專題31單變量恒成立之最值分析法【方法總結(jié)】單變量恒成立之最值分析法遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)或“右減左”的函數(shù)u(x)＝g(x)－f(x)，進(jìn)而只需滿足h(x)min≥0或u(x)max≤0，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值的問(wèn)題，適用范圍較廣，但是往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．【例題選講】[例1]已知函數(shù)f(x)＝ex(ex－a)－a2x．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．[例2]已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax＋1(a∈R)．(1)討論f(x)在(1，＋∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)a>1時(shí)，若存在x∈(1，＋∞)，使得f(x)<(e－1)·(a－3)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[例3]已知函數(shù)f(x)＝alnx＋xb(a≠0)．(1)當(dāng)b＝2時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＋b＝0，b>0時(shí)，對(duì)任意的x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))，恒有f(x)≤e－1成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．[例4]已知a∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝aln(x＋a)＋lnx．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)≤＋lneq\f(x,a)－1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[例5](2017·全國(guó)Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x－1－alnx．(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))＜m，求m的最小值．[例6]已知函數(shù)f(x)＝xlnx－a(x－1)2－x＋1(a∈R)．(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求f(x)的極值；(2)若f(x)<0對(duì)x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范圍．[例7](2020·全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－x．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1，求a的取值范圍．[例8](2020·新高考Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna．(1)當(dāng)a＝e時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．[例9]已知函數(shù)f(x)＝alnx－ex．(1)討論f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若a∈N*，且f(x)<0恒成立，求a的最大值．參考數(shù)據(jù)：x1.61.71.8ex4.9535.4746.050lnx0.4700.5310.588【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋lnx(a∈R).(1)若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線x－2y＋1＝0垂直，求a的值；(2)若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3在區(qū)間(0，e]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2．已知函數(shù)f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋ax，其中a為常數(shù)．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)若對(duì)任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．3．已知函數(shù)f(x)＝ex－a．(1)若函數(shù)f(x)的圖象與直線l：y＝x－1相切，求a的值；(2)若f(x)－lnx>0恒成立，求整數(shù)a的最大值．4．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋1)x－lnx，g(x)＝x2＋x＋2a＋1．(1)若f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f(x)<g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．5．已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex－eq\f(1,2)ax2＋ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．6．已知函數(shù)f(x)＝eax－ax－1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n(n≥2)．若恒成立，求m的最小值．7．已知函數(shù)f(x)＝xlnx－ax＋1(a∈R)．(1)討論f(x)在(1，＋∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)a>1時(shí)，若存在x∈(1，＋∞)，使得f(x)<(e－1)·(a－3)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．8．已知函數(shù)f(x)＝ex－1－ax＋lnx(a∈R)．(1)若函數(shù)f(x)在x＝1處的切線與直線3x－y＝0平行，求a的值；(2)若不等式f(x)≥lnx－a＋1對(duì)一切x∈[1，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．9．已知正實(shí)數(shù)a，設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－a2xlnx．(1)若a＝eq\r(2)，求實(shí)數(shù)f(x)在[1，e]的值域；(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))均有f(x)≥aeq\r(2x－1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．10．設(shè)函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)，g(x)＝tlnx(t∈R)．(1)討論函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象的下方，求正實(shí)數(shù)t的取值范圍．11．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋x＋1，g(x)＝x2＋2x．(1)求函數(shù)φ(x)＝f(x)－g(x)的極值；(2)若m為整數(shù)，對(duì)任意的x＞0都有f(x)－mg(x)≤0成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．1