專題7.3求數列的通項公式題型一觀察法題型二周期數列題型三累加法題型四累乘法題型五待定系數法題型六取倒數法、取對數法題型七已知求通項公式題型八已知或者求通項公式題型九因式分解型求通項題型一 觀察法例1．（2023春·高二課時練習）寫出下面數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數：(1)；(2)；(3)7，77，777，7777.例2．（2023·全國·高三專題練習）古希臘畢達哥拉斯學派的“三角形數”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成三角形數，如1，3，6，10，15.我國宋元時期數學家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數”垛（如圖所示，頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球）.若一“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛第10層球的個數為___________.

練習1．（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）下列有關數列的說法正確的是（

）A．數列1，0，，與數列，，0，1是相同的數列B．如果一個數列不是遞增數列，那么它一定是遞減數列C．數列0，2，4，6，8，…的一個通項公式為D．數列，…的一個通項公式為練習2．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）已知數列為1，，9，，25，，…，則數列的一個通項公式是（

）A． B． C． D．練習3．（2023·廣東·高三專題練習）已知無窮數列滿足，，，寫出滿足條件的的一個通項公式：___________.（不能寫成分段數列的形式）練習4．（2023春·安徽·高三巢湖市第一中學校聯(lián)考期中）傳說古代希臘的畢達哥拉斯在沙灘上研究數學問題：把叫做三角形數；把叫做正方形數，則下列各數中既是三角形數又是正方形數的是（

）A． B． C． D．練習5．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知數列，，，，，…，則該數列的第100項為（

）A． B． C． D．題型二 周期數列例3．（2023·內蒙古赤峰·?？寄M預測）若數列滿足，則（

）A．2 B． C． D．例4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學校考模擬預測）在數列中，已知，當時，是的個位數，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1練習6．（2023·全國·模擬預測）已知首項為的數列的前項和為，若，則（

）A． B．1 C． D．練習7．（2023春·遼寧·高三遼寧實驗中學?？茧A段練習）數列滿足：，，，記數列的前n項和為，則______．練習8．（2023·全國·高二專題練習）洛卡斯是十九世紀法國數學家，他以研究斐波那契數列而著名.洛卡斯數列就是以他的名字命名，洛卡斯數列為：、、、、、、、、、、，即，，且.則洛卡斯數列的第項除以的余數是（

）A． B． C． D．練習9．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則_______.練習10．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）數列中，，則（

）A． B． C．2 D．4題型三 累加法例5．（2023·全國·高三專題練習）在數列中，已知，，求通項公式．例6．（2023·全國·高三專題練習）設數列滿足，.求的通項公式.練習11．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預測）已知數列滿足：，，數列是以4為公差的等差數列．(1)求數列的通項公式；(2)記數列的前n項和為，求的值．練習12．（2023·全國·高三專題練習）古希臘著名科學家畢達哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…這些數量的（石子），排成一個個如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個石子，像這樣的數稱為三角形數.那么把三角形數從小到大排列，第11個三角形數是______.練習13．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獢盗袧M足，，則數列的通項公式為______．練習14．（2023春·江蘇南京·高三南京大學附屬中學?？茧A段練習）在數列中，，.(1)證明：數列是等比數列；(2)求數列的前n項和.練習15．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）已知數列的各項均不為零，且滿足，（，），則的通項公式__________．題型四 累乘法例7．（2023·全國·高二專題練習）已知數列滿足，，則的通項公式為___________．例8．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足．(1)若，求的通項公式．(2)若，求的通項公式．練習16．（2022秋·重慶北碚·高三重慶市兼善中學校考階段練習）已知數列的前項和為，．(1)求，；(2)求數列的通項公式．練習17．（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，，則______，______．練習18．（2023·全國·模擬預測）已知正項數列中，，，，則______，______．練習19．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學?？级＃┮阎獢盗袧M足：.(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和.練習20．（2023·山東·沂水縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知數列的前項和為，，．(1)求數列的通項公式；(2)證明：．題型五 待定系數法例9．（2023·全國·高三專題練習）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.求{an}的通項公式.例10．（2023·全國·高三專題練習）已知數列是首項為.(1)求通項公式；(2)求數列的前項和.練習21．（2023·全國·高三專題練習）數列{an}滿足，，則數列{an}的通項公式為___________.練習22．（2023·全國·高三專題練習）已知數列中，，，則數列的通項公式為_____________.練習23．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，則數列的通項公式為_____________.練習24．（2023·全國·高三專題練習）已知數列中，且，則數列的通項公式為_____________.練習25．（2022·全國·高三專題練習）設數列滿足：，（），數列滿足：．求數列的通項公式．題型六 取倒數法、取對數法例11．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，求的通項公式.例12．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚中市第二高級中學?？寄M預測）（多選）已知數列滿足，則下列結論正確的有（）A．為等比數列B．的通項公式為C．為遞增數列D．的前n項和練習26．（2023春·高三課時練習）數列中，，，則下列結論中正確的是（）A．數列的通項公式為B．數列為等比數列C．數列為等比數列D．數列為等差數列練習27．（2023·全國·高三專題練習）已知為正項數列的前項的乘積，且(1)求數列的通項公式(2)令，求數列的前項和.練習28．（2022秋·湖南婁底·高三湖南省新化縣第一中學?？计谀ǘ噙x）已知數列滿足，，則下列結論中錯誤的有（

）A．為等比數列 B．的通項公式為C．為遞增數列 D．的前項和為練習29．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知數列中，，.(1)求數列的通項公式；(2)求證：數列的前n項和.練習30．（2023春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知各項均為正數的數列滿足，，，．(1)當時，求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．題型七 已知求通項公式例13．（2023·全國·高三專題練習）記數列的前項和為，若，且，則__________.例14．（2023·內蒙古赤峰·校考模擬預測）已知數列的前n項和為，且(1)求證：數列是等差數列；(2)設求數列的前n項和.練習31．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）設數列的前項和為，數列是首項為1，公差為1的等差數列，(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.練習32．（2023·天津河西·天津市新華中學校考模擬預測）已知數列滿足．(1)求數列的通項公式；(2)求；(3)若，求數列前項和．練習33．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足．(1)證明：是一個等差數列；(2)已知，求數列的前項和．練習34．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）設數列的前項和為，已知，是公差為2的等差數列.(1)求的通項公式；(2)設，數列前項和，證明：.練習35．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）已知數列的前n項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和.題型八 已知或者求通項公式例15．（2023·四川涼山·三模）數列的前n項和為，若，，則______．例16．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習）設數列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和.練習36．（2023·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預測）已知在數列中，，，則_____.練習37．（2023·全國·長郡中學校聯(lián)考二模）已知正項數列的前項和為，且，（且）.(1)求數列的通項公式；(2)設數列的前項和為，求證：.練習38．（2023·云南·校聯(lián)考二模）正項數列的前n項和為，已知．(1)求證：數列為等差數列，并求出，；(2)若，求數列的前2023項和．練習39．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前項和為，，，設（表示不超過的最大整數），則數列的前2023項和（

）A． B． C． D．練習40．（2023·全國·高三專題練習）記數列的前n項和為，已知，，則______題型九 因式分解型求通項例17．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）設正項數列的前n項和為，已知，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前n項和.例18．（2023春·江蘇南京·高三江蘇省溧水高級中學?？计谥校┱棓盗械那昂蜑椋遥?1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.練習41．（2023·全國·高二專題練習）已知數列各項均為正數且滿足，數列滿足，且．求的通項公式.練習42．（河南省部分重點中學2022-2023學年高三下學期5月質量檢測數學試題）已知遞增數列滿足．(1)求；(2)設數列滿足，求的前項和．練習43．（2023·四川成都·成都七中校考模擬預測）在數列中，，且遞增，則___________．練習44．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數列滿足.求的通項公式；練習45．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？家荒＃┮阎龜禂盗校?，且滿足．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和．專題7.3求數列的通項公式題型一觀察法題型二周期數列題型三累加法題型四累乘法題型五待定系數法題型六取倒數法、取對數法題型七已知求通項公式題型八已知或者求通項公式題型九因式分解型求通項題型一 觀察法例1．（2023春·高二課時練習）寫出下面數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數：(1)；(2)；(3)7，77，777，7777.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）各項分母分別為，第1,2,3,4項分子分別比分母少了3，得到通項公式.（2）數列的前4項的分母都是比序號大1的數，分子都是比序號大1的數的平方減1，得到通項公式.（3）數列的前4項可以變?yōu)?，，，，得到通項公?【詳解】（1）各項分母分別為，第1,2,3,4項分子分別比分母少了3，則原數列可化為，，，，故它的一個通項公式為，.（2）這個數列的前4項的分母都是比序號大1的數，分子都是比序號大1的數的平方減1，所以它的一個通項公式為，.（3）這個數列的前4項可以變?yōu)?，，，，即，，，，所以它的一個通項公式為，.例2．（2023·全國·高三專題練習）古希臘畢達哥拉斯學派的“三角形數”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成三角形數，如1，3，6，10，15.我國宋元時期數學家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數”垛（如圖所示，頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球）.若一“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛第10層球的個數為___________.

【答案】55【分析】根據給定條件歸納總結出“三角形數”的通項公式即可求出第10層球的個數.【詳解】設“落一形”三角錐垛從頂上一層開始，依次往下的各層球的個數形成數列，，，，，，…，由此得，即，則，∴堆垛第10層球的個數為55.故答案為：55.練習1．（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）下列有關數列的說法正確的是（

）A．數列1，0，，與數列，，0，1是相同的數列B．如果一個數列不是遞增數列，那么它一定是遞減數列C．數列0，2，4，6，8，…的一個通項公式為D．數列，…的一個通項公式為【答案】D【分析】根據數列的定義和表示方法，逐一判斷，即可得到本題答案.【詳解】對于選項A，數列1，0，-1，-2與數列-2，-1，0，1中的數字排列順序不同，不是同一個數列，故A錯誤；對于選項B，常數數列既不是遞增數列，也不是遞減數列，故B錯誤；對于選項C，當時，，故C錯誤；對于選項D，因為，…，所以數列的一個通項公式為，故D正確.故選：D練習2．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）已知數列為1，，9，，25，，…，則數列的一個通項公式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據觀察法，即可求解.【詳解】由題意知，數列：1，4，9，16，25，的通項公式為，所以數列：的通項公式為.故選：B.練習3．（2023·廣東·高三專題練習）已知無窮數列滿足，，，寫出滿足條件的的一個通項公式：___________.（不能寫成分段數列的形式）【答案】（答案不唯一）【分析】根據，，，利用不完全歸納法可得答案.【詳解】由，，，猜想.故答案為：.（答案不唯一）練習4．（2023春·安徽·高三巢湖市第一中學校聯(lián)考期中）傳說古代希臘的畢達哥拉斯在沙灘上研究數學問題：把叫做三角形數；把叫做正方形數，則下列各數中既是三角形數又是正方形數的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別寫出三角形數和正方形數的通項公式，根據通項公式可得答案.【詳解】三角形數：，可得其通項公式為；正方形數：，可得其通項公式為，均無正整數解，且，所以，，是正方形數不是三角形數，又，既是三角形數，又是正方形數.故選：A.練習5．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知數列，，，，，…，則該數列的第100項為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡數列，得出數列的第項為，進而求得第項的值，得到答案.【詳解】由數列，可化為數列，可得數列的第項為，所以第項為.故選：C.題型二 周期數列例3．（2023·內蒙古赤峰·校考模擬預測）若數列滿足，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用數列的周期性即可求得的值.【詳解】因為，所以.又因為，所以，所以是周期為4的數列，故.故選：B例4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學?？寄M預測）在數列中，已知，當時，是的個位數，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】由題意，列出數列的前若干項，分析出數列變化規(guī)律，進而得出答案.【詳解】因為，當時，是的個位數，所以，，，，，，，，，，可知數列中，從第3項開始有，即當時，的值以6為周期呈周期性變化，又，故.故選：C.練習6．（2023·全國·模擬預測）已知首項為的數列的前項和為，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據題意，由遞推關系可知數列的周期為4，即可得到結果.【詳解】依題意，，則；而，則，故數列的周期為4．又，則.故選：D．練習7．（2023春·遼寧·高三遼寧實驗中學?？茧A段練習）數列滿足：，，，記數列的前n項和為，則______．【答案】【分析】根據遞推公式得到為周期數列，最小正周期為8，且，從而求出.【詳解】因為，，，所以，，，，，，，，，……，故為周期數列，最小正周期為8，且，所以.故答案為：練習8．（2023·全國·高二專題練習）洛卡斯是十九世紀法國數學家，他以研究斐波那契數列而著名.洛卡斯數列就是以他的名字命名，洛卡斯數列為：、、、、、、、、、、，即，，且.則洛卡斯數列的第項除以的余數是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設數列各項除以所得余數所形成的數列為，從而可知數列是以為周期的周期數列，從而可解.【詳解】設數列各項除以所得余數所形成的數列為，則數列為：、、、、、、、、、、，由上可知，數列是以為周期的周期數列，即對任意的，，因為，所以.故選：D.練習9．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則_______.【答案】2【分析】先求不動點方程，根據方程無解再逐項計算根據周期求解即可.【詳解】第一步，求不動點，設，令得：，化簡得：，顯然該方程無解，這種情況下一般是周期不大的周期數列，我們只需算出前幾項，找出規(guī)律即可，由題意，，所以，，，，，，從而是以6為周期的周期數列，故.故答案為：2.練習10．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）數列中，，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據題意，分別求得，即可得到數列的周期，從而得到結果.【詳解】因為，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，令，則，求得，，所以數列的周期為，則.故選：C題型三 累加法例5．（2023·全國·高三專題練習）在數列中，已知，，求通項公式．【答案】【解析】由題意可得，所以．例6．（2023·全國·高三專題練習）設數列滿足，.求的通項公式.【答案】【詳解】=.練習11．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預測）已知數列滿足：，，數列是以4為公差的等差數列．(1)求數列的通項公式；(2)記數列的前n項和為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件求數列的通項，再用累加法求數列的通項公式；（2）由數列的通項，利用裂項相消法求前n項和為.【詳解】（1）根據題意可得，

則；又符合上式，所以；（2）∵，

∴.練習12．（2023·全國·高三專題練習）古希臘著名科學家畢達哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…這些數量的（石子），排成一個個如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個石子，像這樣的數稱為三角形數.那么把三角形數從小到大排列，第11個三角形數是______.【答案】66【分析】根據題意，得到，，進而利用累加法求得，由此得解.【詳解】依題意，設三角形數按從小到大排列構成數列，則，，所以，上式相加得，所以，則第11個三角形數是.故答案為：66.練習13．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獢盗袧M足，，則數列的通項公式為______．【答案】【分析】對已知遞推關系的等式兩邊同時除以，利用累加法，結合裂項求和法即可求得結果.【詳解】，兩邊同除得：，所以，即，化簡得，∵，∴．故答案為：.練習14．（2023春·江蘇南京·高三南京大學附屬中學校考階段練習）在數列中，，.(1)證明：數列是等比數列；(2)求數列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由得，然后利用累加法求出即可得證；（2），利用分組求和法和錯位相減法可得答案.【詳解】（1）由得，∴，，??，，∴，∴，，,∴數列是等比數列；（2）由（1）可得，∴，令，①∴，②錯位相減，②﹣①，得：，∴.練習15．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）已知數列的各項均不為零，且滿足，（，），則的通項公式__________．【答案】【分析】變換得到，設，得到，利用累加法計算得到答案.【詳解】，則，設，，則，，而也符合該式，故，故.故答案為：題型四 累乘法例7．（2023·全國·高二專題練習）已知數列滿足，，則的通項公式為___________．【答案】【分析】根據累乘法求出當時的通項公式，并驗證也滿足，從而得到的通項公式.【詳解】因為數列滿足，，則，所以，當時，，也滿足，所以，對任意的，．故答案為：例8．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足．(1)若，求的通項公式．(2)若，求的通項公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據累乘法即可求解；（2）根據累加法即可求解.【詳解】（1）由題意可得．（2）由題可得．練習16．（2022秋·重慶北碚·高三重慶市兼善中學?？茧A段練習）已知數列的前項和為，．(1)求，；(2)求數列的通項公式．【答案】(1)；(2)【分析】（1）將，分別代入中即可求得，；（2）利用得出數列的遞推關系，再由累乘法求得通項公式，要注意的驗證．【詳解】（1）依題意有，得，又，得；（2）因為，所以當時，，兩式相減得，化簡得，所以，又滿足上式，所以．練習17．（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，，則______，______．【答案】【分析】設，，得到，利用累乘法求出，結合，求出，，裂項相消法求和得到答案.【詳解】設，，∴，∴，故，，∴，，以上個式子相乘得：，，又因為，所以，∴，，∴，，，，∴．故答案為：，．練習18．（2023·全國·模擬預測）已知正項數列中，，，，則______，______．【答案】2【分析】先根據已知遞推關系式列方程組，求得的值，然后將已知遞推關系式化簡、變形，得到數列是首項為，公比為2的等比數列，進而得到，最后利用累乘法求得．【詳解】由，得，消去，得，則．由，得，又，所以數列是首項為，公比為2的等比數列，所以，所以當時，，經檢驗當時上式也成立，所以．故答案為：；.練習19．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學校考二模）已知數列滿足：.(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）運用累乘法計算；（2）運用裂項相消法求和.【詳解】（1）由題意：

，，，，將代入上式也成立，；（2），.練習20．（2023·山東·沂水縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知數列的前項和為，，．(1)求數列的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）解法一：由已知等式變形可得，計算出的值，再利用累乘法可求得數列的通項公式；解法二：由已知條件計算出的值，推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，即可求得數列的通項公式，進而可求得數列的通項公式；（2）利用錯位相減法求出，進而可證得結論成立.【詳解】（1）解：解法一：由題①，，即②，由①②得，由得，所以當時，，也滿足，所以數列的通項公式為；解法二：由題，①，，即②，由①②得，由，得，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，，所以數列的通項公式為．（2）證明：由（1）知，所以，兩式作差得，所以.題型五 待定系數法例9．（2023·全國·高三專題練習）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.求{an}的通項公式.【答案】【分析】此題的基本方法是由an+1=3an+1，構造新數列是一個首項為，公比為3的等比數列，從而求得.這種構造新數列的方法有時往往不能理解為何要這樣配湊，于是也就僅限于依葫蘆畫瓢而已，其實此類型問題可采用迭代法求解.【詳解】.例10．（2023·全國·高三專題練習）已知數列是首項為.(1)求通項公式；(2)求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設，解得，得到是首項為，公比為的等比數列，得到通項公式.（2）確定，再利用分組求和結合等差等比數列求和公式計算得到答案.【詳解】（1），設，即，即，解得，，故是首項為，公比為的等比數列.，故.（2），則.練習21．（2023·全國·高三專題練習）數列{an}滿足，，則數列{an}的通項公式為___________.【答案】．【分析】已知式兩邊同除以，構造一個等差數列，由等差數列的通項公式可得結論．【詳解】∵，所以，即，∴是等差數列，而，所以，所以．故答案為：．練習22．（2023·全國·高三專題練習）已知數列中，，，則數列的通項公式為_____________.【答案】【分析】依題意可得，即可得到是為首項，為公比的等比數列，從而求出數列的通項公式.【詳解】因為，設，即，根據對應項系數相等則，解得，故，所以是為首項，為公比的等比數列，所以，即.故答案為：練習23．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，則數列的通項公式為_____________.【答案】【分析】解法一：利用待定系數法可得，結合等比數列分析運算；解法二：整理得，結合等比數列分析運算；解法三：整理得，根據累加法結合等比數列求和分析運算.【詳解】解法一：設，整理得，可得，即，且，則數列是首項為，公比為的等比數列，所以，即；解法二：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，整理得，且，則數列是首項為，公比為的等比數列，所以，即；解法三：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，即，當時，則，故，顯然當時，符合上式，故.故答案為：.練習24．（2023·全國·高三專題練習）已知數列中，且，則數列的通項公式為_____________.【答案】【分析】根據題意,可得，令，則，再結合等比數列的定義求解即可.【詳解】∵，等式兩側同除，可得，令，則，∴，又，∴是以2為首項，2為公比的等比數列，∴，即，∴，即.故答案為：.練習25．（2022·全國·高三專題練習）設數列滿足：，（），數列滿足：．求數列的通項公式．【答案】．【分析】利用輔助法，對于數列的遞推公式，兩邊同時除以，根據數列構造法，可得答案.【詳解】∵，兩邊同時除以得．令，則．兩邊同時加上得．∴數列是以為首項，為公比的等比數列．∴，∴．∴．又∵，∴，題型六 取倒數法、取對數法例11．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，求的通項公式.【答案】【分析】兩邊取對數得，根據等比數列的通項公式求解，解方程即可得解.【詳解】取以10為底的對數可得，即，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，即，即.例12．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚中市第二高級中學?？寄M預測）（多選）已知數列滿足，則下列結論正確的有（）A．為等比數列B．的通項公式為C．為遞增數列D．的前n項和【答案】ABD【分析】根據已知證明為定值即可判斷A；由A選項結合等比數列的通項即可判斷B；作差判斷的符號即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.【詳解】因為，所以+3，所以，又因為，所以數列是以4為首項，2為公比的等比數列，故A正確；，即，故B正確；因為，因為，所以，所以，所以為遞減數列，故C錯誤；，則，故D正確.故選：ABD.練習26．（2023春·高三課時練習）數列中，，，則下列結論中正確的是（）A．數列的通項公式為B．數列為等比數列C．數列為等比數列D．數列為等差數列【答案】C【分析】求出數列的前3項，利用等比數列定義判斷A，B；給定等式兩邊取對數可得，判斷C，D作答.【詳解】數列中，，，則，，顯然不成等比數列，A，B都不正確；依題意，，由兩邊取對數得：，因此，數列是首項為，公比為2的等比數列，C正確，D不正確.故選：C練習27．（2023·全國·高三專題練習）已知為正項數列的前項的乘積，且(1)求數列的通項公式(2)令，求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用得的遞推關系，取對數得常數數列，從而得通項公式；（2）用錯位相減法求和．【詳解】（1）由得：當時，，兩式相除得：，即，兩邊取對數得：，亦即，故數列是常數列，，，；（2），，，，兩式相減得，．練習28．（2022秋·湖南婁底·高三湖南省新化縣第一中學?？计谀ǘ噙x）已知數列滿足，，則下列結論中錯誤的有（

）A．為等比數列 B．的通項公式為C．為遞增數列 D．的前項和為【答案】BC【分析】取倒數后由構造法得為等比數列，得通項公式后對選項逐一判定【詳解】由題意得，則，而，故是首項為，公比為的等比數列，，得，為遞減數列，故A正確，B，C錯誤，對于D，，的前項和為，故D正確，故選：BC練習29．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知數列中，，.(1)求數列的通項公式；(2)求證：數列的前n項和.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）兩邊同時取到數，構造等比數列求解即可；（2）放縮法證明不等式即可.【詳解】（1）因為，，故，所以，整理得．

又，，，所以為定值，

故數列是首項為2，公比為2的等比數列，所以，得.（2）因為，

所以．練習30．（2023春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知各項均為正數的數列滿足，，，．(1)當時，求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）推導出，計算得出，即可得出當時，數列的通項公式；（2）由（1）可求得，計算可得，利用錯位相減法可求得數列的前項和.【詳解】（1）當時，，所以，，即，所以，，所以，，即，因為，所以，當時，.（2）解：由（1）可知，當時，，則，即，所以，數列是以為首項，公比為的等比數列，所以，.故，設數列的前項和為，所以，，①則，②①②可得，因此，.題型七 已知求通項公式例13．（2023·全國·高三專題練習）記數列的前項和為，若，且，則__________.【答案】【分析】當時，由可得，兩式作差可得出，當時，求出的值，可得出，分析可知數列為等差數列，確定該數列的首項和公差，利用等差數列的求和公式可求得的值.【詳解】當時，由可得，兩式相減得，即，即.當時，，即，所以，，則，則數列是以為首項，為公差的等差數列.則.故答案為：.例14．（2023·內蒙古赤峰·校考模擬預測）已知數列的前n項和為，且(1)求證：數列是等差數列；(2)設求數列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據前n項和與通項公式之間的關系可得，再結合等差數列定義證明；（2）結合（1）中的結果，利用裂項相消法求解.【詳解】（1）當時，則；當時，則；顯然當時，也滿足上式，所以.當n≥2時，則，所以數列是首項為3，公差為2的等差數列.（2）由（1）可知，，則，可得，所以數列前n項和為.練習31．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）設數列的前項和為，數列是首項為1，公差為1的等差數列，(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等差數列求得，即，再根據與的關系采用相減法即可求得數列的通項公式；（2）由題意得，利用等比數列求和公式即可得數列的前項和.【詳解】（1）是首項為1，公差為1的等差數列，.時，也符合（2）顯然于是練習32．（2023·天津河西·天津市新華中學?？寄M預測）已知數列滿足．(1)求數列的通項公式；(2)求；(3)若，求數列前項和．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）類比題目中的和式再寫出一個把換成的和式，然后與原來的和式作差即可求出結果；（2）利用（1）的結果求出，然后利用裂項相消法即可求和；（3）利用（1）的結果求出，然后分組利用錯位相減法即可求出.【詳解】（1），當時，，即，當時，，得，即，滿足上式，數列的通項公式為；（2）由（1）得，；（3）由（1）知，數列前項和，令，

，，

，得.得，.練習33．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足．(1)證明：是一個等差數列；(2)已知，求數列的前項和．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據得到，然后兩式相減得到，最后驗證時是否成立，即可得到，進而即可證明結論；（2）分奇偶項求和，奇數項用等差數列求和公式求和，偶數項用裂項相消的方法求和，最后相加即可．【詳解】（1）當時，可得，當時，由，則，上述兩式作差可得，因為滿足，所以的通項公式為，所以，因為（常數），所以是一個等差數列．（2），所以，所以數列的前項和．練習34．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）設數列的前項和為，已知，是公差為2的等差數列.(1)求的通項公式；(2)設，數列前項和，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出，從而利用等差數列通項公式求出，再利用求出答案；（2）裂項相消法求和，并證明.【詳解】（1）因為，則，所以，可得，當時，，又因為適合上式，因此.（2）由（1）可得：，故.練習35．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）已知數列的前n項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據與的關系即可求解數列的通項公式；（2）由（1）可得，結合裂項相消求和法即可求解.【詳解】（1）①，當時，，解得.當時，②，①-②，得，所以，又，符合上式，故.（2）由（1）知，則，所以，則.題型八 已知或者求通項公式例15．（2023·四川涼山·三模）數列的前n項和為，若，，則______．【答案】【分析】由，可得當時，，兩式相減可證得數列是以1為首項，公比為2的等比數列，即可求出的通項公式.【詳解】由已知，，①，當時，，當時，②，①－②得：，整理得：，即，又符合上式，所以數列是以為首項，公比為2的等比數列，所以.故答案為：.例16．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習）設數列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據與的關系，求得數列的通項公式，即可求出的通項公式；（2）由題知，進而根據裂項求和法求解即可.【詳解】（1）因為，所以當時，，所以，即，則，當時，，解得，則，從而是首項為2，公比為2的等比數列，故，即；（2）由（1）知，所以．練習36．（2023·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預測）已知在數列中，，，則_____.【答案】【分析】將時的等式與條件中的等式做差整理可得，然后利用計算即可.【詳解】①，當時，②，①-②得，整理得，當時，，得，.故答案為：.練習37．（2023·全國·長郡中學校聯(lián)考二模）已知正項數列的前項和為，且，（且）.(1)求數列的通項公式；(2)設數列的前項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由及題意可得數列為等差數列，從而求出，從而可求出答案；（2）利用裂項相消法證明即可.【詳解】（1）∵，∴，又，∴，∴數列是以為首項，1為公差的等差數列，∴，∴，當時，，當時，，滿足上式，∴數列的通項公式為；（2）由（1）可知，，則，故，因為，故，即得證練習38．（2023·云南·校聯(lián)考二模）正項數列的前n項和為，已知．(1)求證：數列為等差數列，并求出，；(2)若，求數列的前2023項和．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）將代入遞推公式即可求出答案；（2）將通項公式代入，將展開并項求和即可得出答案.【詳解】（1）由可得，，又因為為正項數列的前n項和，所以，因為，所以，所以，數列為等差數列，所以，，，所以.（2），.練習39．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前項和為，，，設（表示不超過的最大整數），則數列的前2023項和（