湖南師大附中思沁中學2025屆數(shù)學高二上期末考試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．散點圖上有5組數(shù)據(jù)：據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則的值為（）A.54.2 B.87.64C.271 D.438.22．若，則n的值為（）A.7 B.8C.9 D.103．某商場開通三種平臺銷售商品，五一期間這三種平臺的數(shù)據(jù)如圖1所示．該商場為了解消費者對各平臺銷售方式的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取了6%的顧客進行滿意度調查，得到的數(shù)據(jù)如圖2所示．下列說法正確的是（）A.樣本中對平臺一滿意的消費者人數(shù)約700B.總體中對平臺二滿意的消費者人數(shù)為18C.樣本中對平臺一和平臺二滿意的消費者總人數(shù)為60D.若樣本中對平臺三滿意消費者人數(shù)為120，則4．已知橢圓的右焦點和右頂點分別為F，A，離心率為，且，則n的值為（）A.4 B.3C.2 D.5．如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，，點P在線段EF上.給出下列命題：①存在點P，使得直線平面ACF；②存在點P，使得直線平面ACF；③直線DP與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是；④三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面面積是.其中所有真命題的序號（）A.①③ B.①④C.①②④ D.①③④6．過點且斜率為的直線方程為（）A. B.C. D.7．已知向量，，且，則的值是（）A. B.C. D.8．方程表示的曲線是（）A.一個橢圓和一個點 B.一個雙曲線的右支和一條直線C.一個橢圓一部分和一條直線 D.一個橢圓9．不等式表示的平面區(qū)域是一個（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形10．在區(qū)間內隨機取一個數(shù)則該數(shù)滿足的概率為（）A. B.C. D.11．某學習小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m12．已知是雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則等于（）A.2 B.4C.6 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線和直線垂直，則實數(shù)___________.14．直線與圓相交于A，B兩點，則的最小值為__________.15．設與是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則稱與在上是“關聯(lián)函數(shù)”.若與在上是“關聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是____________.16．千年一遇對稱日，萬事圓滿在今朝，年月日又是一個難得的“世界完全對稱日”（公歷紀年日期中數(shù)字左右完全對稱的日期）.數(shù)學上把這樣的對稱自然數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回文數(shù)共有個（），其中末位是奇數(shù)的又叫做回文奇數(shù)，則在內的回文奇數(shù)的個數(shù)為___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值.18．（12分）已知橢圓：，是坐標原點，，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，過作的外角的平分線的垂線，垂足為，且（1）求橢圓方程：（2）設直線：與橢圓交于，兩點，且直線，，的斜率之和為0（其中為坐標原點）①求證：直線經(jīng)過定點，并求出定點坐標：②求面積的最大值19．（12分）阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標系中，橢圓：的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與交于不同的兩點，求面積的最大值.20．（12分）自我國爆發(fā)新冠肺炎疫情以來，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產．某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計了口罩生產車間每名工人的生產速度，并將所得數(shù)據(jù)分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數(shù)列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計口罩生產車間工人生產速度的中位數(shù)（結果寫成分數(shù)的形式）；（2）為了解該車間工人的生產速度是否與他們的工作經(jīng)驗有關，現(xiàn)從車間所有工人中隨機抽樣調查了5名工人的生產速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數(shù)據(jù)如下表：工齡x（單位：年）4681012生產速度y（單位：件/小時）4257626267根據(jù)上述數(shù)據(jù)求每名工人的生產速度y關于他的工齡x的回歸方程，并據(jù)此估計該車間某位有16年工齡的工人的生產速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式為：，21．（12分）已知A，B兩地相距200km，某船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（v＞8）．若船每小時的燃料費與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元（1）求比例系數(shù)k（2）當時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應為多少？（3）當（x為大于8的常數(shù)）時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應為多少？22．（10分）如圖，在長方體中，，，，M為上一點，且（1）求點到平面的距離；（2）求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】通過樣本中心點來求得正確答案.【詳解】，故，則，故.故選：C2、D【解析】根據(jù)給定條件利用組合數(shù)的性質計算作答【詳解】因為，則由組合數(shù)性質有，即，所以n的值為10.故選：D3、C【解析】根據(jù)扇形圖和頻率分布直方圖判斷.【詳解】對于A：樣本中對平臺一滿意的人數(shù)為，故選項A錯誤；對于B：總體中對平臺二滿意的人數(shù)約為，故選項B錯誤；對于C：樣本中對平臺一和平臺二滿意的總人數(shù)為：，故選項C正確：對于D：對平臺三的滿意率為，所以，故選項D錯誤故選：C4、B【解析】根據(jù)橢圓方程及其性質有，求解即可.【詳解】由題設，，整理得，可得.故選：B5、D【解析】當點P是線段EF中點時判斷①；假定存在點P，使得直線平面ACF，推理導出矛盾判斷②；利用線面角的定義轉化列式計算判斷③；求出外接圓面積判斷④作答.【詳解】取EF中點G，連DG，令，連FO，如圖，在正方形ABCD中，O為BD中點，而BDEF是矩形，則且，即四邊形DGFO是平行四邊形，即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，當點P與G重合時，直線平面ACF，①正確；假定存在點P，使得直線平面ACF，而平面ACF，則，又，從而有，在中，，DG是直角邊EF上中線，顯然在線段EF上不存在點與D連線垂直于DG，因此，假設是錯的，即②不正確；因平面平面，平面平面，則線段EF上的動點P在平面上的射影在直線BD上，于是得是直線DP與平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，當P與E不重合時，，，而，則，當P與E重合時，，，因此，，③正確；因平面平面，平面平面，，平面，則平面，，在中，，顯然有，，由正弦定理得外接圓直徑，，三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圓，其面積為，④正確，所以所給命題中正確命題的序號是①③④.故選：D【點睛】結論點睛：兩個平面互相垂直，則一個平面內任意一點在另一個平面上的射影都在這兩個平面的交線上.6、B【解析】利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.7、A【解析】求出向量，的坐標，利用向量數(shù)量積坐標表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.8、C【解析】由可得，或，再由方程判斷所表示的曲線.【詳解】由可得，或，即或，則該方程表示一個橢圓的一部分和一條直線.故選：C9、D【解析】作出不等式組所表示平面區(qū)域，可得出結論.【詳解】由可得或，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：由圖可知，不等式表示的平面區(qū)域是一個梯形.故選：D.10、C【解析】求解不等式，利用幾何概型的概率計算公式即可容易求得.【詳解】求解不等式可得：，由幾何概型的概率計算公式可得：在區(qū)間內隨機取一個數(shù)則該數(shù)滿足的概率為.故選：.11、A【解析】根據(jù)題意先建立恰當?shù)淖鴺讼?，可設出拋物線方程，利用已知條件得出點在拋物線上，代入方程求得p值，進而求得焦點到頂點的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系xOy，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點O重合，焦點F在x軸上設拋物線的標準方程為，由已知條件可得，點在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點到頂點的距離為1.35m，故選：A.12、D【解析】根據(jù)雙曲線定義寫出，兩邊平方代入焦點三角形的余弦定理中即可求解【詳解】雙曲線，，所以，根據(jù)雙曲線的對稱性，可假設在第一象限，設，則，所以，，在中，根據(jù)余弦定理：，即，解得：，所以故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)兩條直線相互垂直的條件列方程，解方程求得m的值.【詳解】由于兩條直線垂直，故，解得.故答案為：.14、【解析】直線過定點，圓心，當時，取得最小值，再由勾股定理即可求解.【詳解】由，得，由，得直線過定點，且在圓的內部，由圓可得圓心，半徑，當時，取得最小值，圓心與定點的距離為，則的最小值為.故答案為：.15、【解析】令得，設函數(shù)，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，利用數(shù)形結合思想可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】令得，設函數(shù)，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，，令，可得，列表如下：極小值，，如圖所示：由圖可知，當時，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16、【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，結合題中定義、組合的定義進行求解即可.【詳解】兩位數(shù)的回文奇數(shù)有，共個，三位數(shù)的回文奇數(shù)有，四位數(shù)的回文奇數(shù)有，所以在內的回文奇數(shù)的個數(shù)為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題可得，然后利用導數(shù)的幾何意義即求；（2）由題可得切點到直線的距離最小，即得.【小問1詳解】∵函數(shù)，∴的定義域為，，∴在處切線的斜率為，由切線方程可知切點為，而切點也在函數(shù)圖象上，解得，∴的解析式為；【小問2詳解】由于直線與直線平行，直線與函數(shù)在處相切，所以切點到直線的距離最小，最小值為，故函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值為.18、（1）；（2）①證明見解析，；②.【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及角平分線的性質可得，，結合點在橢圓上，以及即可求出的值，進而可得橢圓的方程.（2）①設，，聯(lián)立直線與橢圓方程，求得，，利用斜率之和等于得出關于的方程，解得即可得所過的定點，②由弦長公式求出，點到直線的距離公式求得高，由面積公式表示三角形的面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】（1）如圖，由題意可知，由橢圓定義知，則，連接，所以，所以又在橢圓上則，解得：，，所以橢圓的方程為：；（2）①證明：設，，聯(lián)立，整理可得：，所以，可得，，，設直線，，的斜率為，，，因為直線，，的斜率之和為0，所以，即所以，由，所以，所以直線恒過定點；②由①可得：，原點到直線的距離，所以，因為，當且僅當時，即，即時取等號，所以，即面積的最大值為1【點睛】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時，若題目的條件和結論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關系，則可先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：19、(1)；(2).【解析】（1）根據(jù)題意計算得到，得到橢圓方程.（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到，，表示出，解得答案.【詳解】(1)依題意有解得所以橢圓的標準方程是.(2)由題意直線的斜率不能為，設直線的方程為，由方程組得，設，，所以，，所以，所以，令（），則，，因為在上單調遞增，所以當，即時，面積取得最大值為.【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓內三角形面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20、（1）（2）80件/小時【解析】（1）先利用等差數(shù)列的通項公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數(shù)；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回歸直線方程，再進行預測其生產速度.【小問1詳解】解：設前4組的頻率分別為，，，，公差為，由頻率分布直方圖，得，即，解得，則，，所以中位數(shù)為.【小問2詳解】解：由題意，得，，由所給公式，得，，所以回歸直線方程為，則當時，，即估計該車間某位有16年工齡的工人的生產速度為80件/小時.21、（1）5（2）8km/h（3）答案見解析【解析】（1）列出關系式，根據(jù)當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元即可求解;（2）列出燃料費的函數(shù)解析式，利用導數(shù)