學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精整合提升知識網(wǎng)絡(luò)典例精講直線與圓的位置關(guān)系是初等幾何的核心，通過本章學(xué)習(xí)進一步熟悉并應(yīng)用分類思想、運動變化思想和猜想與證明的數(shù)學(xué)思想方法。本講有四類問題，一是與圓有關(guān)角的計算與證明，二是圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)與判定，三是切線的性質(zhì)與判定,四是與圓有關(guān)線段的計算與證明.【例1】如圖2—1，EB、EC是⊙O的兩條切線,B、C是切點,A、D是⊙O上兩點,如果∠E=46°，∠DCF=32°，則∠A的度數(shù)是______________。圖2—1思路分析:要求∠A,可轉(zhuǎn)化為求∠BCD。由已知∠DCF的度數(shù),想到先求∠ECB的度數(shù),從而注意到題目所給的EB、EC為切線，將∠ECB與∠E的度數(shù)聯(lián)系起來.解法一：∵EB、EC是⊙O的切線,∴EC=EB.又∠E=46°，∴∠ECB==67°?！摺螪CF=32°,∴∠BCD=180°—67°-32°=81°?！摺螦+∠BCD=180°,∴∠A=180°—81°=99°.溫馨提示本解法借助切線長定理和圓內(nèi)接四邊形的有關(guān)性質(zhì),此題還可借助于弦切角定理來求。解法二:連結(jié)AC,∵EB、EC是⊙O切線，圖2—2∴EB=EC?！唷螮CB==67°.∵EF切⊙O于點C,∴∠BAC=∠ECB=67°，∠CAD=∠DCF=32°?！唷螧AD=∠BAC+∠DAC=67°+32°=99°。答案：99°【例2】如圖2—3，D、E是△ABC的BC、AC兩邊上兩點，且∠ADB=∠AEB.求證:∠CED=∠ABC。圖2-3思路分析：要證∠CED=∠ABC，容易想到圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)。而證A、B、D、E四點共圓，用圓內(nèi)接四邊形判定定理不易找到條件,我們采用分類討論思想.證明：作△ABE的外接圓⊙O,則點D與⊙O有三種位置關(guān)系：①點D在圓外;②點D在圓內(nèi);③點D在圓上.（1）如果點D在圓外,設(shè)BD與⊙O交于點F,連結(jié)AF，則∠AFB=∠AEB，而∠AEB=∠ADB.∴∠AFB=∠ADB。這與“三角形的外角大于任一不相鄰的內(nèi)角”矛盾。故點D不能在圓外.(2)如果點D在圓內(nèi)，設(shè)⊙O與CD交于F，連結(jié)AF，則∠AFB=∠AEB.又∵∠AEB=∠ADB，∴∠AFB=∠ADB。這也與“三角形的外角大于任一不相鄰的內(nèi)角”矛盾。故點D不可能在圓內(nèi).綜上所求，A、B、D、E在同一圓上.∴∠CED=∠ABC。溫馨提示通過證四點共圓，然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是本題的一個特色,四點共圓的證明除了圓內(nèi)接四邊形的判定定理及推論外,定理本身的證明方法就是一種有效的證法.證法中分類討論思想是該證法的精髓,以反證法和圓周角定理作為輔助手段.【例3】如圖2-4,已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=13，AB=5,O是AB上的點,以O(shè)為圓心,OB為半徑作⊙O.（1）當(dāng)OB=2.5時，⊙O交AC于點D,求CD的長.(2）當(dāng)OB=2。4時，AC與⊙O的位置關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論。圖2-4思路分析：求CD的長容易想到利用圓冪定理。其中AC已知,只需求BC并證BC為切線即可.解:(1）在Rt△ABC中，BC==12.∵∠B=90°,OB為半徑,∴BC是⊙O切線.又AB=5,OB=2。5,∴OA=2。5，即A在圓上.由切割線定理,得BC2=CD·AC?！郈D=.(2)當(dāng)OB=2.4時,AC是⊙O的切線,如圖2-5.圖2-5證明:過O作OM⊥AC于M，則△AOM∽△ACB?！?∴OM=2.4，即點O到AC的距離等于⊙O的半徑。∴AC切⊙O于點M?！纠?】如圖2—6，已知P是直徑AB延長線上的一點,割線PCD交⊙O于C、D兩點，弦DF⊥AB于點H，CF交AB于點E。（1)求證：PA·PB=PO·PE；(2)若DE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半徑為2,求CF的長.圖2—6思路分析：由PA·PB立刻想起割線定理.只需證PC·PD=PO·PE。(1)證明：連結(jié)OD?！逥F⊥AB,∴=。又∠AOD度數(shù)等于度數(shù)的一半,∠DCF度數(shù)等于度數(shù)的一半,∴∠AOD=∠DCF.∴180°—∠AOD=180°-∠DCF.∴∠POD=∠PCE，∠P為公共角.∴△PCE∽△POD?！?∴PC·PD=PO·PE。由割線定理PC·PD=PA·PB，∴PA·PB=PO·PE。(2）解析:∵AB⊥DF,∴DE=EF.∵DE⊥CF,∴△DEF為等腰直角三角形.∴∠F=∠FEH=∠HDE=45°?！摺螾=15°,∴∠DCF=∠P+∠CEP=15°+45°=60°.∴∠DOH=60°。在Rt△ODH中,DH=OD·sin∠DOH=2·sin60°=.在Rt△DHE中,DE=.在Rt△CDE中，∠DCE=60°，∴EC=DE·cot60°=?！郈F=EF+CE=.溫馨提示在圓中證明線段的關(guān)系式首要考慮的是圓冪定理,結(jié)合相似三角形進行等比代換或等線代換;圓中角的關(guān)系，則往往利用圓周角、弦切角、圓心角與弧的關(guān)系轉(zhuǎn)化.【例5】如圖2-7，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，=,E為CB延長線BM上的動點,當(dāng)E點運動到某一位置滿足一定條件時，就有AB·DA=BE·CD成立,問該結(jié)論成立的條件是什么?請注明條件并給予證明.圖2-7思路分析：若AB·DA=BE·CD成立，則需成立,考慮利用△ABE與△ACD相似,其中∠ABE=∠D,∠ACD=∠ACB，只需∠EAB=∠ACB，只要EA是⊙O切線.∴當(dāng)EA切⊙O于A時，AB·DA=BE·CD成立.證明：連結(jié)AC，∵EA切⊙O于A,∴∠EAB=∠ACB。∵AD=AB，∴∠ACB=∠ACD?！唷螮