上海市曹楊第二中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在直三棱柱中，D為棱的中點，，，，則異面直線CD與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．不等式的解集為（）A.或 B.C. D.3．拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，點在拋物線上，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.4．平行六面體中，若，則（）A. B.1C. D.5．“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形挪動高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（）A.1.2m B.1.3mC.1.4m D.1.5m6．如圖，把橢圓的長軸分成6等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，則（）A.20 B.C.36 D.307．設(shè)雙曲線：的左、右焦點分別為、，P為C上一點，且，，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.8．2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒訕?biāo)識（如圖1）.其中“100”的兩個“0”設(shè)計為兩個半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（如圖2）.已知，則由其中一個圓心向另一個小圓引的切線長與兩大圓的公共弦長之比為（）A. B.3C. D.9．已知點，若直線與線段沒有公共點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．對于兩個平面、，“內(nèi)有三個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．隨機(jī)地向兩個標(biāo)號分別為1與2的格子涂色，涂上紅色或綠色，在已知其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色也為紅色的概率為（）A. B.C. D.12．甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為（）A.0.26 B.0.28C.0.72 D.0.98二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若方程表示的曲線是圓，則實數(shù)的k取值范圍是___________.14．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和滿足，則__________；記表示不超過的最大整數(shù)，例如，若，設(shè)的前項和為，則__________15．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)動點M（）與定點F（4，0）的距離和M到定直線的距離之比是常數(shù)，則動點M的軌跡是___________16．已知圓的方程為，點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線為切點，則四邊形面積的最小值為__________；直線__________過定點.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C：，過點且斜率為k的直線與拋物線C相交于P，Q兩點.（1）設(shè)點B在x軸上，分別記直線PB，QB的斜率為.若，求點B的坐標(biāo)；（2）過拋物線C的焦點F作直線PQ的平行線與拋物線C相交于M，N兩點，求的值.18．（12分）曲線與曲線在第一象限的交點為.曲線是()和()組成的封閉圖形.曲線與軸的左交點為、右交點為.（1）設(shè)曲線與曲線具有相同的一個焦點，求線段的方程；（2）在（1）的條件下，曲線上存在多少個點，使得，請說明理由.（3）設(shè)過原點的直線與以為圓心的圓相切，其中圓的半徑小于1，切點為.直線與曲線在第一象限的兩個交點為..當(dāng)對任意直線恒成立，求的值.19．（12分）如圖①，在梯形PABC中，，與均為等腰直角三角形，，，D，E分別為PA，PC的中點.將沿DE折起，使點P到點的位置（如圖②），G為線段的中點.在圖②中解決以下兩個問題.（1）求證：平面平面；（2）若二面角為120°時，求CG與平面所成角的正弦值.20．（12分）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)（1）求直線和曲線的普通方程；（2）直線與軸交于點，與曲線交于，兩點，求22．（10分）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)（圓形區(qū)域的邊界上無暗礁），已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處.（1）若，輪船直線返港，沒有觸礁危險，求的取值范圍?（2）若輪船直線返港，且必須經(jīng)過小島中心東北方向處補(bǔ)水，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】以C為坐標(biāo)原點，分別以，，方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.運用異面直線的空間向量求解方法，可求得答案.【詳解】解：以C為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知可得，，，，則，，所以.又因為異面直線所成的角的范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.2、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法可得答案.【詳解】由不等式可得或不等式的解集為或故選：A3、B【解析】首先根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，利用點在曲線上的條件為點的坐標(biāo)滿足曲線的方程，代入求得參數(shù)的值，最后得到答案.【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，因為點在拋物線上，所以有，解得，所以拋物線的方程是：，故選：B.4、D【解析】根據(jù)空間向量的運算，表示出，和已知比較可求得的值，進(jìn)而求得答案.【詳解】在平行六面體中，有，故由題意可知：，即，所以，故選：D.5、B【解析】設(shè)半徑為R，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可.【詳解】設(shè)半徑為R，,解得,化簡得.故選：B.6、D【解析】由橢圓的對稱性可知，，代入計算可得答案.【詳解】設(shè)橢圓左焦點為，連接由橢圓的對稱性可知，，所以.故選：D.7、B【解析】根據(jù)雙曲線定義結(jié)合，求得，在中，利用余弦定理求得之間的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】解：因為在雙曲線中，因為，所以，所以，在中，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.8、C【解析】作出圖形，進(jìn)而根據(jù)勾股定理并結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求得答案.【詳解】如示意圖，由題意，，則，又，，所以，所以.故選：C.9、A【解析】分別求出，即可得到答案.【詳解】直線經(jīng)過定點.因為，所以,所以要使直線與線段沒有公共點，只需：，即.所以的取值范圍是.故選：A10、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有三個點到的距離相等，當(dāng)這三個點不在一條直線上時，可得；當(dāng)這三個點在一條直線上時，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有三個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.11、D【解析】根據(jù)古典概型的概率公式即可得出答案.【詳解】在已知其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色有紅色與綠色兩種情況，其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色也為紅色的情況有1種，所以在已知其中一個格子顏色為紅色條件下另一個格子顏色也為紅色的概率為.故選：D.12、A【解析】依據(jù)獨立事件同時發(fā)生的概率即可求得甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率.【詳解】記甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件求解【詳解】由題意，故答案為：14、①.；②.60.【解析】先根據(jù)并結(jié)合等差數(shù)列的定義求出；然后討論n的取值范圍，討論出分別取1,2,3,4,5的情況，進(jìn)而求出.【詳解】由題意，，n=1時，，滿足，時，，于是，，因為，所以.所以，是1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.若，即時，，若，則時，，若，則時，，若，則時，，若，則或22時，，于是，.故答案為：2n-1；60.15、【解析】根據(jù)直接法，即可求軌跡.【詳解】解：動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)，根據(jù)題意得，點的軌跡就是集合，由此得．將上式兩邊平方，并化簡，得所以，動點的軌跡是長軸長、短軸長分別為12、的橢圓故答案為：16、①.②.【解析】根據(jù)切線的相關(guān)性質(zhì)將四邊形面積化為，即求出最小值即可，即圓心到直線的距離；又可得四點在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)出點坐標(biāo)，求出圓的方程可得直線方程，即可得出定點.詳解】由圓得圓心，半徑，由題意可得,在中，，，可知當(dāng)垂直直線時，，所以四邊形的面積的最小值為，可得四點在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)，則圓心為，半徑為，則該圓方程為，整理可得，聯(lián)立兩圓可得直線AB的方程為，即可得當(dāng)時，，故直線過定點.故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）直線的方程為，其中，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理結(jié)合已知條件可求得點的坐標(biāo)；（2）直線的方程為，利用傾斜角定義知，，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式求得，進(jìn)而得解.小問1詳解】由題意，直線的方程為，其中.設(shè)，聯(lián)立，消去得..，，即.，即.，，∴點的坐標(biāo)為.【小問2詳解】由題意，直線的方程為，其中，為傾斜角，則，設(shè).聯(lián)立，消去得...18、（1）或；（2）一共2個，理由見解析；（3）答案見解析.【解析】（1）先求曲線的焦點，再求點的坐標(biāo)，分焦點為左焦點或右焦點，求線段的方程；（2）分點在雙曲線或是橢圓的曲線上，結(jié)合條件，說明點的個數(shù)；（3）首先設(shè)出直線和圓的方程，利用直線與圓相切，以及直線與曲線相交，分別表示，并計算得到的值.【詳解】（1）兩個曲線相同的焦點，，解得：，即雙曲線方程是，橢圓方程是，焦點坐標(biāo)是,聯(lián)立兩個曲線，得，，即，當(dāng)焦點是右焦點時，線段的方程當(dāng)焦點時左焦點時，，，線段的方程（2），假設(shè)點在曲線上單調(diào)遞增∴所以點不可能在曲線上所以點只可能在曲線上，根據(jù)得可以得到當(dāng)左焦點，，同樣這樣的使得不存在所以這樣的點一共2個（3）設(shè)直線方程，圓方程為直線與圓相切，所以，，根據(jù)得到補(bǔ)充說明：由于直線的曲線有兩個交點，受參數(shù)的影響，蘊(yùn)含著如下關(guān)系，∵，當(dāng)，存在，否則不存在這里可以不需討論，因為題目前假定直線與曲線有兩個交點的大前提，當(dāng)共焦點時存在不存在.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與橢圓和雙曲線相交的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是曲線由橢圓和雙曲線構(gòu)成，所以研究曲線上的點時，需分兩種情況研究問題.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過兩個線面平行即可證明面面平行（2）以為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，通過空間向量的方法計算線面角的正弦值【小問1詳解】如上圖所示，在中，因為D，E分別為PA，PC的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，連接，交于點，連接，因為與均為等腰直角三角形，，所以，，所以，且，則四邊形是平行四邊形，所以是中點，且G為線段的中點，所以中，，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，，所以平面平面【小問2詳解】因為，平面，，所以平面，所以可以以為坐標(biāo)原點，建立如上圖所示的直角坐標(biāo)系，此時，，，，因為G為線段的中點，所以，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，得其中一個法向量，，所以CG與平面所成角的正弦值為20、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)證明，根據(jù)得到，得到證明.(Ⅱ)如圖所示，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，，計算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，取得到，，設(shè)直線與平面所成角為故.【點睛】本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.21、（1），（2）4【解析】（1）根據(jù)，即可將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；消參數(shù)，即可求出曲線的普通方程；（2）由題意易知，求出直線的參數(shù)方程，將其代入曲線的普通方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，即可求出結(jié)果【小問1詳解】解：直線極坐標(biāo)方程為，即，又，可得的普通方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)，