專題14構建函數關系解決實際問題（分層精練）1．（2022?黔西南州）如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進過程中形成的拋物線．按照圖中所示的平面直角坐標系，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關系是y＝﹣x2+x+，則鉛球推出的水平距離OA的長是m．【答案】10【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，∴當y＝0時，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案為：10．2．（2022?南通）根據物理學規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間的函數關系是h＝﹣5t2+20t，當飛行時間t為s時，小球達到最高點．【答案】2【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴當t＝2時，h有最大值，最大值為20，故答案為：2．3．（2022?襄陽）在北京冬奧會自由式滑雪大跳臺比賽中，我國選手谷愛凌的精彩表現讓人嘆為觀止，已知谷愛凌從2m高的跳臺滑出后的運動路線是一條拋物線，設她與跳臺邊緣的水平距離為xm，與跳臺底部所在水平面的豎直高度為ym，y與x的函數關系式為y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），當她與跳臺邊緣的水平距離為m時，豎直高度達到最大值．【答案】8【解答】解：y＝x2+x+2＝﹣（x﹣8）2+4，∵﹣＜0，∴當x＝8時，y有最大值，最大值為4，∴當她與跳臺邊緣的水平距離為8m時，豎直高度達到最大值．故答案為：8．4．（2022?連云港）如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線y＝﹣0.2x2+x+2.25運行，然后準確落入籃筐內，已知籃筐的中心離地面的高度為3.05m，則他距籃筐中心的水平距離OH是m．【答案】4【解答】解：當y＝3.05時，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距籃筐中心的水平距離OH是4m．故答案為：4．5．（2022?內蒙古）某商店決定購進A、B兩種北京冬奧會紀念品．若購進A種紀念品10件，B種紀念品5件，需要1000元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品3件，需要550元．（1）求購進A、B兩種紀念品的單價；（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀念品，考慮市場需求，要求購進A種紀念品的數量不少于B種紀念品數量的6倍，且購進B種紀念品數量不少于20件，那么該商店共有幾種進貨方案？（3）若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．【解答】解：（1）設該商店購進A種紀念品每件需a元，購進B種紀念品每件需b元，由題意，得，解得，∴該商店購進A種紀念品每件需50元，購進B種紀念品每件需100元；（2）設該商店購進A種紀念品x個，購進B種紀念品y個，根據題意，得50x+100y＝10000，由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，∵y≥20，∴20≤y≤25且為正整數，∴y可取得的正整數值是20，21，22，23，24，25，與y相對應的x可取得的正整數值是160，158，156，154，152，150，∴共有6種進貨方案；（3）設總利潤為W元，則W＝20x+30y＝﹣10y+4000，∵﹣10＜0，∴W隨y的增大而減小，∴當y＝20時，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），∴當購進A種紀念品160件，B種紀念品20件時，可獲得最大利潤，最大利潤是3800元．6．（2022?廣西）打油茶是廣西少數民族特有的一種民俗．某特產公司近期銷售一種盒裝油茶，每盒的成本價為50元，經市場調研發(fā)現，該種油茶的月銷售量y（盒）與銷售單價x（元）之間的函數圖象如圖所示．（1）求y與x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當銷售單價定為多少元時，該種油茶的月銷售利潤最大？求出最大利潤．【解答】解：（1）設函數解析式為y＝kx+b，由題意得：，解得：，∴y＝﹣5x+500，當y＝0時，﹣5x+500＝0，∴x＝100，∴y與x之間的函數關系式為y＝﹣5x+500（50＜x＜100的小數位數只有一位且小數部分為偶數的數）；（2）設銷售利潤為w元，w＝（x﹣50）（﹣5x+500）＝﹣5x2+750x﹣25000＝﹣5（x﹣75）2+3125，∵拋物線開口向下，∴50＜x＜100，∴當x＝75時，w有最大值，是3125，∴當銷售單價定為75元時，該種油茶的月銷售利潤最大，最大利潤是3125元．7．（2022?河南）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求拋物線的表達式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m．身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．【解答】解：（1）由題意知，拋物線頂點為（5，3.2），設拋物線的表達式為y＝a（x﹣5）2+3.2，將（0，0.7）代入得：0.7＝25a+3.2，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣5）2+3.2＝﹣x2+x+，答：拋物線的表達式為y＝﹣x2+x+；（2）當y＝1.6時，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，∴她與爸爸的水平距離為3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），答：當她的頭頂恰好接觸到水柱時，與爸爸的水平距離是2m或6m．8．（2022?朝陽）某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，在銷售過程中發(fā)現，每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間存在一次函數關系（其中8≤x≤15，且x為整數）．當每件消毒用品售價為9元時，每天的銷售量為105件；當每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件．（1）求y與x之間的函數關系式．（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元？（3）設該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【解答】解：（1）設每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）函數關系式為：y＝kx+b，由題意可知：，解得：，∴y與x之間的函數關系式為：y＝﹣5x+150；（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，解得：x1＝13，x2＝25（舍去），∴若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為13元；（3）w＝y(tǒng)（x﹣8），＝（﹣5x+150）（x﹣8），w＝﹣5x2+190x﹣1200，＝﹣5（x﹣19）2+605，∵8≤x≤15，且x為整數，當x＜19時，w隨x的增大而增大，∴當x＝15時，w有最大值，最大值為525．答：每件消毒用品的售價為15元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元．9．（2022?黔西南州）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風光”景區(qū)今年計劃改造一片綠化地，種植A、B兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費用為300元．（1）每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費用各是多少元？（2）若該景區(qū)今年計劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為70%和90%，景區(qū)明年要將枯死的花卉補上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補的盆數不多于80盆，應如何安排這兩種花卉的種植數量，才能使今年該項的種植費用最低？并求出最低費用．【解答】解：（1）設每盆A種花卉種植費用為x元，每盆B種花卉種植費用為y元，根據題意，得：，解得：，答：每盆A種花卉種植費用為30元，每盆B種花卉種植費用為60元；（2）設種植A種花卉的數量為m盆，則種植B種花卉的數量為（400﹣m）盆，種植兩種花卉的總費用為w元，根據題意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，解得：m≤200，w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，∵﹣30＜0，∴w隨m的增大而減小，當m＝200時，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，答：種植A、B兩種花卉各200盆，能使今年該項的種植費用最低，最低費用為18000元．10．（2022?鄂爾多斯）某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進50個．（1）求第二批每個掛件的進價；（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經市場調查發(fā)現，當售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？【解答】解：（1）設第二批每個掛件的進價為x元，則第一批每個掛件的進價為1.1x元，根據題意可得，+50＝，解得x＝40．經檢驗，x＝40是原分式方程的解，且符合實際意義，∴1.1x＝44．∴第二批每個掛件的進價為40元．（2）設每個售價定為y元，每周所獲利潤為w元，根據題意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，∵﹣10＜0，∴當x≥52時，y隨x的增大而減小，∵40+10（60﹣y）≤90，∴y≥55，∴當y＝55時，w取最大，此時w＝﹣10（55﹣52）2+1440＝1350．∴當每個掛件售價定為55元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1350元．11．（2022?深圳）某學校打算購買甲乙兩種不同類型的筆記本．已知甲種類型的筆記本的單價比乙種類型的要便宜1元，且用110元購買的甲種類型的數量與用120元購買的乙種類型的數量一樣．（1）求甲乙兩種類型筆記本的單價．（2）該學校打算購買甲乙兩種類型筆記本共100件，且購買的乙的數量不超過甲的3倍，則購買的最低費用是多少．【解答】解：（1）設甲類型的筆記本單價為x元，則乙類型的筆記本單價為（x+1）元，由題意得，，解得x＝11，經檢驗x＝11是原方程的解，且符合題意，∴乙類型的筆記本單價為x+1＝11+1＝12（元），答：甲類型的筆記本單價為11元，乙類型的筆記本單價為12元；（2）設甲類型筆記本購買了a件，費用為w元，則乙類型的筆記本購買了（100﹣a）件，∵購買的乙的數量不超過甲的3倍，∴100﹣a≤3a，且100﹣a≥0，解得25≤a≤100，根據題意得w＝11a+12（100﹣a）＝11a+1200﹣12a＝﹣a+1200，∵﹣1＜0，∴w隨a的增大而減小，∴a＝100時，w最小值為﹣100+1200＝1100（元），答：最低費用為1100元．12．（2022?濟寧）某運輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運往A，B兩地，兩種貨車載重量及到A，B兩地的運輸成本如表：貨車類型載重量（噸/輛）運往A地的成本（元/輛）運往B地的成本（元/輛）甲種161200900乙種121000750（1）求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；（2）如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運往B地．設甲、乙兩種貨車到A，B兩地的總運輸成本為w元，前往A地的甲種貨車為t輛．①寫出w與t之間的函數解析式；②當t為何值時，w最??？最小值是多少？【解答】解：（1）設甲種貨車用了x輛，則乙種貨車用了（24﹣x）輛，根據題意得：16x+12（24﹣x）＝328，解得x＝10，∴24﹣x＝24﹣10＝14，答：甲種貨車用了10輛，乙種貨車用了14輛；（2）①根據題意得：w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500∴w與t之間的函數解析式是w＝50t+22500；②∵，∴0≤t≤10，∵前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，∴16t+12（12﹣t）≥160，解得t≥4，∴4≤t≤10，在w＝50t+22500中，∵50＞0，∴w隨t的增大而增大，∴t＝4時，w取最小值，最小值是50×4+22500＝22700（元），答：當t為4時，w最小，最小值是22700元．13．（2022?梧州）梧州市地處亞熱帶，盛產龍眼．新鮮龍眼的保質期短，若加工成龍眼干（又叫帶殼圓肉）則有利于較長時間保存．已知3kg的新鮮龍眼在無損耗的情況下可以加工成1kg的龍眼干．（1）若新鮮龍眼售價為12元/kg．在無損耗的情況下加工成龍眼干，使龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，則龍眼干的售價應不低于多少元/kg？（2）在實踐中，小蘇發(fā)現當地在加工龍眼干的過程中新鮮龍眼有6%的損耗，為確保果農的利益，龍眼干的銷售收益應不低于新鮮龍眼的銷售收益，此時龍眼干的定價取最低整數價格．市場調查還發(fā)現，新鮮龍眼以12元/kg最多能賣出100kg，超出部分平均售價是5元/kg，可售完．果農們都以這種方式出售新鮮龍眼．設某果農有akg新鮮龍眼，他全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差為w元，請寫出w與a的函數關系式．【解答】解：（1）設龍眼干的售價為x元/kg，新鮮龍眼共3a千克，總銷售收益為12×3a＝36a（元），加工成龍眼干后共a千克，總銷售收益為x×a＝ax（元），∵龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，∴ax≥36a，解出：x≥36，故龍眼干的售價應不低于36元/kg；（2）a千克的新鮮龍眼一共可以加工成（1﹣6%）a＝a千克龍眼干，設龍眼干的售價為y元/千克，則龍眼干的總銷售收益為ay元，當a≤100千克時，新鮮龍眼的總收益為12a元，∵龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，∴≥12a，解得：y≥，∵y為整數，∴y最小為39，∴龍眼干的銷售總收益為a＝a（元），此時全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差w＝a﹣12a＝；當a＞100千克時，新鮮龍眼的總收益為12×100+5（a﹣100）＝（5a+700）元，龍眼干的總銷售收益為a元，此時全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差w＝a﹣（5a+700）＝（a﹣700）元，綜上，w與a的函數關系式為w＝14．（2022?襄陽）為了振興鄉(xiāng)村經濟，我市某鎮(zhèn)鼓勵廣大農戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產品、某經銷商購進甲、乙兩種產品，甲種產品進價為8元/kg；乙種產品的進貨總金額y（單位：元）與乙種產品進貨量x（單位：kg）之間的關系如圖所示．已知甲、乙兩種產品的售價分別為12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000時，y與x之間的函數關系式；（2）若該經銷商購進甲、乙兩種產品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產品的進貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設銷售完甲、乙兩種產品