第六章概率§4二項(xiàng)分布與超幾何分布4.1二項(xiàng)分布課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.甲、乙兩人各進(jìn)行1次射擊,假如兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.7,則其中恰有1人擊中目標(biāo)的概率是()A.0.49 B.0.42 C.0.7 D.0.91答案B解析兩人中恰有一人擊中目標(biāo)的概率為C21×0.7×0.3=02.設(shè)隨機(jī)變量ξ聽從二項(xiàng)分布ξ~B6,12,則P(ξ≤3)等于()A.1132 BC.2132答案C解析P(ξ≤3)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=C60×126+C61×126+C62×126+C63×3.設(shè)二項(xiàng)分布X~B(n,p)的隨機(jī)變量X的均值與方差分別是2.4和1.44,則二項(xiàng)分布的參數(shù)n,p的值為()A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1答案B解析由題意得,np=2.4,np(1-p)=1.44,∴1-p=0.6,∴p=0.4,n=6.4.設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)=Cnk23k×13n-k,k=0,1,2,…,n,且Eξ=24,則Dξ的值為(A.8 B.12 C.29 D答案A解析由題意可知ξ~Bn,23,∴23n=Eξ=∴Dξ=n×23×1-23=24×15.甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球競(jìng)賽,競(jìng)賽實(shí)行五局三勝制,無(wú)論哪一方先勝三局則競(jìng)賽結(jié)束,且每贏一局得1分,假定甲每局競(jìng)賽獲勝的概率均為23,則甲以3∶1的比分獲勝的概率為(A.827 B.6481答案A解析當(dāng)甲以3∶1的比分獲勝時(shí),說(shuō)明甲乙兩人在前三局競(jìng)賽中,甲只贏了兩局,乙贏了一局,第四局甲贏,所以甲以3∶1的比分獲勝的概率為P=C322321-23×23=3×6.下列說(shuō)法正確的是.

①某同學(xué)投籃的命中率為0.6,他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,且X~B(10,0.6);②某種彩票的中獎(jiǎng)概率為p,某人一次買了8張,中獎(jiǎng)張數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,且X~B(8,p);③從裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球?yàn)橹?則摸球次數(shù)X是隨機(jī)變量,且X~Bn,12.答案①②解析①②明顯滿意n重伯努利試驗(yàn)的條件,而③雖然是有放回地摸球,但隨機(jī)變量X的定義是直到摸出白球?yàn)橹?也就是說(shuō)前面摸出的肯定是紅球,最終一次是白球,是否進(jìn)行下一次試驗(yàn)與上次試驗(yàn)結(jié)果有關(guān),不符合二項(xiàng)分布的定義.7.設(shè)X~B(2,p),若P(X≥1)=59,則p=.答案1解析∵X~B(2,p),∴P(X=k)=C2kpk(1-p)2-k,k=∴P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-C20p0(1-p)2=1-(1-p)2,∴1-(1-p)2結(jié)合0≤p≤1,解得p=18.有n位同學(xué)參與某項(xiàng)選拔測(cè)試,每位同學(xué)能通過(guò)測(cè)試的概率都是p(0<p<1),假設(shè)每位同學(xué)能否通過(guò)測(cè)試是相互獨(dú)立的,則至少有一位同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為.

答案1-(1-p)n解析全部同學(xué)都不通過(guò)的概率為(1-p)n,故至少有一位同學(xué)通過(guò)的概率為1-(1-p)n.9.現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學(xué)從中任取3道題解答.已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題,設(shè)張同學(xué)答對(duì)每道甲類題的概率都是35,答對(duì)每道乙類題的概率都是45,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.用X表示張同學(xué)答對(duì)題的個(gè)數(shù),求X解隨機(jī)變量X的全部可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=C20×350×252×P(X=1)=C21×351×251×15+C20×350P(X=2)=C22×352×250×15+C21×351P(X=3)=C22×352×250所以X的分布列為X0123P428573610.一款擊鼓小嬉戲的規(guī)則如下:每盤嬉戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè),要么不出現(xiàn)音樂(lè);每盤嬉戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分,出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分,沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為12,且各次擊鼓是否出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立(1)設(shè)每盤嬉戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列.(2)玩三盤嬉戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少?解(1)X可能的取值為10,20,100,-200.依據(jù)題意,有P(X=10)=C31×121×1-122=3P(X=20)=C32×122×1-121=3P(X=100)=C33×123×1-120=1P(X=-200)=C30×120×1-123=所以X的分布列為X1020100-200P3311(2)設(shè)“第i盤嬉戲沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)”為事務(wù)Ai(i=1,2,3),則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=1所以“三盤嬉戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)”的概率為1-P(A1A2A3)=1-183=1-1512因此,玩三盤嬉戲至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是511等級(jí)考提升練11.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球競(jìng)賽,競(jìng)賽規(guī)則為“3局2勝”,即以先贏2局者為勝,依據(jù)閱歷,每局競(jìng)賽中甲獲勝的概率為0.6,則本次競(jìng)賽甲獲勝的概率是()A.0.216 B.0.36 C.0.432 D.0.648答案D解析甲獲勝有兩種狀況,一是甲以2∶0獲勝,此時(shí)P1=0.62=0.36;二是甲以2∶1獲勝,此時(shí)P2=C21×0.6×0.4×0.6=0.288,故甲獲勝的概率P=P1+P2=012.位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng):質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位;移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?并且向上和向右的概率都是12,則質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)5次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是(A.125 B.C52C.C51125答案B解析點(diǎn)P移動(dòng)5次后位于點(diǎn)(2,3),需在5次移動(dòng)中,向右2次,向上3次.所以P=C52122123=C521213.擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子n次,設(shè)出現(xiàn)k次點(diǎn)數(shù)為1的概率為Pn(k),若n=20,則當(dāng)Pn(k)取最大值時(shí),k為()A.3 B.4 C.8 D.10答案A解析擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子20次,其中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1的次數(shù)為X,X~B20,16,Pn(k)=C20k×5620-k×16kPn(k)當(dāng)1≤k≤3時(shí),1521k-1>1,Pn(k)>Pn(k-當(dāng)k≥4時(shí),1521k-1<1,Pn(k)<Pn(k-1).因此k=3時(shí),Pn(k)取最大值.故選14.某同學(xué)通過(guò)英語(yǔ)聽力測(cè)試的概率為12,他連續(xù)測(cè)試n次,要保證他至少有一次通過(guò)的概率大于0.9,那么n的最小值是(A.3 B.4 C.5 D.6答案B解析由題意可得,1-Cn01-12n>0.9,即12n<0.1,所以n≥4,故選B.15.(多選題)某城鎮(zhèn)小汽車的家庭普及率為75%,即平均每100個(gè)家庭有75個(gè)家庭擁有小汽車,若從該城鎮(zhèn)中隨意選出5個(gè)家庭,則下列結(jié)論成立的是()A.這5個(gè)家庭均有小汽車的概率為243B.這5個(gè)家庭中,恰有三個(gè)家庭擁有小汽車的概率為27C.這5個(gè)家庭平均有3.75個(gè)家庭擁有小汽車D.這5個(gè)家庭中,四個(gè)家庭以上(含四個(gè)家庭)擁有小汽車的概率為81答案ACD解析由題得小汽車的普及率為34.A.這5個(gè)家庭均有小汽車的概率為345=2431024,故A成立;B.這5個(gè)家庭中,恰有三個(gè)家庭擁有小汽車的概率為C53343142=135512,故B不成立;C.這5個(gè)家庭平均有3.75個(gè)家庭擁有小汽車,故C成立;D.這5個(gè)家庭中,四個(gè)家庭以上(含四個(gè)家庭)擁有小汽車的概率為C5434414+3416.設(shè)隨機(jī)變量ξ~B(2,p),η~B(3,p),若P(ξ≥1)=34,則P(η≥1)=.答案7解析P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)2=34,又0≤p≤1,所以p=12,所以P(η≥1)=1-P(η=0)=1-(1-p)317.一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成,每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,每個(gè)答案選擇正確得4分,不作出選擇或選錯(cuò)不得分,滿分100分,某學(xué)生選對(duì)任一題的概率為0.6,則此學(xué)生在這一次測(cè)驗(yàn)中的成果的均值與方差分別為、.

答案6096解析設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中選對(duì)答案的題目的個(gè)數(shù)為X,所得的分?jǐn)?shù)(成果)為Y,則Y=4X.由題知X~B(25,0.6),所以EX=25×0.6=15,DX=25×0.6×0.4=6,EY=E(4X)=4EX=60,DY=D(4X)=42×DX=16×6=96,所以該學(xué)生在這次測(cè)驗(yàn)中的成果的均值與方差分別是60與96.18.某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)供應(yīng)財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn),以提高下崗人員的再就業(yè)實(shí)力,每名下崗人員可以選擇參與一項(xiàng)培訓(xùn)、參與兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參與培訓(xùn),已知參與過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的占60%,參與過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的占75%,假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的,且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響.(1)任選1名下崗人員,求該人參與過(guò)培訓(xùn)的概率;(2)任選3名下崗人員,記ξ為3人中參與過(guò)培訓(xùn)的人數(shù),求ξ的分布列.解(1)任選1名下崗人員,記“該人參與過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事務(wù)A,“該人參與過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事務(wù)B,則事務(wù)A與B相互獨(dú)立,且P(A)=0.6,P(B)=0.75.所以,該下崗人員沒(méi)有參與過(guò)培訓(xùn)的概率是P(AB)=P(A)·P(B)=(1-0.6)×(1-0.75)=0.1所以該人參與過(guò)培訓(xùn)的概率為1-0.1=0.9.(2)因?yàn)槊總€(gè)人的選擇是相互獨(dú)立的,所以3人中參與過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)ξ聽從二項(xiàng)分布ξ~B(3,0.9),P(ξ=k)=C3k0.9k×0.13-k,所以ξ的分布列是ξ0123P0.0010.0270.2430.729新情境創(chuàng)新練19.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員參與乒乓球單打競(jìng)賽,競(jìng)賽采納7局4勝制(即先勝4局者獲勝,競(jìng)賽結(jié)束),假設(shè)兩人在每一局競(jìng)賽中獲勝的概率相等.(1)求乙以4比1獲勝的概率;(2)求甲獲勝且競(jìng)賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率.解(1)由已知,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局競(jìng)賽中獲勝的概率都是12,記“乙以4比1獲勝