專題19相似三角形（分層精練）1．（2022?哈爾濱）如圖，AB∥CD，AC，BD相交于點E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，則BD的長為（）A． B．4 C． D．6【答案】C【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝，即＝，∴BE＝1.5，∴BD＝BE+DE＝4.5．故選：C．2．（2022?重慶）如圖，△ABC與△DEF位似，點O是它們的位似中心，且相似比為1：2，則△ABC與△DEF的周長之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【答案】A【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，點O是它們的位似中心，且相似比為1：2，∴△ABC與△DEF的周長之比是1：2，故選：A．3．（2022?梧州）如圖，以點O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A′B′C′D′，已知＝，若四邊形ABCD的面積是2，則四邊形A′B′C′D′的面積是（）A．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【解答】解：∵以點O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A′B′C′D′，＝，∴＝＝，則四邊形A′B′C′D′面積為：18．故選：D．4．（2022?衡陽）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（結果精確到0.01m．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【答案】B【解答】解：設下部的高度為xm，則上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），經(jīng)檢驗，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故選：B．5．（2022?成都）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形．若OA：AD＝2：3，則△ABC與△DEF的周長比是．【答案】2：5【解答】解：∵△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形．∴△ABC和△DEF的位似比為OA：OD，∵OA：AD＝2：3，∴OA：OD＝2：5，∴△ABC與△DEF的周長比是2：5．故答案為：2：5．6．（2022?阜新）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上一點，且AE＝2DE，BD與CE相交于點F，若△DEF的面積是3，則△BCF的面積是．【答案】27【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴ADBC，∴∠EDF＝∠CBF，∵∠EFD＝∠CFB，∴△DEF∽△BCF，∵AE＝2DE，AD＝BC，∴DE：BC＝1：3，∴S△DEF：S△BCF＝DE2：BC2，即3：S△BCF＝1：9，∴S△BCF＝27．故答案為：27．7．（2022?鎮(zhèn)江）《九章算術》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿．衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的倍．【答案】1.2【解答】解：由題意得，5m被稱物＝6m砝碼．∴m被稱物：m砝碼＝6：5＝1.2．故答案為：1.2．8．（2022?北京）如圖，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，則AE的長為．【答案】1【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∵AB＝3，AC＝5，∴BC＝＝＝4，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，∴△EAF∽△BCF，∵＝，∴，∴，∴AE＝1，故答案為：1．9．（2022?杭州）某項目學習小組為了測量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，則AB＝m．【答案】9.88【解答】解：∵同一時刻測得旗桿和標桿在太陽光下的影長分別是BC＝8.72m，EF＝2.18m．∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB⊥BC，DE⊥EF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°，∴Rt△ABC∽△Rt△DEF，∴，即，解得AB＝9.88，∴旗桿的高度為9.88m．故答案為：9.88．10．（2021?南通）如圖，利用標桿DE測量樓高，點A，D，B在同一直線上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分別為E，C．若測得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，樓高BC是多少？【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝9（m），答：樓高BC是9m．11．（2021?貴港）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）．如圖，已知△ABC，且AB＞AC．（1）在AB邊上求作點D，使DB＝DC；（2）在AC邊上求作點E，使△ADE∽△ACB．【解答】解：（1）如圖，點D即為所求．（2）如圖，點E即為所求．12．（2021?玉林）如圖，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求證：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．【解答】（1）證明：∵DF∥AB，DE∥BC，∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，∴∠DFC＝∠AED，又∵DE∥BC，∴∠DCF＝∠ADE，∴△DFC∽△AED；（2）∵CD＝AC，∴＝由（1）知△DFC和△AED的相似比為：＝，故：＝（）2＝（）2＝．13．（2022?江西）如圖，四邊形ABCD為菱形，點E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE．（1）求證：△ABC∽△AEB；（2）當AB＝6，AC＝4時，求AE的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，∵AB＝6，AC＝4，∴＝，∴AE＝＝9．14．（2022?煙臺）【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．（1）求的值；（2）延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．【解答】【問題呈現(xiàn)】證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；【類比探究】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴＝＝；【拓展提升】解：（1）∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，∴＝＝；（2）由（1）得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC＝＝．15．（2021?寧夏）閱讀理解：如圖1，AD是△ABC的高，點E、F分別在AB和AC邊上，且EF∥BC，可以得到以下結論：＝．拓展應用：（1）如圖2，在△ABC中，BC＝3，BC邊上的高為4，在△ABC內(nèi)放一個正方形EFGM，使其一邊GM在BC上，點E、F分別在AB、AC上，則正方形EFGM的邊長是多少？（2）某葡萄酒莊欲在展廳的一面墻上，布置一個腰長為100cm，底邊長為160cm的等腰三角形展臺．現(xiàn)需將展臺用隔板沿平行于底邊，每間隔10cm分隔出一排，再將每一排盡可能多的分隔成若干個無蓋正方體格子，要求每個正方體格子內(nèi)放置一瓶葡萄酒．平面設計圖如圖3所示，將底邊BC的長度看作是0排隔板的長度．①在分隔的過程中發(fā)現(xiàn)，當正方體間的隔板厚度忽略不計時，每排的隔板長度（單位：厘米）隨著排數(shù)（單位：排）的變化而變化．請完成下表：排數(shù)/排0123…隔板長度/厘米16080…若用n表示排數(shù)，y表示每排的隔板長度，試求出y與n的關系式；②在①的條件下，請直接寫出該展臺最多可以擺放多少瓶葡萄酒？【解答】解：（1）如圖2，過點A作AD⊥BC于D，交EF于H，由閱讀理解的結論可得：，設正方形的邊長為x，∴，∴x＝，∴正方形的邊長為；（2）①如圖3﹣1，過點A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝80cm，∴AD＝＝＝60（cm），分別設第1、第2、第3排的隔板長為y1，y2，y3，由閱讀理解的結論可得：，，解得：y1＝，y2＝，y3＝80，故答案為：，，80；∴，∴y＝﹣n+160；②當n＝1時，隔板長cm，∴可以作正方體的個數(shù)＝÷10≈13（個），當n＝2時，隔板長cm，∴可以作正方體的個數(shù)＝÷10≈10（個），當n＝3時，隔板長80cm，∴可以作正方體的個數(shù)＝80÷10≈8（個），當n＝4時，隔板長cm，∴可以作