八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）第十六章二次根式易錯導(dǎo)航二二次根式二次根式有意義易錯點1二次根式有意義二次根式的性質(zhì)理解不透易錯點2二次根式的性質(zhì)理解不透二次根式的運算易錯點3二次根式的運算二次根式的規(guī)律探究二次根式的分母有理化易錯點4二次根式的規(guī)律探究二次根式的分母有理化易錯點5易錯訓(xùn)練【易錯點1二次根式有意義】（2021·湖南益陽市·八年級期末）若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是()A． B． C．且 D．且【變式訓(xùn)練】1．（2021·浙江八年級月考）使式子有意義的x的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2020·浙江八年級單元測試）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且3．（2021·北京昌平區(qū)·八年級期末）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是_________．4．（2021·安徽九年級其他模擬）分式有意義的x的取值范圍是__________．5．（2020·浙江八年級期中）若成立，則a的取值范圍是______________．6．（2021·浙江）已知是實數(shù)，且滿足，則的平方根是____________．7．（2020·浙江八年級期中）已知x，y都是實數(shù)，且，求的平方根．【易錯點2二次根式的性質(zhì)】（2020·云南玉溪市·八年級期末）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示．（1）化簡：______；______．（2）化簡：．【變式訓(xùn)練】選擇題1．（2020·浙江杭州市·八年級其他模擬）化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．2．（2021·臺州市書生中學(xué)七年級月考）實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡結(jié)果為（）A．7 B．-7 C． D．無法確定3．（2021·遼寧朝陽市·八年級期末）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，且|a|＞|b|，則化簡＋|a＋b|的結(jié)果為（）A．2a＋b B．﹣2a﹣b C．b D．2a﹣b二、填空題4．（2021·湖北武漢市·九年級二模）計算__________．5．（2019·?？谑薪鸨P實驗學(xué)校九年級期中）當(dāng)2＜a＜3時，化簡：＝______．6．（2021·武岡市第二中學(xué)八年級月考）對于任意不相等的兩個實數(shù)x，y，定義一種運算“☆”：x☆y＝，根據(jù)這一規(guī)則，那么8☆（3☆10）＝_______．三、解答題7．（2021·四川成都市·石室初中八年級月考）實數(shù)a、b、c如圖所示，化簡（）2+﹣．8．（2021·江蘇南通市·八年級期末）（1）判斷下列各式是否成立？并選擇其中一個說明理由；；；．（2）用字母表示（1）中式子的規(guī)律，并給出證明．9．（2019·上海市北海中學(xué)七年級月考）先閱讀下列的解答過程，然后再解答：形如的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)a、b，使，，使得，，那么便有：例如：化簡解：首先把化為，這里，，由于，即，∴（1）填空：=，=；（2）化簡：．10．（2021·浙江九年級專題練習(xí)）閱讀下面的文字再回答問題甲、乙兩人對題目：“化簡并求值：，其中a＝”有不同的解答．甲的解答是：；乙的解答是（1）填空：的解答是錯誤的；（2）解答錯誤的原因是未能正確運用二次根式的性質(zhì)？請用含字母a的式子表示這個性質(zhì)（3）請你正確運用上述性質(zhì)解決問題：當(dāng)3＜x＜5時，化簡11．（2021·重慶市永川萱花中學(xué)校七年級月考）（1）通過計算下列各式的值探究問題：①______；______；_____．探究：對于任意非負(fù)有理數(shù)，______．②______；______；______．探究：對于任意負(fù)有理數(shù)，______．綜上，對于任意有理數(shù)，______．（2）應(yīng)用（1）所得的結(jié)論解決問題：有理數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，化簡：．【易錯點3二次根式的運算】（2020·遼寧錦州市·八年級期中）計算：（1）（2）（3）（4）【變式訓(xùn)練】一、選擇題1．（2021·阜南縣文勤學(xué)校八年級月考）計算的結(jié)果是（）A．0 B． C． D．2．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶八中九年級月考）下列計算不正確的是（）A．3﹣＝2 B．＋＝3C．（1﹣）2＝3﹣2 D．×＝3．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）如圖所示，數(shù)軸上表示1，的對應(yīng)點分別為A，B，則以點A為圓心，AB為半徑的圓交數(shù)軸于點C，則點C表示的數(shù)是（）A． B． C． D．4．（2021·廣東廣州市·九年級一模）已知a=，b=，則a2+b2的值為（）A．8 B．1 C．6 D．5．（2019·上海民辦桃李園實驗學(xué)校八年級月考）下列各組根式中，不是同類二次根式的是（）A．和B．和C．和D．和二、填空題6．（2021·全國八年級期中）計算的結(jié)果是__________．7．（2021·山東青島市·九年級一模）計算的結(jié)果等于______．8．（2021·全國八年級單元測試）已知，，則的值是______．9．（2020·浙江七年級期末）如果的整數(shù)部分為a．小數(shù)部分為b，求_________．10．（2021·四川成都市·西川中學(xué)南區(qū)八年級期中）對于實數(shù)a，b，定義運算“◆”：a◆b＝，例如3◆2，因為3＞2，所以3◆2＝＝，若x，y滿足方程組，則（x◆y）◆x＝__．三、解答題11．（2020·浙江八年級月考）計算：（1）（2）．12．（2021·浙江八年級月考）計算：（1）；（2）．13．（2021·福建廈門市·廈門雙十中學(xué)八年級月考）（1）（2）14．（2021·浙江）計算：（1）（2）15．（2021·重慶市綦江中學(xué)八年級月考）計算：（1）；（2）．16.（2021·山西晉中市·八年級期末）計算：（1）（2）17．（2021·山西晉中市·八年級期末）計算：（1）（）（）+（）2．（2）﹣（+）×．18．（2020·浙江八年級期中）計算：（1）（2）19．（2021·重慶市永川萱花中學(xué)校八年級月考）計算（1）(＋)－(－)（2）（3）（4）20．（2018·遼寧本溪市·八年級期末）觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題：例1：例2：，，…（1）=；（2）請你用含n(n為正整數(shù))的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律；（3）利用上面的規(guī)律，求下面式子的值：【易錯點4二次根式的分母有理化】（2020·廣東佛山市·平洲一中八年級月考）閱讀下列運算過程，并完成各小題：；．?dāng)?shù)學(xué)上把這種將分母中的根號去掉的過程稱作“分母有理化”，如果分母不是一個無理數(shù)，而是兩個無理數(shù)的和或差，此時也可以進(jìn)行分母有理化，如：；模仿上例完成下列各小題：（1）______；（2）_______（3）請根據(jù)你得到的規(guī)律計算下題：（為正整數(shù)）．【變式訓(xùn)練】1．（2021·全國八年級）已知a＝，b＝．（1）求a2﹣b2的值；（2）求a2﹣ab+b2．2．（2020·忠縣烏楊初級中學(xué)校八年級月考）閱讀下面的問題：；；試求：(1)；(2)3．（2020·重慶涪陵區(qū)·八年級期末）閱讀材料：黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合壁，天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，團(tuán)結(jié)一致、優(yōu)勢互補(bǔ)、取長補(bǔ)短、威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”．如：（+3）（﹣3）＝﹣4，像（+3）和（﹣3）這樣的兩個二次根式，它們的積不含根號，我們就稱這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式．再如（）與（）也互為有理化因式．于是，下面二次根式除法可以這樣運算：＝＝7+4．像這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去的過程叫分母有理化．解決問題：（1）2+3的一個有理化因式是，分母有理化結(jié)果是；（2）計算：+．4．（2020·四川省宜賓市第二中學(xué)校九年級月考）閱讀下列簡化過程：；；；……解答下列問題：（1）請用n（n為正整數(shù)）表示化簡過程規(guī)律________；（2）計算；（3）設(shè)，，，比較a，b，c的大小關(guān)系．5．（2020·山東濟(jì)南市·八年級期中）[閱讀材料]把分母中的根號化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過過程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同時乘以同一個不等于0的數(shù)，以達(dá)到化去分母中根號的目的．例如：化簡．解：＝＝﹣．[理解應(yīng)用]（1）化簡：；（2）若a是的小數(shù)部分，化簡；（3）化簡：++…+．6．（2020·河南洛陽市·九年級月考）閱讀下面的材料，并解決問題．﹣1；；…（1）觀察上式并填空：＝．（2）觀察上述規(guī)律并猜想：當(dāng)n是正整數(shù)時，．（用含n的式子表示，不用說明理由）（3）請利用（2）的結(jié)論計算：①＝；②．7．（2021·全國八年級）閱讀下列解題過程：＝＝；＝＝；＝＝＝2﹣；…則：（1）＝；＝；（2）觀察上面的解題過程，請直接寫出式子＝；（3）利用上面的規(guī)律：比較﹣與﹣的大?。?．（2021·全國八年級）把二次根式的分母中的根號去掉，叫做二次根式的分母有理化．例如：．（1）請仿照例題將分母有理化；（2）直接寫出________．（3）化簡……________（寫出解答過程）．9．（2021·全國八年級）觀察下列運算過程：，．（1）請運用上面的運算方法計算：；（2）利用上面的規(guī)律，比較與的大?。?0．（2021·全國八年級）先閱讀，后解答：，像上述解題過程中，與相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個式子稱為互為有理化因式，上述解題過程也稱為分母有理化．（1）的有理化因式是________；的有理化因式是________．（2）將下列式子進(jìn)行分母有理化：①________；②________．（3）計算：．11．（2020·重慶市第一一〇中學(xué)校八年級期中）觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題：化簡：，則，，（1）請直接寫出下列式子的值：；．（2）請利用材料給出的結(jié)論，計算：的值；（3）請利用材料提供的方法，計算的值．12．（2021·湖北十堰市·八年級期末）（1）觀察探究：①；②；③．（2）嘗試練習(xí)：（仿照上面化簡過程，寫出①的化簡過程，直接寫出②化簡結(jié)果）①，②；（3）拓展應(yīng)用：①化簡：；②計算的值．【易錯點5二次根式的規(guī)律探究】觀察下列各式：①＝2；②＝3；③＝4．（1）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：④＝；⑤＝（2）請你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n（n≥2，n為自然數(shù)）的等式表示出來并證明你的猜想．【變式訓(xùn)練】1．在學(xué)習(xí)二次根式時，思思同學(xué)發(fā)現(xiàn)一個這樣的規(guī)律；；（1）假設(shè)說思發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是正確的，請你寫出后面連續(xù)的兩個等式；（2）用字母表示思思發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（3）請你給出這個結(jié)論的一般性的證明．2．觀察下列各式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：=2；=3；=4…（1）填空：=____，=___；（2