專題19與平行四邊形有關(guān)的動態(tài)問題與最值問題題型一與平行四邊形有關(guān)的動態(tài)問題1．如圖，四邊形中，，，．點以的速度由點向點運動，同時點以的速度由點向點運動，其中一點到達終點時，另一點也停止運動，當線段將四邊形截出一個平行四邊形時，此時的運動時間為2或3．【解答】解：設(shè)運動時間為，由題意可得，，，，，當時，四邊形為平行四邊形，，．，當時，四邊形為平行四邊形，，．綜合以上可得或時，線段將四邊形截出一個平行四邊形．故答案為2或3．2．如圖，在平行四邊形中，對角線、交于點，，，，點從點出發(fā)，沿著邊運動到點停止，在點運動過程中，若是直角三角形，則的長是或．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，，如圖，當時，，，，，，；當時，，，，，綜上所述：的長是或，故答案為或．3．如圖，在，，，、點從點出發(fā)沿邊運動到點，點從點出發(fā)沿邊向點運動，點運動速度為，點運動速度為，它們同時出發(fā)，同時這運動，經(jīng)過4或時，．【解答】解：如圖，過點作于，，，，，設(shè)經(jīng)過時，，當四邊形是平行四邊形時，，，，當四邊形是等腰梯形，，，綜上所述：經(jīng)過4或時，，故答案為4或．4．如圖，等邊的邊長為，射線，點從點出發(fā)沿射線以的速度運動，點從點出發(fā)沿射線以的速度運動．設(shè)運動時間為，當以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，運動時間為A．或 B．或 C．或 D．或【解答】解：①當點在的左側(cè)時，根據(jù)題意得：，，則，，當時，四邊形是平行四邊形，即，解得：；②當點在的右側(cè)時，根據(jù)題意得：，，則，，當時，四邊形是平行四邊形，即，解得：；綜上可得：當或時，以、、、為頂點四邊形是平行四邊形．故選：．5．如圖，在四邊形中，，，，點在邊上以每秒的速度從點向點運動，點在邊上，以每秒的速度從點向點運動，當2或3秒時，直線在四邊形內(nèi)部能截出一個平行四邊形．【解答】解：設(shè)點、運動的時間為秒，依題意得，，，，，①當時，四邊形是平行四邊形，即，解得．②當時，四邊形是平行四邊形，即，解得，，所以經(jīng)過2秒或3秒后，直線將四邊形截出一個平行四邊形．故答案為：2或3．6．如圖，在中，已知，點在邊上以的速度從點向點運動，點在邊上以的速度從點出發(fā)在上往返運動，兩個點同時出發(fā)，當點到達點時停止運動（同時點也停止），設(shè)運動時間為，若以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則的值錯誤的是A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：設(shè)經(jīng)過秒，以點、、、為頂點組成平行四邊形，在上運動，，即，以點、、、為頂點組成平行四邊形，，分為以下情況：①點的運動路線是，由題意得：，解得：；②點的運動路線是，由題意得：，解得：；③點的運動路線是，由題意得：，解得：；綜上所述，的值為6或10或12，故選：．7．如圖，在四邊形中，，，，點從點出發(fā)，以的速度向運動，同時，點從點以相同的速度向運動．當點運動到點時，點隨之停止運動．若設(shè)運動的時間為秒，以點、、、、、任意四個點為頂點的四邊形中同時存在兩個平行四邊形，則的值是A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：．時，，，，，因，此時構(gòu)成一個平行四邊形，不符合題意；．時，，，，，因，此時構(gòu)成一個平行四邊形，不符合題意；．時，，，，，因，此時只構(gòu)成一個平行四邊形，不符合題意．．時，，，，則，因，此時有2個平行四邊形：平行四邊形和平行四邊形，符合題意．故選：．8．如圖，已知四邊形，，分別是，上的點，，分別是，的中點，當點在上從點向點移動而點不動時，線段的長A．逐漸增大 B．逐漸減小 C．不變 D．不能確定【解答】解：連接．、分別是、的中點，為的中位線，，的長為定值，線段的長不改變．故選：．9．如圖，在四邊形中，且，，點、分別從點、同時出發(fā)，點以的速度由向運動，點以的速度由向運動．問幾秒后直線將四邊形截出一個平行四邊形？【解答】解：設(shè)點，運動的時間為．依題意得：，，，．，①當時，四邊形是平行四邊形．即，解得．②當時，四邊形是平行四邊形，即，解得：．所以經(jīng)過2秒或3秒后，直線將四邊形截出一個平行四邊形．10．如圖所示，在四邊形中，，，，點從點向點以的速度運動；同時點從點向點以的速度運動．規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為秒．（1）用含有的代數(shù)式表示：，，，；（2）求出點從運動開始到停止用多少時間；（3）求運動時間為多少秒時，四邊形是平行四邊形．【解答】解：（1）由題意得：，，則，，故答案為：，，，；（2）（秒，即點從運動開始到停止用15秒；（3）若四邊形是平行四邊形，，滿足時，四邊形是平行四邊形，，解得：，當秒后四邊形是平行四邊形．11．如圖1，在平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，現(xiàn)同時將點，向上平移2個單位，再向右平移1個單位，得到點，的對應(yīng)點分別是，，連接，，．（1）求點，的坐標及四邊形的面積．（2）在軸上是否存在點，連接，，使？若存在這樣的點，求出點的坐標；若不存在，試說明理由．（如圖（3）點是線段上的一個動點，連接，，當點在上移動時（不與，重合）給出下列結(jié)論：（如圖．①的值不變；②的值不變；③的值可以等于；④的值可以等于．以上結(jié)論中正確的是：②④．【解答】解：（1）點，的坐標分別為，，現(xiàn)同時將點，向上平移2個單位，再向右平移1個單位，得到點，的對應(yīng)點分別是，，，，四邊形的面積；（2）設(shè)時點到的距離為，則，解得，要使，則點的坐標為，；（3）過點作，則，，，，，，值不變，正確；同理可得出：①的值不變，錯誤；③當點在點時，的值最小，此時，故不可以等于，此選項錯誤；，的值可以等于，則該選項正確．故答案為：②④．12．如圖，在直角梯形中，，，且，，．若動點從點出發(fā)，以每秒的速度沿線段、向點運動；動點從點出發(fā)以每秒的速度沿向點運動，當點到達點時，動點、同時停止運動．設(shè)點、同時出發(fā)，并運動了秒，（1）直角梯形的為12，周長為；（2）當為多少時，四邊形成為平行四邊形？（3）是否存在，使得點在線段上且？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）如圖1所示，過點作于，，，四邊形是矩形，，，由勾股定理得，，，直角梯形的周長；故答案為：12，32；（2）由題意得：，，，，當時，四邊形成為平行四邊形，則，解得：；即為秒時，四邊形成為平行四邊形；（3）存在，使得點在線段上且，理由如下：作于，連接，如圖2所示：點在上，，，，的面積，，在中，由勾股定理得：，，解得：此時，，存在秒，使得點在線段上且．13．如圖，直角梯形中，，，已知，，動點從點出發(fā)，沿線段向點作勻速運動；動點從點出發(fā)，沿線段向點作勻速運動．過點垂直于的射線交于點，交于點．、兩點同時出發(fā)，速度為每秒1個單位長度，當點運動到點，、兩點同時停止運動，設(shè)點運動的時間為秒．（1）當為何值時，四邊形構(gòu)成平行四邊形？（2）試用含的代數(shù)式分別表示與的長度．（3）若設(shè)的面積為，試求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：（1）由于四邊形構(gòu)成平行四邊形，，即，解得，則當時，四邊形構(gòu)成平行四邊形；（2），，在中，，，在中，，，；，（3），則的面積為：．14．如圖，在中，對角線，相交于點，，，．點從點出發(fā)沿方向勻速運動，速度為，連接并延長交于點．設(shè)運動時間為（1）當為何值時，四邊形是平行四邊形？（2）設(shè)四邊形的面積為，當時，求的值．【解答】解：（1）當時，四邊形是平行四邊形，理由是：四邊形是平行四邊形，，，，，，，在和中，，，，即，，四邊形是平行四邊形，即當時，四邊形是平行四邊形；（2）過作于，過作于，，，，在中，由勾股定理得：，由三角形的面積公式得：，，，，，，，，，在和中，，，的面積，當時，，的面積為，．15．如圖，在四邊形中，，，，點自點向以的速度運動，到點即停止．點自點向以的速度運動，到點即停止，點，同時出發(fā)，設(shè)運動時間為．（1）用含的代數(shù)式表示：；；；．（2）當為何值時，四邊形是平行四邊形？（3）當為何值時，四邊形是平行四邊形？【解答】解：（1），，，（2）根據(jù)題意有，，，．，當時，四邊形是平行四邊形．，解得．時四邊形是平行四邊形；（3）由，，，，，如圖1，，即，當時，四邊形是平行四邊形．即：，解得，當時，四邊形是平行四邊形．16．如圖，在四邊形中，，，，，．動點從點出發(fā)，沿線段的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點從點出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長的速度向點運動，點，分別從點，同時出發(fā)，當點運動到點時，點隨之停止運動．設(shè)運動的時間為（秒．（1）若四邊形為平行四邊形，求運動時間．（2）當為何值時，三角形是以或為底邊的等腰三角形？【解答】解：（1）四邊形為平行四邊形，，又，，，解得；（2）如圖，過作于，當為頂角時，，，，，依據(jù)有：，解得；當為頂角時，，由有：，解得，綜上，或時，符合題意．

題型二與平行四邊形有關(guān)的最值問題17．如圖，在平行四邊形中，，，，是邊上任意一點，沿剪開，將沿方向平移到的位置，得到四邊形，則四邊形周長的最小值為A．24 B．22 C．30 D．28【解答】解：當時，四邊形的周長最小，，，．，，沿方向平移到的位置，，四邊形周長的最小值為：，故選：．18．如圖，在中，，，，為斜邊邊上的一動點，以、為邊作平行四邊形，則線段長度的最小值為．【解答】解：如圖，過點作于，在中，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，當時，有最小值，此時：，故答案為．19．如圖，已知，，，為的中點，為上的一動點，以、為一組鄰邊構(gòu)造，連接，則的最小值是9．【解答】解：如圖，當時，垂足為，此時的值最小，過點作于，，，，，，為的中點，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，和中，，，，．故答案為：9．20．如圖，已知與，是直線上的一條動線段且在的下方），當最小時，點坐標為A．， B．， C． D．【解答】解：作點關(guān)于直線的對稱點，過點作直線，使得平行于直線，并沿向下平移單位后得連接交直線于點如圖理由如下：，四邊形是平行四邊形且當值最小時，值最小根據(jù)兩點之間線段最短，即，，三點共線時值最小，直線的解析式即點坐標，故選：．21．如圖，在平行四邊形中，，，點，分別是邊，上的動點，連接，，點為的中點，點為的中點，連接．則的最小值為A．2 B． C．1 D．【解答】解：如圖，連接，四邊形是平行四邊形，，，，點、分別是、的中點，是的中位線，，當最小時，有最小值，當時，最小，則，此時，，，即的最小值是，故選：．22．如圖，在中，，，點是射線上的一個動點，以，為鄰邊作平行四邊形，則邊的最小值為A．4 B．2 C． D．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，由垂線段最短可得，當時，值最小，，，，在中，，，，，故選：．23．如圖，在中，，，點、分別是邊、上的動點，連接、，點、分別為、的中點，連接，則的最小值為A．1 B． C． D．【解答】解：如圖，連接，、分別為、的中點，，的最小值，就是的最小值，當時，最小，中，，，，，的最小值是．故選：．24．如圖，在中，，，，點在線段上一動點，以為對角線的平行四邊形中，則的最小值是6．【解答】解：平行四邊形的對角線的交點是的中點，當時，最小，即最?。?，，又平行四邊形中，，，是的中位線，，，．在中，，，，，．故答案為6．25．如圖，在中，，，，為上的動點，連接以、為邊作平行四邊形，則長的最小值為A．3 B．4 C． D．【解答】解：當時，的長最小，四邊形是平行四邊形，，，，作于，如圖所示：則四邊形是矩形，，，，，，是直角三角形，，的面積，，的最小值為；故選：．26．如圖，在四邊形中，，，，分別是邊，上的動點（含端點，但點不與點重合）點，分別是線段，的中點，若線段的最大值為2.5，則的長為A．5 B． C．2.5 D．3【解答】解：點，分別是線段，的中點，，，，最大時，最大，線段的最大值為2.5，．與重合時最大，此時，．故選：．27．在平面直角坐標系中，已知平行四邊形的點、點，，點，則對角線的最小值是A． B． C．5 D．6【解答】解：點，令，，在直線上，設(shè)，交于點，如圖1，是和的中點，，，當最小時，最小，過作直線于，根據(jù)垂線段最短，，所以的最小值為，即當直線時，最小，則最小，設(shè)直線與軸，軸交于點，，如圖2，令，則，，同理，，，，又，，為等腰直角三角形，，，，，且，，，即對角線的最小值為，故選：．28．如圖，已知的頂點、分別在直線和上，是坐標原點，則對角線長的最小值為A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：過點作直線，交直線于點，過點作軸，交軸于點，直線與交于點，與軸交于點，直線與交于點，如圖：四邊形是平行四邊形，，，，直線與直線均垂直于軸，