專題49與角有關的等腰三角形的存在性問題【題型演練】一、解答題1．在等邊中，D為上一點，E為上一點，過B作，連接，，且．(1)如圖1，若，，求的長．(2)如圖2，若D為延長線上一點，試探究、、的關系，并說明理由．(3)如圖3，若D為延長線上一點，E為延長線上一點，，請直接寫出的比值．2．已知是銳角三角形，且，點，分別是邊，上一點，點是和的交點．(1)如圖1，若，且，，，求的長；(2)如圖2，若，且，過點作，且，線段與相交于點，點是的中點，連接，求證：．3．在等邊中，為射線上一點，是外角的平分線，，于．(1)如圖1，求證；(2)如圖1，若點在線段上（不與，點重合），求證：；(3)如圖2，若點在線段的延長線上，（2）中的結論是否仍然成立？請說明理由．4．如圖，是等邊三角形．

(1)點P是邊上一動點．①當點P移動到中點時，延長至E，使，連接．求證：；②在點P運動過程中，以為邊在上方作等邊，連接，當時，求的取值范圍；(2)是的高，記長為a，動點M在上運動，在上方以為邊作等邊，在點M運動過程中，求點N所經過的路徑長．5．如圖1，在中，，，點O為兩外角，的平分線的交點，連接，．(1)求證；(2)如圖2，點M在線段上，點N為射線上一點，且滿足．求的周長；如圖3，若，且點為，的平分線的交點，線段上是否存在一點G，使得與的周長相等？若存在，請直接寫出的度數；若不存在，請說明理由．6．在等邊三角形ABC中，，點D是BC邊上的一點，點P是AB邊上的一點，連接PD，以PD為邊作等邊三角形PDE，連接BE．(1)如圖1，當點P與點A重合時，求證：．(2)如圖2，若，請計算的值．7．已知和均為等腰三角形，，點E在上，點F在射線上．(1)如圖1，若，點與點重合，求證：；(2)如圖2，若，求證：．(3)若，在（2）的條件下，點E為的中點，P為所在直線上一動點，當取得最大值時，請直接寫出的長．8．如圖，點是等邊內一點，．將繞點按順時針方向旋轉得，連接．(1)當時，通過上述旋轉可得到三條線段、、之間的等量關系，請寫出這個等量關系，并說明理由；(2)探究：當為多少度時，是等腰三角形？（只填出探究結果即可）=．9．如圖1，C、D是以為直徑的上的點，且滿足，點P在上，交于點M，交于點G，交于點N，交于點H．(1)求的度數．(2)如圖2，當點P是的中點時，①求證：是等腰三角形．②求的值．(3)如圖1，設，與的面積差為y，求y關于x的函數表達式．10．如圖，在中，，，射線于點D．

(1)如圖1，求的度數；(2)若點E，F分別是射線，邊上的動點，，連接，．①如圖2，連接，當時，求的度數；②如圖3，當最小時，求證：．11．【基礎鞏固】（1）如圖1，在中，D，E，F分別為，，上的點，，，交于點G，求證：．【嘗試應用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連接，．若，，，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，在中，，與交于點O，E為上一點，交于點G，交于點F．若，平分，，求的長．12．如圖1，若P是內部一點，且，則稱點P為的布洛卡點，同時稱為的布洛卡角．布洛卡點的發(fā)現，引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮．(1)如圖2，P為等邊三角形的布洛卡點，求的布洛卡角的度數；(2)如圖3，在中，，P是內部一點，且，．①求證：P為的布洛卡點；②若，延長交于點D，求證：D是中點．13．如圖，等腰直角中，，，點在直線上運動，連結，將線段繞點逆時針方向旋轉得線段，連結，．(1)【基礎鞏固】求證：；(2)【嘗試應用】如圖1，當點在線段上時，若，求的面積；(3)【拓展思考】如圖2，當點在線段的延長線上時，設與的交點為，若的面積為，分別求線段和的長．14．在中，，兩條高，交于點H，F是的中點，連接并延長交邊于點G．(1)如圖1，若是等邊三角形．①求證：；②求的長．(2)如圖2，若，，求的面積．15．如圖①，，以的頂點為頂點作正，延長邊與的邊交于點，在邊上截取一點，使得，并連結．(1)求證：；(2)①將正繞頂點按順時針旋轉，使頂點落在內部，如圖②，請確定，，之間的數量關系，并說明理由；②將圖②中的正繞頂點繼續(xù)按順時針旋轉，使頂點落在射線下方，如圖③，請確定，，之間的數量關系，不必說明理由；(3)在(1)和(2)的條件下，若，，求BE的長．16．如圖1，在線段上取一點，如果以，為邊在同一側作正方形與正方形，連接，取的中點M，的延長線交于點N．(1)請?zhí)骄颗c的數量關系和位置關系，并加以證明．(2)如圖2，將正方形繞點C順時針旋轉，使得A，C，E在同一條直線上，其余條件不變．①填空：的度數是______，的度數是______．②探究（1）中的結論是否成立？并說明理由．17．已知是邊長為6的等邊三角形，D為中點．(1)如圖1，連接，E為線段上的一個動點，以為邊長向下作等邊三角形，連接，證明：．(2)在（1）的條件下，求的最小值．(3)如圖2，G，H分別為上的動點，連接交于點I，，連接交于點J，連接并延長交于點K，，試探究的數量關系．18．背景資料：在已知所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最?。@個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當三個內角均小于120°時，費馬點P在內部，當時，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數，為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉到處，此時這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段PA、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出___________．知識生成：怎樣找三個內角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與的另一頂點，則連線通過三角形內部的費馬點，請同學們探索以下問題．(2)如圖3，三個內角均小于120°，在外側作等邊三角形，連接，求證：過的費馬點．(3)如圖4，在中，，，，點P為的費馬點，連接AP、BP、CP，求的值．19．如圖，中，，若動點P從點C開始，按的路徑運動，且速度為秒，設點P運動的時間為t秒．(1)當是以為斜邊的直角三角形時，求t的值．(2)當為等腰三角形時，求t的值．專題49與角有關的等腰三角形的存在性問題【題型演練】一、解答題1．在等邊中，D為上一點，E為上一點，過B作，連接，，且．(1)如圖1，若，，求的長．(2)如圖2，若D為延長線上一點，試探究、、的關系，并說明理由．(3)如圖3，若D為延長線上一點，E為延長線上一點，，請直接寫出的比值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）延長至點，使，易得為等邊三角形，證明，得到，利用求出的長即可．（2）延長至點，使，易得為等邊三角形，證明，得到，根據，即可得到；（3）在上截取，易得為等邊三角形，證明，得到，設，求出，即可得解．【詳解】（1）解：延長至點，使，∵三角形是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）解：；理由如下：延長至點，使，∵三角形是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：在上截取，∵三角形是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，設，∴，，，∴，，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質．通過添加輔助線，證明三角形全等，是解題的關鍵．2．已知是銳角三角形，且，點，分別是邊，上一點，點是和的交點．(1)如圖1，若，且，，，求的長；(2)如圖2，若，且，過點作，且，線段與相交于點，點是的中點，連接，求證：．【答案】(1)2(2)證明見解析【分析】（1）延長至點，使得，先證明，得到，，根據，可得，由，可得，則，即可得到答案；（2）先證明是等邊三角形，進一步證明，延長到，使得，連接．可證，得，延長到，使，連接，則是等邊三角形，證，得到是等邊三角形，進而可得結論．【詳解】（1）解：如圖1中，延長至點，使得，在和中，∵，∴，∴，，∵，∴，又∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的長為2．（2）證明：如圖2，∵，，∴是等邊三角形，∴，．在與中，∵，∴，∴，∴，∴．如圖2中，延長到，使得，連接．∵點是的中點，∴，在與中，∵，∴，∴，，∴，延長到，使得，連接，則是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，在與中，∵，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質，等角對等邊，平行線的判定與性質，三角形內角和定理等知識．作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．3．在等邊中，為射線上一點，是外角的平分線，，于．(1)如圖1，求證；(2)如圖1，若點在線段上（不與，點重合），求證：；(3)如圖2，若點在線段的延長線上，（2）中的結論是否仍然成立？請說明理由．【答案】(1)答案見解析．(2)答案見解析．(3)不成立．理由見解析．【分析】（1）∵為等邊三角形，，∴，∵為角平分線，∴即可得出結論．（2）過點作交延長線于，證得，得出，進一步利用，得出結論．（3）證明方法同（1）得出（2）不成立．【詳解】（1）∵為等邊三角形，∴，∴，∵為角平分線，∴，∴．（2）如圖，過點作交AB于G，∵是等邊三角形，，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴，∵是外角平分線，∴,∴∵，∴，在和中，∴，∴，∴，∴．（3）不成立，此時，理由如下：如圖，∵∴，∴，∴．【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質及全等三角形的判定，利用邊角關系及等量代換求得結論．4．如圖，是等邊三角形．

(1)點P是邊上一動點．①當點P移動到中點時，延長至E，使，連接．求證：；②在點P運動過程中，以為邊在上方作等邊，連接，當時，求的取值范圍；(2)是的高，記長為a，動點M在上運動，在上方以為邊作等邊，在點M運動過程中，求點N所經過的路徑長．【答案】(1)①見解析；②(2)a【分析】（1）①根據等邊三角形的定義得到，根據三線合一的性質求出，利用三角形外角性質求出，由此得到結論；②當點P是中點時，證明，求出；當點D與點A重合時，，根據，得到的取值范圍；（2）取的中點E，連接，如圖，證明，得到，，當點M與點A重合時，，當點M與點H重合時，點N與點E重合，由此求出點N所經過的路徑長．【詳解】（1）①∵是等邊三角形，∴，∵點P是中點，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；②當點P是中點時，，，∵的等邊三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴；當點D與點A重合時，，∵，∴；（2）取的中點E，連接，如圖，∵，∴，∵，∴，∵和都是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，當點M與點A重合時，，當點M與點H重合時，點N與點E重合，∴點N所經過的路徑長為a．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的外角性質，等腰三角形三線合一的性質，熟練掌握三角形的有關知識是解題的關鍵．5．如圖1，在中，，，點O為兩外角，的平分線的交點，連接，．(1)求證；(2)如圖2，點M在線段上，點N為射線上一點，且滿足．求的周長；如圖3，若，且點為，的平分線的交點，線段上是否存在一點G，使得與的周長相等？若存在，請直接寫出的度數；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見詳解(2)2，【分析】（1）由，可得，根據點O為兩外角，的平分線的交點，即有，，問題隨之得解；（2）先證明，再根據，證明，在上取一點T，使得，連接，證明，接著證明，問題隨之得解；②先計算出，根據點為，的平分線的交點，可得，，在上取一點H，使得，連接，，如圖，根據與的周長相等，可得，再證明，即有，，接著證明，即有，即可得，問題得解．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵點O為兩外角，的平分線的交點，∴，，∴，∴；（2）在（1）中已有，，，，即有，∵，∴，∴，∵，∴，在上取一點T，使得，連接，如圖，∵，，，∴，∴，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，即的周長為2；∵，，∴，∵點為，的平分線的交點，∴，∴，，在上取一點H，使得，連接，，如圖，∵與的周長相等，在中有：，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題是一道三角形的綜合題，考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，全等三角形的判定與性質等知識，做輔助線，證明、是解答本題的關鍵．6．在等邊三角形ABC中，，點D是BC邊上的一點，點P是AB邊上的一點，連接PD，以PD為邊作等邊三角形PDE，連接BE．(1)如圖1，當點P與點A重合時，求證：．(2)如圖2，若，請計算的值．【答案】(1)見解析(2)15【分析】（1）根據和均是等邊三角形，得到，同時結合角度得和差關系得到，即可得證；（2）過點作交于，可以證得是等邊三角形，從而根據（1）中的方法證明，即可求解；【詳解】（1）∵和均是等邊三角形即在和中：∴（2）過點作交于是等邊三角形,且，是等邊三角形,即是等邊三角形在和中：即．【點睛】本題主要結合等邊三角形的性質，考查全等三角形的判定和性質，準確的作出輔助線是求解本題的關鍵．7．已知和均為等腰三角形，，點E在上，點F在射線上．(1)如圖1，若，點與點重合，求證：；(2)如圖2，若，求證：．(3)若，在（2）的條件下，點E為的中點，P為所在直線上一動點，當取得最大值時，請直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據題意得出，為等邊三角形，證明，根據，即可得證；（2）在上截取，連接，證明，，根據全等三角形的性質即可得證；（3）如圖所示，延長交直線于點，根據三角形三邊關系得出當取得最大值時，則的最大值為的長，進而證明，根據全等三角形的性質即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，為等邊三角形，∴，∴，在和中，∴，∴，∵為等邊三角形，∴．∴，∴（2）如圖2，在上截取，連接，連接交于N，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，即．∴，在和中，∴，∴，∴．即．（3）解：如圖所示，延長交直線于點，當取得最大值時，則的最大值為的長，由（2）可得∴,∴，∴，∵為的中點，則，又∵∴，∴【點睛】本題考查了等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．8．如圖，點是等邊內一點，．將繞點按順時針方向旋轉得，連接．(1)當時，通過上述旋轉可得到三條線段、、之間的等量關系，請寫出這個等量關系，并說明理由；(2)探究：當為多少度時，是等腰三角形？（只填出探究結果即可）=．【答案】(1)，理由見解析(2)或或【分析】（1）由旋轉的性質可得即，進而得到是等邊三角形即則，最后根據勾股定理即可解答；（2）分、、三種情況，然后分別根據等腰三角形的性質和旋轉的性質求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：∵將繞點按順時針方向旋轉得∴，

∴∴是等邊三角形

∴

∴∴是直角三角形

∴∴．（2）解：①要使，需∵，∴，解得：；②要使，需∴∴，∴；③要使，需∴，∴，解得綜上，當的度數為或或時，是等腰三角形．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質等知識點，靈活運用等腰三角形的判定與性質成為解答本題的關鍵．9．如圖1，C、D是以為直徑的上的點，且滿足，點P在上，交于點M，交于點G，交于點N，交于點H．(1)求的度數．(2)如圖2，當點P是的中點時，①求證：是等腰三角形．②求的值．(3)如圖1，設，與的面積差為y，求y關于x的函數表達式．【答案】(1)(2)①見解析，②(3)【分析】(1)根據圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，計算即可．(2)①根據等腰三角形的定義證明即可．②利用圓周角定理，三角形相似的判定和性質，三角函數計算即可．(3)利用圓周角定理，平行線的性質，三角形相似的判定和性質，三角函數計算即可．．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，∴．（2）①∵P是的中點，是直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．②∵，∴，∵是直徑，∴，∴，∴．∴，∵，又∵，∴，∴．（3）∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，，∵∴．【點睛】本題考查了圓周角定理，平行線的性質，三角形相似的判定和性質，等腰三角形的判定，三角函數的應用，熟練掌握三角形相似的判定和性質，靈活運用三角函數是解題的關鍵．10．如圖，在中，，，射線于點D．

(1)如圖1，求的度數；(2)若點E，F分別是射線，邊上的動點，，連接，．①如圖2，連接，當時，求的度數；②如圖3，當最小時，求證：．【答案】(1)(2)①；②見解析【分析】（1）根據等腰三角形三線合一進行解答即可；（2）①根據等腰三角形的性質，得出，得出，根據等腰三角形的判定得出，即可證明，得出，根據平行線的性質得出，證明，根據即可得出答案；②過點C作，在上截取，證明，得出，從而得出，、F、G在同一直線上時，最小，即最小，連接交于一點，該點即為F，交于點H，證明，得出，證明，得出，即可證明結論．【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴；（2）解：①延長交于點G，如圖所示：∵在中，，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；②過點C作，在上截取，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴、F、G在同一直線上時，最小，即最小，連接交于一點，該點即為F，交于點H，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∵，又∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，平行線的性質，解題的關鍵是作出輔助線，構造全等三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法．11．【基礎鞏固】（1）如圖1，在中，D，E，F分別為，，上的點，，，交于點G，求證：．【嘗試應用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連接，．若，，，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，在中，，與交于點O，E為上一點，交于點G，交于點F．若，平分，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）利用，證明，，利用相似三角形的性質可證得，結合可的結論；（2）由（1）得，，根據垂直平分線的性質可得，依據的性質即可求出的值；（3）遵循第（1）、（2）小問的思路，延長交于M，連接，過點M作于N，根據角平分線和等腰三角形性質構造出含、角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的長．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∴，，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴；（3）解：延長交于M，連接，過點M作于N，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的性質及判定、等腰三角形的性質及判定、解特殊的直角三角形等知識，遵循構第（1）、（2）小問的思路，構造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解決本題的關鍵．12．如圖1，若P是內部一點，且，則稱點P為的布洛卡點，同時稱為的布洛卡角．布洛卡點的發(fā)現，引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮．(1)如圖2，P為等邊三角形的布洛卡點，求的布洛卡角的度數；(2)如圖3，在中，，P是內部一點，且，．①求證：P為的布洛卡點；②若，延長交于點D，求證：D是中點．【答案】(1)(2)①見詳解；②見詳解；【分析】（1）證明，根據等邊所對的角相等列出等量關系式即可解得．（2）①通過角的和差即可證明；②延長，過點C作，證明是等腰直角三角形，證明，證明即可證明．【詳解】（1）∵P為等邊三角形的布洛卡點，∴，∴，∴，∴，同理可得，在和中，∴，∴，∴，∴，∴；（2）①在和中，，∴，∵，∴，∴，∴P為的布洛卡點；②延長，過點C作∵又∵，，∴，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴根據題干可知，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴D是中點．【點睛】本題考查相似三角形綜合題、等邊三角形的性質、等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、三角形的面積等知識，解題的關鍵是準確尋找相似三角形，學會利用參數解決問題，屬于中考壓軸題．13．如圖，等腰直角中，，，點在直線上運動，連結，將線段繞點逆時針方向旋轉得線段，連結，．(1)【基礎鞏固】求證：；(2)【嘗試應用】如圖1，當點在線段上時，若，求的面積；(3)【拓展思考】如圖2，當點在線段的延長線上時，設與的交點為，若的面積為，分別求線段和的長．【答案】(1)見解析；(2)5；(3)，．【分析】（1）根據證明三角形全等即可；（2）證明：由，推出，，可得，再利用勾股定理求出，可得結論；（3）如圖，過點作于點．利用三角形的面積公式求出，再利用相似三角形的性質求出，可得結論．【詳解】（1）證明：∵是等腰直角三角形，∴，，，∵，，∴，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴的面積；（3）如圖，過點作于點．同法可證，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．14．在中，，兩條高，交于點H，F是的中點，連接并延長交邊于點G．(1)如圖1，若是等邊三角形．①求證：；②求的長．(2)如圖2，若，，求的面積．【答案】(1)①見解析；②；(2)．【分析】（1）①根據等邊三角形的性質可得，從而得到，，即可；②過點作交于點，可得，，從而得到，，進而得到，即可；（2）過點作交于點，可得，，從而得到，進而得到，再證明，根據相似三角形的性質，即可求解．【詳解】（1）①證明：，是等邊三角形的高，，，，分別平分和，，，，；②解：過點作交于點，，，，，，是的中點，，，，，，，等邊三角形的邊長為8，，；（2）解：過點作交于點，，，，，∵是的中點，∴，，，．，，．，，，．，，，，，即，，．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，直角三角形的性質是解題的關鍵．15．如圖①，，以的頂點為頂點作正，延長邊與的邊交于點，在邊上截取一點，使得，并連結．(1)求證：；(2)①將正繞頂點按順時針旋轉，使頂點落在內部，如圖②，請確定，，之間的數量關系，并說明理由；②將圖②中的正繞頂點繼續(xù)按順時針旋轉，使頂點落在射線下方，如圖③，請確定，，之間的數量關系，不必說明理由；(3)在(1)和(2)的條件下，若，，求BE的長．【答案】(1)證明見解析(2)①，理由見解析，②(3)3或5【分析】（1）證明，進而即可得證；（2）①同（1）證明，進而即可得出結論；②同①證明，根據全等三角形的性質，進而得出結論；（3）根據題意，結合圖形，即可求解．【詳解】（1）證明：為正三角形，，，，，，，在與中，，，，，；（2）解：①結論為：，如圖②，理由如下：為正三角形，，，，，，，在與中，，，，，，②結論為：，如圖③，理由如下：為正三角形，，，，，，，在與中，，，，，；（3）解：在（1）條件下，；在（2）條件下，，綜上所述，或，答案：或．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的性質與判定，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．16．如圖1，在線段上取一點，如果以，為邊在同一側作正方形與正方形，連接，取的中點M，的延長線交于點N．(1)請?zhí)骄颗c的數量關系和位置關系，并加以證明．(2)如圖2，將正方形繞點C順時針旋轉，使得A，C，E在同一條直線上，其余條件不變．①填空：的度數是______，的度數是______．②探究（1）中的結論是否成立？并說明理由．【答案】(1)且；見解析(2)①；；②成立；見解析【分析】（1）證明，得出，，證明，得出是等腰直角三角形，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和等腰三角形三線合一即可證明結論；（2）①根據等腰直角三角形的性質即可求出，根據，求出；②延長交于N，連接，，同（1）可證，得出，，證明，得出，，證明是等腰直角三角形，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和等腰三角形三線合一即可證明結論．【詳解】（1）解：且．∵以，為邊在同一側作正方形與正方形，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，．（2）解：①∵A，C，E在同一條直線上，，，∴，，∴．故答案為：；．②成立．理由如下：如圖，延長交于N，連接，．同（1）可證，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即是等腰直角三角形，∵，∴，，綜上可知，且．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，等腰直角三角形三角形的性質，等腰三角形三線合一，解題的關鍵是作出輔助線，構造全等三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法．17．已知是邊長為6的等邊三角形，D為中點．(1)如圖1，連接，E為線段上的一個動點，以為邊長向下作等邊三角形，連接，證明：．(2)在（1）的條件下，求的最小值．(3)如圖2，G，H分別為上的動點，連接交于點I，，連接交于點J，連接并延長交于點K，，試探究的數量關系．【答案】(1)見解析(2)(3)，理由見解析【分析】（1）根據等邊三角形的性質證明，即可證明；（2）將沿所在直線折疊得，作于H，先根據全等三角形的性質求出，進而求出，最后根據勾股定理求出即可；（3）延長至M，使得，連接，先根據證明，進而證明，然后求出，再根據求出，證明，求出，最后根據等量代換得到即可．【詳解】（1）證明：∵，均為等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴．（2）解：將沿所在直線折疊得，作于H，由（1）知，∴，∴，∴．可知，當B，F，H共線時，最小，此時最小值為，∴．（3）解：，理由如下：延長至M，使得，連接．∵，∴，∴，．又，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．18．背景資料：在已知所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最?。@個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當三個內角均小于120°時，費馬點P在內部，當時，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數，為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉到處，此時這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段PA、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出___________．知識生成：怎樣找三個內角均小于120°的三角形的費馬點