新課標人教版六年級數(shù)學(xué)上冊各單元知識點歸納第一單元分數(shù)乘法一、分數(shù)乘法(一)分數(shù)乘法的意義：1、分數(shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘法的意義相同。都是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算。例如：65×5表示求5個65的和是多少?1/3×5表示求5個1/3的和是多少?2、一個數(shù)乘分數(shù)的意義是求一個數(shù)的幾分之幾是多少。例如：1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。4×3/8表示求4的3/8是多少.(二)、分數(shù)乘法的計算法則：分數(shù)的基本性質(zhì)：分子、分母同時乘或者除以一個相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。1、分數(shù)與整數(shù)相乘：分子與整數(shù)相乘的積做分子，分母不變。(整數(shù)和分母約分)2、分數(shù)與分數(shù)相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。注意：當帶分數(shù)進行乘法計算時，要先把帶分數(shù)化成假分數(shù)再進行計算。3、為了計算簡便，能約分的要先約分，再計算。（盡量約分，不會約分的就不約，常考的質(zhì)因數(shù)有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×19=361）4、小數(shù)乘分數(shù)，可以先把小數(shù)化為分數(shù)，也可以把分數(shù)化成小數(shù)再計算（建議把小數(shù)化分數(shù)再計算）。(三)、乘法中比較大小的規(guī)律一個數(shù)(0除外)乘大于1的數(shù)，積大于這個數(shù)。一個數(shù)(0除外)乘小于1的數(shù)(0除外)，積小于這個數(shù)。一個數(shù)(0除外)乘1，積等于這個數(shù)。注：在進行因數(shù)與積的大小比較時，要注意因數(shù)為0時的特殊情況。附：形如的分數(shù)可折成（）×

(四)、分數(shù)混合運算的運算順序和整數(shù)的運算順序相同。整數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和分配律，對于分數(shù)乘法也同樣適用。乘法交換律：a×b=b×a乘法結(jié)合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a+b)×c=ac+bc（五）倒數(shù)的意義：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。1、倒數(shù)是兩個數(shù)的關(guān)系，它們互相依存，不能單獨存在。單獨一個數(shù)不能稱為倒數(shù)。（必須說清誰是誰的倒數(shù)）2、判斷兩個數(shù)是否互為倒數(shù)的唯一標準是：兩數(shù)相乘的積是否為“1”。例如：a×b=1則a、b互為倒數(shù)。3、求倒數(shù)的方法：①求分數(shù)的倒數(shù)：交換分子、分母的位置。②求整數(shù)的倒數(shù)：整數(shù)分之1。③求帶分數(shù)的倒數(shù)：先化成假分數(shù)，再求倒數(shù)。④求小數(shù)的倒數(shù)：先化成分數(shù)再求倒數(shù)。4、1的倒數(shù)是它本身，因為1×1=10沒有倒數(shù)，因為任何數(shù)乘0積都是0，且0不能作分母。5、任意數(shù)a(a≠0)，它的倒數(shù)為；非零整數(shù)a的倒數(shù)為；分數(shù)的倒數(shù)是。6、真分數(shù)的倒數(shù)是假分數(shù)，真分數(shù)的倒數(shù)大于1，也大于它本身。假分數(shù)的倒數(shù)小于或等于1。帶分數(shù)的倒數(shù)小于1。二、分數(shù)乘法的解決問題(已知單位“1”的量(用乘法)，即求單位“1”的幾分之幾是多少)1、畫線段圖：(1)兩個量的關(guān)系：畫兩條線段圖，先畫單位一的量，注意兩條線段的左邊要對齊。(2)部分和整體的關(guān)系：畫一條線段圖。2、找單位“1”：單位“1”在分率句中分率的前面；或在“占”、“是”、“比”“相當于”的后面。用分數(shù)乘法解決問題1、求一個數(shù)的幾分之幾是多少？（用乘法）“1”×

=例如：求25的是多少？

列式：25×=15甲數(shù)的等于乙數(shù)，已知甲數(shù)是25，求乙數(shù)是多少？

列式：25×=15注：已知單位“1”的量，求單位“1”的量的幾分之幾是多少，用單位“1”的量與分數(shù)相乘。2、（什么）是（什么）的。（

）=(“1”)

×

例1:已知甲數(shù)是乙數(shù)的，乙數(shù)是25，求甲數(shù)是多少？甲數(shù)=乙數(shù)×

即25×=15注:（1）“是”“的”字中間的量“乙數(shù)”是的單位“1”的量，即是把乙數(shù)看作單位“1”，把乙數(shù)平均分成5份，甲數(shù)是其中的3份。（2）“是”“占”“比”這三個字都相當于“=”號，“的”字相當于“×”。（3）單位“1”的量×分率=分率對應(yīng)的量例2：甲數(shù)比乙數(shù)多（少），乙數(shù)是25，求甲數(shù)是多少？甲數(shù)=乙數(shù)±乙數(shù)×

即25±25×=25×（1±）＝40（或10）3、巧找單位“1”的量：在含有分數(shù)（分率）的語句中，分率前面的量就是單位“1”對應(yīng)的量，或者“占”“是”“比”字后面的量是單位“1”。4、什么是速度？——速度是單位時間內(nèi)行駛的路程。速度=路程÷時間

時間=路程÷速度

路程=速度×?xí)r間——單位時間指的是1小時1分鐘1秒等這樣的大小為1的時間單位，每分鐘、每小時、每秒鐘等。5、求甲比乙多（少）幾分之幾？多：（甲-乙）÷乙少：（乙-甲）÷乙

6、寫數(shù)量關(guān)系式的技巧：(1)“的”相當于“×”，“占”、“相當于”“是”、“比”是“=”

(2)分率前是“的”字：用單位“1”的量×分率=具體量

例如：甲數(shù)是20，甲數(shù)的1/3是多少？列式是：20×1/37、看分率前有沒有多或少的問題；分率前是“多或少”的關(guān)系式：

（比少）：單位“1”的量×(1-分率)=具體量；例如：甲數(shù)是50，乙數(shù)比甲數(shù)少1/2，乙數(shù)是多少？列式是：50×（1-1/2）（比多）：單位“1”的量×(1+分率)=具體量例如：小紅有30元錢，小明比小紅多3/5，小紅有多少錢？列式是：50×（1+3/5）3、求一個數(shù)的幾倍是多少：用一個數(shù)×幾倍；

4、求一個數(shù)的幾分之幾是多少：用一個數(shù)×幾分之幾。5、求幾個幾分之幾是多少：用幾分之幾×個數(shù)6、求已知一個部分量是總量的幾分之幾，求另一個部分量的方法：(1)、單位“1”的量×(1-分率)=另一個部分量（建議用）(2)、單位“1”的量-已知占單位“1”的幾分之幾的部分量=要求的部分量例如：教材15頁做一做和16頁練習(xí)第七題（題目中有時候會有這種題的關(guān)鍵字“其中”）第二單元位置與方向（二）一、確定物體位置的方法：1、先找觀測點；2、再定方向（看方向夾角的度數(shù)）；3、最后確定距離（看比例尺）二、描繪路線圖的關(guān)鍵是選好觀測點，建立方向標，確定方向和路程。三、位置關(guān)系的相對性：1、兩地的位置具有相對性在敘述兩地的位置關(guān)系時，觀測點不同，敘述的方向正好相反，而度數(shù)和距離正好相等。四、相對位置：東--西；南--北；南偏東--北偏西?！獢?shù)對：由兩個數(shù)組成，中間用逗號隔開，用括號括起來。括號里面的數(shù)由左至右為列數(shù)和行數(shù)，即“先列后行”。

豎排叫列(從左往右看)橫排叫行(從前往后看)，先數(shù)列再數(shù)行。

作用：確定一個點的位置。經(jīng)度和緯度就是這個原理。例：在方格圖（平面直角坐標系）中用數(shù)對（3，5）表示（第三列，第五行）。注：（1）在平面直角坐標系中X軸上的坐標表示列，y軸上的坐標表示行。如：數(shù)對（3,2）表示第三列，第二行。（2）數(shù)對（X，5）的行號不變，表示一條橫線，（5，Y）的列號不變，表示一條豎線。（有一個數(shù)不確定，不能確定一個點）（

列

，行

）↓

↓豎排叫列

橫排叫行（從左往右看）（從下往上看）（從前往后看）2、圖形左右平移行數(shù)不變；圖形上下平移列數(shù)不變。3、兩點間的距離與基準點（0，0）的選擇無關(guān)，基準點不同導(dǎo)致數(shù)對不同，兩點間但距離不變。4、平移時用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”來表述，平移時圖形的現(xiàn)狀不變。5、圖形左、右平移：行不變；圖形上、下平移：列不變第三單元分數(shù)除法一、倒數(shù)1、倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。強調(diào)：互為倒數(shù)，即倒數(shù)是兩個數(shù)的關(guān)系，它們互相依存，倒數(shù)不能單獨存在。(要說清誰是誰的倒數(shù))。二、分數(shù)除法計算法則：除以一個數(shù)（0除外），等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)。1、被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)×除數(shù)的倒數(shù)。例÷3=×=

3÷=3×=52、除法轉(zhuǎn)化成乘法時，被除數(shù)一定不能變，“÷”變成“×”，除數(shù)變成它的倒數(shù)。3、分數(shù)除法算式中出現(xiàn)小數(shù)、帶分數(shù)時要先化成分數(shù)、假分數(shù)再計算。4、被除數(shù)與商的變化規(guī)律：①除以大于1的數(shù)，商小于被除數(shù)：a÷b=c

當b>1時，c<a

(a≠0)②除以小于1的數(shù)，商大于被除數(shù)：a÷b=c

當b<1時，c>a

(a≠0

b≠0)③除以等于1的數(shù)，商等于被除數(shù)：a÷b=c

當b=1時，c=a2、求倒數(shù)的方法：(1)、求分數(shù)的倒數(shù)：交換分子分母的位置。(2)、求整數(shù)的倒數(shù)：把整數(shù)看做分母是1的分數(shù)，再交換分子分母的位置。(3)、求帶分數(shù)的倒數(shù)：把帶分數(shù)化為假分數(shù)，再求倒數(shù)。(4)、求小數(shù)的倒數(shù)：把小數(shù)化為分數(shù)，再求倒數(shù)。3、

1的倒數(shù)是1；因為1×1=1；0沒有倒數(shù)，因為0乘任何數(shù)都得0，(分母不能為0)

4、真分數(shù)的倒數(shù)大于1;假分數(shù)的倒數(shù)小于或等于1;帶分數(shù)的倒數(shù)小于1。5、運用，a×2/3=b×1/4求a和b是多少。把a×2/3=b×1/4看成等于1,也就是求2/3的倒數(shù)和求1/4的倒數(shù)。1、分數(shù)除法的意義：乘法：因數(shù)×因數(shù)=積

除法：積÷一個因數(shù)=另一個因數(shù)分數(shù)除法與整數(shù)除法的意義相同，表示已知兩個因數(shù)的積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。例如：1/2÷3/5意義是：已知兩個因數(shù)的積是1/2與其中一個因數(shù)3/5，求另一個因數(shù)的運算。2、分數(shù)除法的計算法則：除以一個不為0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

3、分數(shù)除法比較大小時的規(guī)律：(1)當除數(shù)大于1，商小于被除數(shù);(2)當除數(shù)小于1(不等于0)，商大于被除數(shù);(3)當除數(shù)等于1，商等于被除數(shù)?！癧]”叫做中括號。一個算式里，如果既有小括號，又有中括號，要先算小括號里面的，再算中括號里面的。三、分數(shù)除法混合運算1、混合運算用梯等式計算，等號寫在第一個數(shù)字的左下角。2、運算順序：①連除：屬同級運算，按照從左往右的順序進行計算；或者先把所有除法轉(zhuǎn)化成乘法再計算；或者依據(jù)“除以幾個數(shù)，等于乘上這幾個數(shù)的積”的簡便方法計算。加、減法為一級運算，乘、除法為二級運算。②混合運算：沒有括號的先乘、除后加、減，有括號的先算括號里面，再算括號外面。注：（a±b）÷c=a÷c±b÷c四、分數(shù)除法解決問題1，解法：(1)方程：根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X，用方程解答。解：設(shè)未知量為X（一定要解設(shè)）,再列方程

用X×分率=具體量

例如：公雞有20只，是母雞只數(shù)的1/3，母雞有多少只。（單位一是母雞只數(shù)，單位一未知.）解：設(shè)母雞有X只。列方程為：X×1/3=20(2)算術(shù)(用除法)：單位“1”的量未知用除法：即已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。分率對應(yīng)量÷對應(yīng)分率=單位“1”的量例如：公雞有20只，是母雞只數(shù)的1/3，母雞有多少只。（單位一是母雞只數(shù)，單位一未知，）用除法，列式是：20÷1/32、看分率前有沒有比多或比少的問題；分率前是“多或少”的關(guān)系式：

（比少）：具體量÷(1-分率)=單位“1”的量；例如:桃樹有50棵，比蘋果樹少1/6，蘋果樹有多少棵。列式是：50÷（1-1/6）（比多）：具體量÷(1+分率)=單位“1”的量例如:一種商品現(xiàn)在是80元，比原價增加了1/7，原價多少？列式是：80÷（1+1/7）3、求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾是多少：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果寫為分數(shù)形式。例如:男生有20人，女生有15人，女生人數(shù)占男生人數(shù)的幾分之幾。列式是：15÷20=15/20=3/44、求一個數(shù)比另一個數(shù)多幾分之幾的方法：

用兩個數(shù)的相差量÷單位“1”的量=分數(shù)即①求一個數(shù)比另一個數(shù)多幾分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)）÷另一個數(shù)（比那個數(shù)就除以那個數(shù)），結(jié)果寫為分數(shù)形式。例如：5比3多幾分之幾？（5－3）÷3=2/3②求一個數(shù)比另一個數(shù)少幾分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)）÷另一個數(shù)（比那個數(shù)就除以那個數(shù)），結(jié)果寫為分數(shù)形式。例如：3比5少幾分之幾？（5－3）÷5=2/5說明：多幾分之幾不等于少幾分之幾，因為單位一不同。5、工程問題：把工作總量看作單位“1”，合做多長時間完成一項工程用1÷效率和，即1÷（1/時間+1/時間），（工作效率=1/時間）例如：一項工程甲單獨做要5天完成，乙單獨做要10天完成，甲單獨做要3天完成，三人合做幾天可以完成？列式：1÷（1/5+1/10+1/3）第四單元比(一)、比的意義

1、比的意義：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。2、在兩個數(shù)的比中，比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。例如15：10=15÷10=3/2(比值通常用分數(shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示)15

∶

10＝3/2前項

比號

后項

比值3、比可以表示兩個相同量的關(guān)系，即倍數(shù)關(guān)系。例：長是寬的幾倍。也可以表示兩個不同量的比，得到一個新量。例：路程÷速度=時間。4、區(qū)分比和比值比：表示兩個數(shù)的關(guān)系，可以寫成比的形式，也可以用分數(shù)表示。比值：相當于商，是一個數(shù)，可以是整數(shù)，分數(shù)，也可以是小數(shù)。5、根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系，兩個數(shù)的比也可以寫成分數(shù)形式。6、比和除法、分數(shù)的聯(lián)系：比

前項

比號“：”

后項

比值除法

被除數(shù)

除號“÷”

除數(shù)

商分數(shù)

分

子

分數(shù)線“—”

分母

分數(shù)值7、比和除法、分數(shù)的區(qū)別：除法是一種運算，分數(shù)是一個數(shù)，比表示兩個數(shù)的關(guān)系。8、根據(jù)比與除法、分數(shù)的關(guān)系，可以理解比的后項不能為0。9、體育比賽中出現(xiàn)兩隊的分是2：0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個數(shù)相除的關(guān)系。10、求比值：用前項除以后項，結(jié)果最好是寫為分數(shù)（不會約分的就不約分）例如：15∶10＝15÷10＝15／10＝3/2(二)、比的基本性質(zhì)1、根據(jù)比、除法、分數(shù)的關(guān)系：商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)(0除外)，商不變。分數(shù)的基本性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)時(0除外)，分數(shù)值不變。比的基本性質(zhì)：比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)(0除外)，比值不變。2、最簡整數(shù)比：比的前項和后項都是整數(shù)，并且是互質(zhì)數(shù)，這樣的比就是最簡整數(shù)比。3、根據(jù)比的基本性質(zhì)，可以把比化成最簡單的整數(shù)比。4.化簡比：(2)用求比值的方法。注意：最后結(jié)果要寫成比的形式。例如：15∶10=15÷10=15／10＝3/2=3∶2還可以15∶10=15÷10=3/2最簡整數(shù)比是3∶25、比中有單位的，化簡和求比值時要把單位化相同再化簡和求比值，結(jié)果沒有單位。6.按比例分配：把一個數(shù)量按照一定的比來進行分配。這種方法通常叫做按比例分配。一般有兩種解題法１，用分率解:按比例分配通常把總量看作單位一，即轉(zhuǎn)化成分率。要先求出總份數(shù)，再求出幾份占總份數(shù)的幾分之幾，最后再用總量分別乘幾分之幾。例如：有糖水25克，糖和水的比為1:4，糖和水分別有幾克？1+4=5

糖占1/5用25×1/5得到糖的數(shù)量，水占4/5用25×4/5得到水的數(shù)量。2，用份數(shù)解：要先求出總份數(shù)，再求出每一份是多少，最后分別求出幾份是多少。例如：有糖水25克，糖和水的比為1:4，糖和水分別有幾克？

糖和水的份數(shù)一共有1+4=5

一份就是25÷5=5糖有1份就是5×1水有4分就是5×4五、分數(shù)除法和比的應(yīng)用1、已知單位“1”的量用乘法。例：甲是乙的，乙是25，求甲是多少？即：甲=乙×（15×=9）2、未知單位“1”的量用除法。例:甲是乙的，甲是15，求乙是多少？即：甲=乙×（15÷=25）（建議列方程答）3、分數(shù)應(yīng)用題基本數(shù)量關(guān)系（把分數(shù)看成比）（1）甲是乙的幾分之幾？

甲＝乙×幾分之幾

（例：甲是15的，求甲是多少？15×＝9）乙＝甲÷幾分之幾

（例：9是乙的，求乙是多少？9÷＝15）幾分之幾＝甲÷乙

（例：9是15的幾分之幾？9÷15＝）（“是”字相當“÷”號，乙是單位“1”）（2）甲比乙多（少）幾分之幾？A差÷乙=（“比”字后面的量是單位“1”的量）（例：9比15少幾分之幾？（15-9）÷15＝＝＝）B多幾分之幾是：–1

（例：15比9少幾分之幾？15÷9＝-1＝–1＝）C少幾分之幾是：1–

（例：9比15少幾分之幾？1-9÷15＝1–＝1–＝）D甲=乙±差=乙±乙×=乙±乙×=乙（1±）

（例：甲比15少，求甲是多少？15–15×＝15×（1–）＝9（多是“+”少是“–”）E乙=甲÷(1±

)（例：9比乙少，求乙是多少？9÷（1-）＝9÷＝15）（多是“+”少是“–”）（例：15比乙多，求乙是多少？15÷（1+）＝15÷＝9）（多是“+”少是“–”）4、按比例分配：把一個量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。例如：已知甲乙的和是56，甲、乙的比3∶5，求甲、乙分別是多少？方法一：56÷（3+5）＝7甲：3×7＝21

乙：5×7＝35方法二：甲：56×＝21

乙：56×＝35例如：已知甲是21，甲、乙的比3∶5，求乙是多少？方法一：21÷3＝7乙：5×7＝35方法二：甲乙的和21÷＝56

乙：56×＝35方法二：甲÷乙＝

乙＝甲÷

＝21÷＝355、畫線段圖：（1）找出單位“1”的量，先畫出單位“1”，標出已知和未知。（2）分析數(shù)量關(guān)系。（3）找等量關(guān)系。（4）列方程。注：兩個量的關(guān)系畫兩條線段圖，部分和整體的關(guān)系畫一條線段圖。第五單元圓的認識一、.圓的特征1、圓是平面內(nèi)封閉曲線圍成的平面圖形，2、圓的特征：外形美觀，易滾動。3、圓心o：圓中心的點叫做圓心．圓心一般用字母O表示．圓多次對折之后，折痕的相交于圓的中心即圓心。圓心確定圓的位置。半徑r：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。在同一個圓里，有無數(shù)條半徑，且所有的半徑都相等。半徑確定圓的大小。直徑d:通過圓心且兩端都在圓上的線段叫做直徑。在同一個圓里，有無數(shù)條直徑，且所有的直徑都相等。直徑是圓內(nèi)最長的線段。同圓或等圓內(nèi)直徑是半徑的2倍：d=2r或

r=d÷2=d=

4、等圓：半徑相等的圓叫做同心圓，等圓通過平移可以完全重合。同心圓：圓心重合、半徑不等的兩個圓叫做同心圓。5、圓是軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形。折痕所在的直線叫做對稱軸。有一條對稱軸的圖形：半圓、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角有二條對稱軸的圖形：長方形有三條對稱軸的圖形：等邊三角形有四條對稱軸的圖形：正方形有無條對稱軸的圖形：圓，圓環(huán)6、畫圓（1）圓規(guī)兩腳間的距離是圓的半徑。（2）畫圓步驟：定半徑、定圓心、旋轉(zhuǎn)一周。二、圓的周長

1、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。用字母C表示。2、圓周率實驗：（滾動法）在圓形紙片上做個記號，與直尺0刻度對齊，在直尺上滾動一周，得到圓的周長。或者用線圍繞圓形紙片一周量出線的長度就是圓的周長（測繩法）。發(fā)現(xiàn)，圓周長與它直徑的比值（圓周長除以直徑）是一個固定數(shù)即３倍多一點，我們把它叫做圓周率用字母π表示。3、圓周率：任意一個圓的周長與它的直徑的比值是一個固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率。用字母π(pai)表示。世界上第一個把圓周率算出來的人是我國的數(shù)學(xué)家祖沖之。(1)、一個圓的周長總是它直徑的3倍多一些，這個比值是一個固定的數(shù)。圓周率π是一個無限不循環(huán)小數(shù)。在計算時，一般取π≈3.14。(2)、在判斷時，圓周長與它直徑的比值是π倍，而不是3.14倍。4、圓的周長公式：圓的周長等于圓周率乘直徑用字母表示C=πd

(1)、已知圓的周長求直徑用圓的周長除以圓周率，用字母表示d=C÷π或圓的周長等于２乘圓周率乘半徑，用字母表示C=2πr(2)、已知圓的周長求半徑用圓的周長除以圓周率的２倍，用字母表示r=C÷2π（r=C/2π）5、在一個正方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長。在一個長方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。6、區(qū)分周長的一半和半圓的周長：(1)、周長的一半：等于圓的周長÷2計算方法：2πr÷2即C半=πr(2)半圓的周長：等于圓的周長的一半加直徑。計算方法：半圓的周長=5.14r（推導(dǎo)過程C半=2πr÷2+d=πr+d=πr+2r=5.14r）3、周長的變化的規(guī)律：半徑擴大多少倍直徑也擴大多少倍，周長擴大的倍數(shù)與半徑、直徑擴大的倍數(shù)相同。如果r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3三、圓的面積1、圓面積公式的推導(dǎo)如圖把一個圓沿直徑等分成若干份，剪開拼成長方形，份數(shù)越多拼成的圖像越接近長方形。圓的半徑=長方形的寬

圓的周長的一半=長方形的長

長方形面積=長×寬所以：圓的面積=長方形的面積=長×寬

=圓的周長的一半（πr）×圓的半徑（r）S圓=πr×r

=πr2

2、幾種圖形，在面積相等的情況下，圓的周長最短，而長方形的周長最長；反之，在周長相等的情況下，圓的面積則最大，而長方形的面積則最小。周長相同時，圓面積最大，利用這一特點，籃子、盤子做成圓形。3、圓面積的變化的規(guī)律：半徑擴大多少倍直徑、周長也同時擴大多少倍，圓面積擴大的倍數(shù)是半徑、直徑擴大的倍數(shù)的平方倍。如果:

r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3=2∶3∶4則：S1∶S2∶S3=4∶9∶164、環(huán)形面積=大圓面積–小圓面積=πR2

-πr2=π（R2

-r2）扇形面積=πr2×n（n表示扇形圓心角的度數(shù)）（跑道：每條跑道的周長等于兩半圓跑道合成的圓的周長加上兩條直跑道的和。因為兩條直跑道長度相等，所以，起跑線不同，相鄰兩條跑道起跑線也不同，間隔的距離是：2×π×跑道寬度。）注：一個圓的半徑增加a厘米，周長就增加2πa厘米一個圓的直徑增加b厘米，周長就增加πb厘米5、一個圓，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數(shù)。而面積擴大或縮小的倍數(shù)是這倍數(shù)的平方倍。例如：在同一個圓里，半徑擴大3倍，那么直徑和周長就都擴大3倍，而面積擴大3的平方倍得到9倍。6、兩個圓：半徑比=直徑比=周長比；而面積比等于這比的平方。例如：兩個圓的半徑比是2∶3，那么這兩個圓的直徑比和周長比都是2∶3，而面積比是4∶97、當長方形，正方形，圓的周長相等時，圓面積最大，正方形居中，長方形面積最小。反之，面積相同時，長方形的周長最長，正方形居中，圓的周長最短。8、任意一個正方形的內(nèi)切圓即最大圓的直徑是正方形的邊長，它們的面積比是4∶π9、常用數(shù)據(jù)：π=3.14

2π=6.28

3π=9.42

4π=12.56

5π=15.710、外方內(nèi)圓（內(nèi)切圓）公式S=0.86r推導(dǎo)過程：S=S正-S圓=d-πr=2r×2r-πr=4r-πr=r×(4-π)=0.86r

11、外圓內(nèi)方（外切圓）公式S=1.14r推導(dǎo)過程：S=S圓-S正=πr-dr/2×2=2r×r/2×r=πr-2r=r×(π-2)=1.14r（把正方形看成兩個面積相等的三角形，三角形的底就是直徑，高是半徑）12、一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點在圓心的角叫做圓心角。扇形的面積與圓心角大小和半徑長短有關(guān)。13、S扇=S圓×n/360；S扇環(huán)=S環(huán)×n/36014、扇形也是軸對稱圖形，有一條對稱軸。15、常見半徑與直徑的周長和面積的結(jié)果。半徑

半徑的平方

直徑

周長

面積1

1

2

6.28

3.142

4

4

12.56

12.563

9

6

18.84

28.264

16

8

25.12

50.245

25

10

31.4

78.56

36

12

37.68

113.047

49

14

43.96

153.868

64

16

50.24

200.969

81

18

56.52

254.3410

100

20

62.8

3141.5

2.25

3

9.42

7.0652.5

6.25

5

15.7

19.6253.5

12.25

7

21.98

38.4654.5

20.35

9

28.26

63.5855.5

30.25

11

34.54

94.9857.5

56.25

15

47.1

176.625第六單元百分數(shù)一、百分數(shù)的意義和寫法（一）、百分數(shù)的意義：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。百分數(shù)是指的兩個數(shù)的比，因此也叫百分率或百分比。（二）、百分數(shù)和分數(shù)的主要聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：都可以表示兩個量的倍比關(guān)系。區(qū)別：①、意義不同：百分數(shù)只表示兩個數(shù)的倍比關(guān)系，不能表示具體的數(shù)量，所以不能帶單位;分數(shù)既可以表示具體的數(shù)，又可以表示兩個數(shù)的關(guān)系，表示具體數(shù)時可以帶單位。②、百分數(shù)的分子可以是整數(shù)，也可以是小數(shù);分數(shù)的分子不能是小數(shù)，只能是除0以外的自然數(shù)。3、百分數(shù)的寫法：通常不寫成分數(shù)形式，而在原來分子后面加上“%”來表示，讀作百分之。注：百分數(shù)在生活中應(yīng)用廣泛，所涉及問題基本和分數(shù)問題相同，分母是100的分數(shù)并不是百分數(shù)，必須把分母寫成“%”才是百分數(shù)，所以“分母是100的分數(shù)就是百分數(shù)”這句話是錯誤的。“%”的兩個0要小寫，不要與百分數(shù)前面的數(shù)混淆。一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達到100%，出米率、出油率達不到100%，完成率、增長了百分之幾等可以超過100%。一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。二、百分數(shù)和分數(shù)、小數(shù)的互化(一)百分數(shù)與小數(shù)的互化：1、小數(shù)化成百分數(shù)：把小數(shù)點向右移動兩位（數(shù)位不夠用0補足），同時在后面添上百分號。2.百分數(shù)化成小數(shù)：把小數(shù)點向左移動兩位（數(shù)位不夠用0補足），同時去掉百分號。(二)百分數(shù)的和分數(shù)的互化1、百分數(shù)化成分數(shù)：先把百分數(shù)改寫成分母是100的分數(shù)，能約分要約成最簡分數(shù)。2、分數(shù)化成百分數(shù)：①用分數(shù)的基本性質(zhì)，把分數(shù)分母擴大或縮小成分母是100的分數(shù)，再寫成百分數(shù)形式。②先把分數(shù)化成小數(shù)(除不盡時，通常保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分數(shù)。（建議用這種方法）(三)常見分數(shù)小數(shù)百分數(shù)之間的互化；

三、用百分數(shù)解決問題(一)一般應(yīng)用題1、常見的百分率的計算方法：一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達到100%，出米率、出油率達不到100%，完成率、增長了百分之幾等可以超過100%。納稅

繳納的稅款叫做應(yīng)納稅額。

（應(yīng)納稅額）÷（總收入）=（稅率）（應(yīng)納稅額）=（總收入）×（稅率）利率（1）存入銀行的錢叫做本金。

（2）取款時銀行多支付的錢叫做利息。

（3）利息與本金的比值叫做利率。利息=本金×利率×?xí)r間稅后利息=利息-利息的應(yīng)納稅額=利息-利息×5%注：國債和教育儲蓄的利息不納稅2、求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果寫為百分數(shù)形式。例如：例如:男生有20人，女生有15人，女生人數(shù)占男生人數(shù)的百分之幾。列式是：15÷20=15/20=75﹪3、已知單位“1”的量(用乘法)，求單位“1”的百分之幾是多少的問題，數(shù)量關(guān)系式和分數(shù)乘法解決問題中的關(guān)系式相同：(1)百分率前是“的”：單位“1”的量×百分率=百分率對應(yīng)量(2百分率前是“多或少”的數(shù)量關(guān)系：

單位“1”的量×(1±百分率)=百分率對應(yīng)量4、未知單位“1”的量(用除法)，已知單位“1”的百分之幾是多少，求單位“1”。方法與分數(shù)的方法相同。解法：(1)方程：根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X，用方程解答。(2)算術(shù)(用除法)：百分率對應(yīng)量÷對應(yīng)百分率=單位“1”的量5、求一個數(shù)比另一個數(shù)多(少)百分之幾的方法與分數(shù)的方法相同。只是結(jié)果要寫為百分數(shù)形式?？窗俜致是坝袥]有比多或比少的問題；百分率前是“多或少”的關(guān)系式：

（比少）：具體量÷(1-百分率)=單位“1”的量；例如:大米有50千克，比面粉樹少50﹪，面粉有多少千克。列式是：50÷（1-50﹪）（比多）：具體量÷(1+百分率)=單位“1”的量例如:工人做110個零件，比原計劃多做了10﹪，原計劃做多少個？列式是：110÷（1+10﹪）6、求一個數(shù)比另一個數(shù)多百分之幾的方法：方法與分數(shù)的方法相同。用兩個數(shù)的相差量÷單位“1”的量=百分之幾即①求一個數(shù)比另一個數(shù)多百分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)）÷另一個數(shù)（比那個數(shù)就除以那個數(shù)），結(jié)果寫為百分數(shù)形式。甲比乙多幾分之幾的問題，方法A，（甲-乙）÷乙（建議用）

方法B，甲÷乙-100﹪例如：老師計劃改40本作業(yè)，實際改了50本，實際比計劃多改了百分之幾？列式是：（50－40）÷40=0.25=25﹪②求一個數(shù)比另一個數(shù)少幾分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)）÷另一個數(shù)（比那個數(shù)就除以那個數(shù)），結(jié)果寫為百分數(shù)形式。乙比甲少幾分之幾的問題，方法A,（甲-乙）÷甲（建議用）

方法B，100﹪-乙÷甲例如：張三家用了100度電，李四家用了90度電，李四家比張三家少用百分之幾？（100－90）÷100=0.1=10﹪說明：多百分之幾不等于少百分之幾，因為單位一不同。7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之幾，用a﹪÷（1±a﹪）8、求價格先降a﹪又上升a﹪后的價格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假設(shè)原來的價格為“1”。求變化幅度（求降價后的價格是漲價后價格的百分之幾）用1-降價后又上升的百分率。5、折扣

折扣、打折的意義：幾折就是十分之幾也就是百分之幾十折扣

成數(shù)

幾分之幾

百分之幾

小數(shù)

通用八折

八成

十分之八

百分之八十

0.8

八五折八成五

十分之八點五

百分之八十五

0.85

五折

五成

十分之五

百分之五十

0.5

半價百分數(shù)應(yīng)用題型分類（1）求甲是乙的百分之幾——（甲÷乙）×100%

=

×100%=百分之幾（2）求甲比乙多(少)百分之幾——

×100%=

×100%

例1、甲是50，乙是40，甲是乙的百分之幾？（50是40的百分之幾？）50÷40=125%2、甲是50，乙是40，乙是甲的百分之幾？（40是50的百分之幾？）40÷50=80%3、乙是40，甲是乙的125%，甲數(shù)是多少？（40的125%是多少？）40×125%=504、甲是50，乙是甲的80%，乙數(shù)是多少？（50的80%是多少？）50×80%=405、乙是40，乙是甲的80%，甲數(shù)是多少？（一個數(shù)的80%是40，這個數(shù)是多少？）40÷80%=506、甲是50，甲是乙的125%，乙數(shù)是多少？（一個數(shù)的125%是50，這個數(shù)是多少？）50÷125%=407、甲是50，乙是40，甲比乙多百分之幾？（50比40多百分之幾？）(50-40)÷40×100%=25%8、甲是50，乙是40，乙比甲少百分之幾？（40比50少百分之幾？）(50-40)÷50×100%=20%9、甲比乙多25%，多10，乙是多少？10÷25%=4010、甲比乙多25%，多10，甲是多少？10÷25%+10=5011、乙比甲少20%，少10，甲是多少？10÷20%=5012、乙比甲少20%，少10，乙是多少？10÷20%-10=4013、乙是40，甲比乙多25%，甲數(shù)是多少？（什么數(shù)比40多25%？）40×（1+25%）=5014、甲是50，乙比甲少20%，乙數(shù)是多少？（什么數(shù)比50多25%？）50×（1-20%）=4015、乙是40，比甲少20%，甲數(shù)是多少？（40比什么數(shù)少20%？）40÷（1-20%）=5016、甲是50，比乙多25%，乙數(shù)是多少？（50比什么數(shù)多25%？）40÷（1+25%）=40第七單元：扇形統(tǒng)計圖一、扇形統(tǒng)計圖的意義：用整個圓的面積表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個扇形面積表示各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系。也就是各部分數(shù)量占總數(shù)的百分比(因此也叫百分比圖)。二、常用統(tǒng)計圖的優(yōu)點：1、條形統(tǒng)計圖：可以清楚的看出各種數(shù)量的多少。2、折線統(tǒng)計圖：不僅可以看出各種數(shù)量的多少，還可以清晰看出數(shù)量的增減變化情況。3、扇形統(tǒng)計圖：能夠清楚的反映出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系。（要在統(tǒng)計圖上寫出百分率）三、扇形的面積大?。涸谕粋€圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關(guān)，圓心角越大，扇形越大。(因此扇形面積占圓面積的百分比，同時也是該扇形圓心角度數(shù)占圓周角度數(shù)的百分比。)四、應(yīng)用：1.會觀察統(tǒng)計圖。

2、你得到什么數(shù)學(xué)信息？回答①、***占總體的百分之幾；②、**占的百分比最多，**占的百分比最少；

3、你還能提什么數(shù)學(xué)問題：**和**一共占百分之幾。數(shù)學(xué)廣角：數(shù)與形1、每幅圖的圓點總數(shù)都可以看作是兩個相同的數(shù)相乘的積，這些算式還可以用平方數(shù)的形式來表示。1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42得出：從1起連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個數(shù)的平方。2、從2起連續(xù)偶數(shù)的和等于偶數(shù)個數(shù)的平方加偶數(shù)個數(shù)（即（n2+n），或等于偶數(shù)個數(shù)乘比偶數(shù)個數(shù)大1的數(shù)即n×（n+1）。雞兔同籠問題A、一、“雞兔同籠”問題的特點：題目中有兩個或兩個以上的未知數(shù)，要求根據(jù)總數(shù)量，求出各未知數(shù)的單量。二、“雞兔同籠”問題的解題方法1、假設(shè)法（1）假如都是兔（2）假如都是雞；（一般假設(shè)都是大數(shù)（腳多的），再求出兩個腳的相差量，用大的相差量除以小的相差量得到小數(shù)（腳少的）最后再用總的頭減小數(shù)得到大數(shù)。（我們稱為設(shè)大得小，設(shè)小得大）例，有34個同學(xué)去劃船，大船每船坐4人，小船每船坐2人，租12條船剛好坐滿，問大船和小船各租了幾條。假設(shè)法：

①假設(shè)全部是大船則坐12×4=48(人)②那么實際人數(shù)與大船做的人數(shù)相差48-34=14(人)，③實際一條大船比一條小船多坐4-2=2(人)④大的相差量÷小的相差量得到小的量（即得到小船的數(shù)量），14÷2=7（條）⑤總的船減小的船得到大的船12-7=5（條）。(要注意單位)2、列方程法：例有34個同學(xué)去劃船，大船每船坐4人，小船每船坐2人，租12條船剛好坐滿，問大船和小船各租了幾條。解：設(shè)大船有X條，則小船有12-X條4X+2×(12-X)=34

4X是大船坐的人數(shù)，4是大船每船坐4人，2×(12-X)是小船坐的人數(shù)，小船每船坐2人，有(12-X)條船，相加就得到總?cè)藬?shù)34人。2×(12-X)用乘法分配律計算得到24-2X