單調(diào)性不同導(dǎo)致1-a與1+a大小不明確的討論，從而使解題過(guò)程得以優(yōu)化，另外，不要忘記定義域，如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問(wèn)題，通常先在原點(diǎn)一側(cè)的區(qū)間(對(duì)奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對(duì)周期函數(shù)而言)考慮，然后推廣到整個(gè)定義域上.5、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡(jiǎn)得出結(jié)果【詳解】1+i故選D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。6、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【詳解】解：復(fù)數(shù)i（2+i）＝2i﹣1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知：，漸近線方程為：，一條漸近線的傾斜角為，，解得：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問(wèn)題，關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略方程表示雙曲線對(duì)于的范圍的要求.8、B【解析】

因?yàn)閳A與拋物線的準(zhǔn)線相切，則圓心為（3,0），半徑為4，根據(jù)相切可知，圓心到直線的距離等于半徑，可知的值為2，選B.【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?、D【解析】

由兩向量垂直可得，整理后可知，將已知條件代入后即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：，，即，將和代入，得出，所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對(duì)于向量問(wèn)題，若已知垂直，通常可得到兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理.10、C【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，因?yàn)檎归_(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，所以，即為整數(shù)，故n的最小值為1．所以.故選C點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).11、C【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得時(shí)，取得最大值，即，，，當(dāng)時(shí)，解得，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”的規(guī)律求解出，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減可得時(shí)，取得最大值，求解可得實(shí)數(shù)的值.12、D【解析】

說(shuō)明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值．【詳解】由知函數(shù)的周期為4，又是奇函數(shù)，，又，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

解：兩式作差，得，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消求和即可．【詳解】解：兩式作差，得化簡(jiǎn)得，檢驗(yàn)：當(dāng)n=1時(shí)，，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；，，令故填：．【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前n項(xiàng)和，解題過(guò)程中需要注意n的范圍以及對(duì)特殊項(xiàng)的討論，側(cè)重考查運(yùn)算能力．14、【解析】

因?yàn)?，由二倍角公式得到，故得到．故答案為?5、【解析】

設(shè)的中心為T，AB的中點(diǎn)為N，AC中點(diǎn)為M，分別過(guò)M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點(diǎn)為球心O，將的長(zhǎng)度求出或用球半徑表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【詳解】設(shè)的中心為T，AB的中點(diǎn)為N，AC中點(diǎn)為M，分別過(guò)M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點(diǎn)為球心O，如圖所示因?yàn)?，，所以，，，又二面角的大小為，則，，所以，設(shè)外接球半徑為R，則，，在中，由余弦定理，得，即，解得，故三棱錐外接球的表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積問(wèn)題，解決此類問(wèn)題一定要數(shù)形結(jié)合，建立關(guān)于球的半徑的方程，本題計(jì)算量較大，是一道難題.16、0.380.9【解析】

考慮恰有一件的三種情況直接計(jì)算得到概率，隨機(jī)變量的可能取值為，計(jì)算得到概率，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為：.甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為：，，.故隨機(jī)變量的可能取值為，故；；；.故.故答案為：0.38；0.9.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）連接，設(shè)，連接.通過(guò)證明，證得直線平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的正弦值.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，因?yàn)?，所以，所以，在中，因?yàn)?，所以，且平面，故平?（2）因?yàn)?，，，，，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以，，取所在直線為軸，取所在直線為軸，取所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，所以，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，設(shè)為平面的法向量，則，令，解得，，所以，即為平面的一個(gè)法向量.，同理可求得平面的一個(gè)法向量為所以所以二面角的正弦值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)先證明

，再證明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求證所求證；(Ⅱ)根據(jù)題意以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)證：由已知得又平面，平面，，而故，平面平面，平面平面(Ⅱ)由(Ⅰ)知，推理知梯形中，，，有，又，故所以相似，故有，即所以，以為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，是平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的一個(gè)法向量為令，則是平面的一個(gè)法向量=又二面角為鈍二面角，其余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直觀想象能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19、（1），.（2），【解析】

（1）利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)都寫出來(lái)，再做和；（2）用組合數(shù)表示和，再由公式或?qū)⒔M合數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出最終結(jié)果.【詳解】解：（1）范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)有：，，，，它們的范數(shù)依次為1，1，1，1，故，.（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，在向量的n個(gè)坐標(biāo)中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)，所以可按照含0個(gè)數(shù)為：1，3，…，進(jìn)行討論：的n個(gè)坐標(biāo)中含1個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或，共有個(gè)，每個(gè)的范數(shù)為；的n個(gè)坐標(biāo)中含3個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或，共有個(gè)，每個(gè)的范數(shù)為；的n個(gè)坐標(biāo)中含個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或，共有個(gè)，每個(gè)的范數(shù)為1；所以，.因?yàn)?，①，②得，，所?解法1：因?yàn)椋?.解法2：得，.又因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和組合，是一道較難的綜合題.20、（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】

（1）利用求導(dǎo)數(shù)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，然后再證異號(hào)，即可證明結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，分離參數(shù)只需時(shí)，恒成立，設(shè)（），需，根據(jù)（1）中的結(jié)論先求出，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)法，證明即可.【詳解】（1），令，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù).又因?yàn)?，，所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且.（2）由題意，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)（），所以.由（1）可知，，使，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.又因?yàn)椋?，從而，所?令，，則，所以在