考點24概率

密知識整臺

一、事件的分類

1.必然事件：在一定條件下一定會發(fā)生的事件，它的概率是1.

2.不可能事件：在一定條件下一定不會發(fā)生的事件，它的概率是0.

3.隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生，乜可能不發(fā)生的事件，它的概率是0~1之間.

二、概率的計算

1.公式法

tn

P(A)=—,其中〃為所有事件的總數(shù)，，〃為事件人發(fā)生的總次數(shù).

n

2.列舉法

(1)列表法：當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，應(yīng)不重不漏地列出所有

可能的結(jié)果，通常采用列表法求事件發(fā)生的概率.

(2)畫樹狀圖法：當(dāng)一次試驗要涉及2個或更多的因素時，通常采用畫樹狀圖來求事件發(fā)生的概率.

三、利用頻率估計概率

1.定義

一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)P附近，因此，用一個事件發(fā)生的頻

率一來估計這一事件發(fā)生的概率.

n

2.適用條件

當(dāng)試驗的所有可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，我們一般要通過統(tǒng)計頻率來估

計概率.

3.方法

進(jìn)行大量重復(fù)試驗，當(dāng)事件發(fā)生的頻率越來越靠近一個常數(shù)時，該常數(shù)就可認(rèn)為是這個事件發(fā)生的概率.

四、概率的應(yīng)用

概率是和實際結(jié)合非常緊密的數(shù)學(xué)知識，可以對生活中的某些現(xiàn)象做出評判，如解釋摸獎、評判游戲活

動的公平性、數(shù)學(xué)競賽獲獎的可能性等等，還可以對某些事件做出決策.

出2點考向,

考向一事件的分類

1.一般地，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的，它的大小要由它在整個問題中所占比例的大小來確定，

它占整體的比例大，它的可能性就大，它占整體的比例小，它的可能性就小，不確定事件發(fā)生的概率在

。到1之間，不包括。和1.

2.必然事件發(fā)生的機率是100%,即概率為1,不可能事件發(fā)生的機率為0,即概率為0.

典例引領(lǐng)

S________r

典例1下列事件中，是必然事件的是

A.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一定正面向上

B.車輛隨機到達(dá)一個路口，遇到紅燈

C.如果a2=b2,那么a=b

D.將花生油滴在水中，油會浮在水面上

【答案】

【解析】A.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上是隨機事件.

B.車輛隨機到達(dá)一個路口，遇到紅燈是隨機事件：

C.如果。2=/，那么。二江也可能是環(huán)-6,此事件是隨機事件；

D.將花生油滴在水中，油會浮在水面上是必然事件；

故選D.

變式拓展

1.（2019?蒼南）事件：“在只裝有2人紅球和8個黑球的袋子里，摸出一個白球”是

A.可能事件B.隨機事件

C.不可能事件D.必然事件

2.口袋中裝有形狀、大小與質(zhì)地都相同的紅球2個，黃球1個，下列事件為隨機事件的是

A.隨機摸出1個球，是白球B.隨機摸出1個球，是紅球

C.隨機摸出1個球，是紅球或黃球D.隨機摸出2個球，都是黃球

考向二概率的計算

在用列舉法解題時，一定要注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同，不要出現(xiàn)重復(fù)、遺漏等現(xiàn)象.

典例引領(lǐng)

典例2（2019?溫州模擬）一個不透明的盒子里有3個紅球、5個白球，他們除顏色外其他都一樣，先從

盒子中隨機取出一個球，則取出的球是白球的概率是

A.11

B.-

35

c53

C.一D.-

88

【答案】C

【解析】???盒子里有3個紅球、5個白球，共8個球，

???從盒子中隨機取出一個球，取出的球是白球的概率是。，

O

故選C.

典例3經(jīng)過某十字路口的汽車，它可以繼續(xù)直行，也可以向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn).如果這三種可能性大小相同,

則兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口全部繼續(xù)直行的概率是

11

A.9-6-

B.1

D.

二

32-

【答案】A

【解析】列表得:

左直右

左左左左直左右

直左直直直直右

右左右直右右右

，一共有9種情況，兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口全部繼續(xù)直行的有一種，，兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口全

部繼續(xù)直行的概率是:，故選A.

變式拓展

3.（2019?永康）一個布袋里放有紅色、黃色、黑色三種球，它們除顏色外其余都相同.紅色、黃色、黑

色的個數(shù)之比為4：3：2,則從布袋里任意摸出1個球不是紅球的概率是.

4.從一副洗勻的普通撲克牌（共54張）中隨機抽取一張，則抽出黑桃的概率是.

5.甲、乙兩個不透明的口袋，甲口袋中裝有3個分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3的小球，乙口袋中裝有2個分別標(biāo)

有數(shù)字4,5的小球，它們的形狀、大小完全相同，現(xiàn)隨機從甲口袋中摸出一個小球記下數(shù)字，再從乙

口袋中摸出一個小球記下數(shù)字.

（1）請用列表或樹狀圖的方法（只選其中一種），表示出兩次所得數(shù)字可能出現(xiàn)的所有結(jié)果；

（2）求出兩個數(shù)字之和能被3整除的概率.

考向三利用頻率估計概率

在大量重復(fù)試驗中，隨著統(tǒng)計數(shù)據(jù)的增大，頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)左右，將該常數(shù)作為概率的估計值，兩者

的區(qū)別在于：頻率是通過多次試驗得到的數(shù)據(jù)，而概率是理論上事件發(fā)生的可能性，二者并不完全相同.

典例引領(lǐng)

典例4在一個不透明的布袋中裝有黃、白兩種顏色的球共40個，除顏色外其他都相同，小王通過多次摸

球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.35左右，則布袋中黃球可能有

A.12個B.14個C.18個D.28個

【答案】B

【解析】設(shè)袋子中黃球有x個，

X

根據(jù)題意，得：—=0.35,

40

解得：x=14,

即布袋中黃球可能有14個，故選B.

變式拓展

6.做重復(fù)試驗：拋擲同一枚啤酒瓶蓋1000次.經(jīng)過統(tǒng)計得“凸面向上”的頻率約為0.44,則可以由此估

計拋擲這枚啤酒瓶蓋出現(xiàn)“凹面向上”的概率約為

A.0.22B.0.44C.0.50D.0.56

考向四概率的應(yīng)用

游戲是否公平在于可能性是否相等，即可能性相等，游戲公平；可能性不相等，則游戲不公平.

典例引領(lǐng)

S________r

典例5小亮、小芳和兩個陌生人甲、乙同在如圖所示的地下車庫等電梯，已知兩個陌生人到1至4層的任

意一層出電梯，并設(shè)甲在。層出電梯，乙在b層出電梯.

（1）請你用畫樹狀圖或列表法求出甲、乙二人在同一層樓出電梯的概率；

（2）小亮和小芳打賭說：“若甲、乙在同一層或相鄰樓層出電梯，則小亮勝，否則小芳勝”.該游戲是否

公平？說明理由.

4

3

2

]

車庫

【解析】（1）列表如下：

1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

一共出現(xiàn)16種等可能結(jié)果，其中出現(xiàn)在同一層樓梯的有4種結(jié)果,

41

則P（甲、乙在同一層樓梯）二一=二.

（2）由（1）歹ij知：甲、乙住在同層或相鄰樓層的有10種結(jié)果，

故P（小亮勝）=P（同層或相鄰樓層）P（小芳勝）=1--=-,

16888

..53

?一>-9

88

???游戲不公平，

修改規(guī)則：若甲、乙同住一層或相鄰樓層，則小亮得3分；否則，小芳得5分.

變式拓展

7.（2019?樂清市模擬）某校的一個社會實踐小組對本校學(xué)生中開展主題為"垃圾分類知多少”的專題調(diào)

查活動，采取隨機抽樣的方式進(jìn)行問卷調(diào)查，問卷調(diào)查的結(jié)果分為“非常了解”、“比較了解”、“基

本了解”、“不太了解”四個等級，劃分等級后的數(shù)據(jù)整理如表：

等級非常了解比較了解基本了解不太了解

頻數(shù)2035414

（1）請根據(jù)調(diào)查結(jié)果，若該校有學(xué)生600人，請估計這些學(xué)生中“比較了解”垃圾分類知識的人數(shù).

（2）在“比較了解”的調(diào)查結(jié)果里，其中九（1）班學(xué)生共有3人，其中2名男生和1名女生，在這3

人中，打算隨機選出2位進(jìn)行采訪，求出所選兩位同學(xué)恰好是1名男生和1名女生的概率.（要求列表

或畫樹狀圖）

、聲點沖關(guān)去

1.下列事件中，是必然事件的是

A.擲一枚硬幣，正面朝上

B.購買一張彩票，一定中獎

C.任意畫一個三角形，它的內(nèi)角和等于180°

D.擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，點數(shù)之和一定大于7

2.（2018?余杭區(qū)一模）袋中裝有1個綠球，2個黑球和3個紅球，它們除顏色外其余均相同，從袋中摸

出一個球，則摸出黑球的概率是

3.為了估計拋擲同一枚啤酒瓶蓋落地后凸面向上的概率，小明做了大量重復(fù)試驗.經(jīng)過統(tǒng)計得到凸面向上

的次數(shù)為420次，凸面向下的次數(shù)為580次，由此可估計拋擲這枚啤酒瓶蓋落地后凸面向上的概率約為

A.0.42B.0.50

C.0.58D.0.72

4.某口袋中有10個球，其中白球4個，綠球2x個，其余為黑球.甲從袋中任意摸出一個球，若為綠球則

甲獲勝，甲摸出的球放回袋中，乙從袋中摸出一個球，若為黑球則乙獲勝，要使游戲?qū)?、乙雙方公平，

則x應(yīng)該是

A.3B.4

C.1D.2

5.在一個不透明的口袋中，裝有12個黃球和若干個紅球，這些球除顏色外沒有其他區(qū)別.小李通過多次

摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，從中隨機摸出一個紅球的頻率穩(wěn)定在25%,則該口袋中紅球的個數(shù)可能是.

6.不透明的布袋里有白球2個，紅球10個，它們除了顏色不同其余均相同，為了使從布袋里隨機摸一個

球是白球的概率為:，若白球個數(shù)保持不變，則要從布袋里拿去______個紅球.

3

7.如果m是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，〃是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，那么關(guān)于x

的一元二次方程/-23+〃2=。有實數(shù)根的概率為.

8.（2019?長興縣一模）“學(xué)習(xí)強國”APP是深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)

容的“PC端+手機客戶端”兩大終端二合一模式的學(xué)習(xí)平臺，手機客戶端上主要有閱讀文章、觀看視頻、

專題考試等三種學(xué)習(xí)方式.

（1）王老師從二種學(xué)習(xí)方式中隨機挑選一種進(jìn)行學(xué)習(xí)，恰好選中專題考試的概率是多少？

（2）王老師和李老師各自從三種學(xué)習(xí)方式中隨機挑選一種進(jìn)行學(xué)習(xí)，用列表或畫樹狀圖表示所有的可

能結(jié)果，并求他們選中同一種學(xué)習(xí)方式的概率.

9.（2019?溫州一模）某報社為了解溫州市民對大范圍霧霾天氣的成因、影響以及應(yīng)對措施的看法，做了

一次抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果共分為四個等級：A,非常了解：B.比較了解；C.基本了解；D.不了解.根

據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，回執(zhí)了不完整的三種統(tǒng)計圖表.請結(jié)合統(tǒng)計圖表，回答下列問題：

（1）本次參與調(diào)查的市民共有人，m=,n=?

（2）統(tǒng)計圖中扇形。的圓心角是度.

（3）某校準(zhǔn)備開展關(guān)于霧霾的知識競賽，九（3）班鄭老師欲從2名男生和一名女生中任選2人參加比

賽，求恰好選中“1男1女”的概率（要求列表或畫樹狀圖）.

對霧霾的了解程度百分比

A非常了解5%

B比較了解m%

C基本了解45%

D不了解“％

對笏運天氣了解理堂的安子汨

人致

A5

\B/

60r----t|II\/C45H

20

A3CD等統(tǒng)

10.圖1是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，被分成了面積相等的三個扇形，分別標(biāo)有數(shù)-1,-2,-3,甲轉(zhuǎn)動一

次轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后指針指向的扇形內(nèi)的數(shù)記為A（如果指針恰好指在分割線上,那么重轉(zhuǎn)一次，直到

指針指向某一扇形為止），圖2是背面完全一樣、牌面數(shù)字分別是2,3,4,5的四張撲克牌，把四張

撲克牌背面朝上，洗勻后放在桌面上，乙隨機抽出一張牌的牌面數(shù)字記為艮

U）用樹狀圖或列表法求4+8=0的概率；

（2）甲、乙兩人玩游戲，規(guī)定：當(dāng)4+8是正數(shù)時，甲勝；否則，乙勝.你認(rèn)為這個游戲規(guī)則對甲、乙

雙方公平嗎？為什么？如果不公平，請你修改游戲規(guī)則，使游戲公平.

'-----------------/一

直通工考、

1.（2018?湖州）某居委會組織兩個檢查組，分別對“垃圾分類”和“違規(guī)停車”的情況進(jìn)行抽查.各組

隨機抽取轄區(qū)內(nèi)某三個小區(qū)中的一個進(jìn)行檢查，則兩個組恰好抽到同一個小區(qū)的概率是

1八1八1八2

A.-B.-C.-D.一

9633

2.（2018?溫州）在一個不透明的袋中裝有10個只有顏色不同的球，其中5個紅球、3個黃球和2個白球.從

袋中任意摸出一個球，是白球的概率為

11八31

A.-B.-C.—D.一

23105

3.（2018?寧波）有五張背面完全相同的卡片，正面分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,把這些卡片背面朝上洗

勻后，從中隨機抽取一張，其正面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為

4.（2018?紹興）拋擲一枚質(zhì)地均勻的立方體骰子一次，骰子的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,

則朝上一面的數(shù)字為2的概率是

11八15

A.-B.—C.-D.一

6326

5.（2018?杭州）一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字是3,個位數(shù)字是拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（六個面分別

標(biāo)有數(shù)字1-6）朝上一面的數(shù)字，任意拋擲這枚骰子一次，得到的兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率等于

11-12

6323

6.（2018?衢州）某班共有42名同學(xué)，其中有2名同學(xué)習(xí)慣用左手寫字，其余同學(xué)都習(xí)慣用右手寫字，老

師班機請1名同學(xué)解答問題，習(xí)慣用左手寫字的同學(xué)被選中的概率是

11

A.0B.—C.——D.1

2142

7.（2018?金華）如圖，一個游戲轉(zhuǎn)盤中，紅、黃、藍(lán)三個扇形的圓心角度數(shù)分別為60°,90°,210°.讓

轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動，指針停止后落在黃色區(qū)域的概率是

8.（2018?臨安區(qū)）不透明的口袋里裝有白、黃、藍(lán)三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白

球有2個，黃球有1個，現(xiàn)從中任意摸出一個是白球的概率為

2

（1）試求袋中藍(lán)球的個數(shù)；

（2）第一次任意摸一個球（不放回），第二次再摸一個球，請用畫樹狀圖或列表格法，求兩次摸到都

是白球的概率.

會參考答案.

變式拓展

1.【答案】C

【解析】事件：”在只裝有2個紅球和8個黑球的袋子里，摸出一個白球”是不可能事件，故選C.

2.【答案】B

【解析】A、從袋中隨機摸出1個球，是白球是不可能事件；B、從袋中隨機摸出1個球，是紅球是隨機

事件；C、從袋中隨機摸出1個球，是紅球或黃球是必然事件；D、從袋中隨機摸出2個球，都是黃球是

不可能事件，故選B.

3.【答案】［

9

【解析】不是紅球的概率是3+2=」,故答案為：

4+3+299

4.【答案】13-4

54

13

【解析】???一副撲克牌共54張，其中黑桃13張，，隨機抽出一張牌得到黑桃的概率是二

54

13

故答案為：—.

54

5.【解析】（1）樹狀圖如下：

開始

和：566778

（2）,??共6種情況，兩個數(shù)字之和能被3整除的情況數(shù)有2種，

91

???兩個數(shù)字之和能被3整除的概率為三二；，

63

即P（兩個數(shù)字之和能被3整除）.

3

6.【答案】D

【解析】因為瓶蓋只有兩面，”凸面向上”頻率約為0.44,所以，“凹面向上”的概率約為1-0.44=0.56,

故選D.

35

7.【解析】（1）估計這些學(xué)生中“比較了解”垃圾分類知識的人數(shù)為600X-----------------------=210（人）；

20+35+41+4

（2）畫出樹狀圖如下：

開始

男1男2女

AAA

男2女1男1女男1男2

一共有6種情況，恰好是1名男生和1名女生的有4種情況，

42

所以所選兩位同學(xué)恰好是1名男生和1名女生的概率為二二；.

63

考點沖關(guān)

-----

1.【答案】C

【解析】A.擲一枚硬幣，正面朝上是隨機事件；

B,購買一張彩票，一定中獎是隨機事件；

C.任意畫一個三角形，它的內(nèi)角和等于180。是必然事件；

D.擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，點數(shù)之和一定大于7是不可能事件；

故選C.

2.【答案】B

【解析】???袋中裝有1個綠球，2個黑球和3個紅球，它們除顏色外其余都相同，

，從袋中摸出一個黑球的概率是，—

1+2+33

故選B.

3.【答案】A

【解析】???由題易知拋擲同一枚啤酒瓶蓋1000次，“凸面向上”的次數(shù)約為420次，

???拋擲這枚啤酒瓶蓋出現(xiàn)“凸面向上”的概率約為焉|瑞二042,故選A.

4.【答案】D

【解析】由題意甲從袋中任意摸出一個球，若為綠球則獲勝；甲摸出的球放回袋中，乙從袋中摸出一個

球，若為黑球則獲勝可知，

綠球與黑球的個數(shù)應(yīng)相等，也為2x個，

列方程可得x+2x+2x=10,

解得后2.

故選D.

5.【答案】4

Y

【解析】設(shè)袋中有紅球X個，由題意得-^X1OO%=25%,解得下4個，故答案為：4.

x+12

6.【答案】6

【解析】設(shè)白球的概率為:時，布袋里紅球有x個.由題意，得一一=?,解得44,所以10--6.故

32+x3

答案為：6.

3

7.【答案】-

4

【解析】從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，畫樹狀圖可知共

有12種結(jié)果，?.,滿足關(guān)于x的一元二次方程x2-2nix+n2=0有實數(shù)根，貝U/=(-2m)2-4n2=4(m2-n2)>0,

符合的有9個，，關(guān)于x的一元二次方程/-2,加+〃2=0有實數(shù)根的概率為3二.故答案為：3」.

44

8.【解析】(1)王老師從三種學(xué)習(xí)方式中隨機挑選一種進(jìn)行學(xué)習(xí)，恰好選中專題考試的概率是:；

(2)記閱讀文章、觀看視頻、專題考試分別為A,B,C,

列表如下：

ABC

A(A,A)(B,A)(C,4)

B(A,B)B)(C,B)

C(A,C)CB,C)(C,C)

由表可知共有9種等可能的結(jié)果，其中他們選中同一種學(xué)習(xí)方式的有3種情況,

所以他們選中同一種學(xué)習(xí)方式的概率:.

9.【解析】(1)本次參與調(diào)查的市民共有：204-5%=400(人)，

m%=-X100%=15%,則15,

400

/:%=!-5%-45%-15%=35%,則〃=35；

故答案為：400,15,35；

(2)扇形統(tǒng)計圖中D部分扇形所對應(yīng)的圓心角是360°X35%=126°.

故答案為：126：

(3)根據(jù)題意畫圖如下：

男女男女男男

共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好選中1男1女的結(jié)果數(shù)為4種，

所以恰好選中I男1女的概率是

63

10.【解析】(1)由題意可得，A+B的所有可能性是：

-1+2=1,-1+3=2,-1+4=3,-1+5=4,-2+2=0,-2+3=1,-2+4=2,-2+5=3,-3+2=-1,-3+3=0,-3+4=1,

2I1

-3+5=2,???A+8=0的概率是：一二一，即4+B=0的概率是一.

1266

(2)這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方不公平，

理由：由題意可得，A+B的所有可能性是：

-1+2=1,-1+3=2,-1+4=3,-1+5=4,-2+2=0,-2+3=1,-2+4=2,-2+5=3,-3+2=7,-3+3=0,-3+4=1,

93

-3+5=2,???A+8的和為正數(shù)的概率是：—

124

31

???甲獲勝的概率為一，乙獲勝的概率為二，

44

31

???一￥—,???這個游戲規(guī)則對甲乙雙方不公平.

44

直通中考

--------------------

1.【答案】C

【解析】將三個小區(qū)分別記為4、B、C,列表如下：

ABC

A(A,4)(B,A)(C,A)

B(4,B)(8,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

由表可知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩個組恰好抽到同?個小區(qū)的結(jié)果有3種,

31

所以兩個組恰好抽到同一個小區(qū)的概率為一二一，故選C.

93

【名師點睛】此題主要考查了列表法求概率，列表法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，適合于

兩步完成的事件：樹狀圖法適用于兩步或兩步以卜完成的事件：解題時還要注意是放問試驗還是不放回

試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

2.【答案】D

【解析】???袋子中共有10個小球，其中白球有2個，，摸出一個球是白球的概率是之=!，故選D.

105

【名師點睛】此題主要考查了概率的求法，如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同，其

中事件A出現(xiàn)，“種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)='.

n

3.【答案】C

【解析】???從寫有數(shù)字1,2,3,4,5這5張紙牌中抽取一張，其中正面數(shù)字是偶數(shù)的有2、4這2種

結(jié)果，，正面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為故選C.

【名師點睛】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，明確概率的意義是解答的關(guān)鍵，用到的知識點為：概率

等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

4.【答案】A

【解析】???拋擲六個面上分別刻有的1,2,3,4,5,6的骰子有6種結(jié)果，其中朝上一面的數(shù)字為2

的只有1種，.??朝上一面的數(shù)字為2的概率為故選A.

【名師點睛】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，明確概率的意義是解答的關(guān)鍵，用到的知識點為：概率

等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

5.【答案】B

【解析】根據(jù)題意，得到的兩位數(shù)有31、32、33、34、35、36這6種等可能結(jié)果，其中兩位數(shù)是3的

21

倍數(shù)的有33、36這2種結(jié)果，，得到的兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率等于二二二，

63

故選B.

【名師點睛】此題考查了概率的求法：如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事

件4出現(xiàn)，“種結(jié)果，那么事件A的概率尸(A)=—.

n

6.【答案】B

【解析】,??某班共有42名同學(xué)，其中有2名同學(xué)習(xí)慣用左手寫字，其余同學(xué)都習(xí)慣用右手寫字，，老

21

師隨機請1名同學(xué)解答問題，習(xí)慣用左手寫字的同學(xué)被選中的概率是：—.

4242

故選B.

【名師點睛】此題主要考查了概率公式，利用符合題意數(shù)據(jù)與總數(shù)的比值=概率求出是解題關(guān)鍵.

7.【答案】R

901

【解析】???黃扇形區(qū)域的圓心角為90。，所以黃區(qū)域所占的面積比例為二:二，

3604

即轉(zhuǎn)動圓盤一次，指針停在黃色區(qū)域的概率是工，故選B.

4

【名師點睛】本題將概率的求解設(shè)置在轉(zhuǎn)盤游戲中，考查學(xué)生對簡單幾何概型的掌握情況，既避免了單

純依靠公式機械計算的做法，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活、甚至娛樂中的運用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的基

礎(chǔ)性.用到的知識點為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.

8.【解析】（1）設(shè)袋中藍(lán)球的個數(shù)為x個，

???從中任意摸出一個是白球的概率為!，

2

?2_1

''l+2+x~2f

解得：x=\f

???袋中藍(lán)球的個數(shù)為1；

（2）畫樹狀圖得：

開始

白白黃藍(lán)

/N/N/N/1\

白黃藍(lán)白黃藍(lán)白白藍(lán)白白黃

???共有12種等可能的結(jié)果，兩次都是摸到白球的有2種情況，

???兩次都是摸到白球的概率為：-4=7-

126

【名師點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏

地列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.注

意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

單元檢測（二）方程（組）與不等式（組）

（時間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題（本大題共10小題,每小題5分,滿分50分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的）

1.（2018?山東淄博）若單項式，3與12的和仍是單項式,則d的值是1）

A.3B.6C.8D.9

|^]c

2.（2018?江蘇宿遷）若a<b,則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.a1B.2a<2b

C.-3>-3D.才〈作

3.（2018?湖北荊州）解分式方程1-2-3-42-時,去分母可得（）

A.l-3（x-2）MB.l-3（x-2）=A

C.T-3（2-x）=YD.l-3（2-x）=4

^|B

畫原方程為1-2-3=42-，即1-2-3=-4-2.兩邊同時乘『2,得1-3（x2）=W故選B.

4.（2018?海南）下列四個不等式組中，解集在數(shù)軸上表示如圖所示的是（）

A.22>-3B.W2<-3C.22<-3D.W2>-3

5.（2018?合肥四十五中一模）方程（"=2（戶4）的解為（）

A.x=lB.x=~4

C.Xi,Xi-YD.Xi--1,x>~A

|￥￥|c

6.（2018?遼寧大連）如圖，有一張矩形紙片，長10cm,寬6cm,在它的四角各減去一個同樣的小正方形，然后

折疊成一個無蓋的長方體紙盒.若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是32cm2,求剪去的小正方形的邊長.設(shè)剪

去的小正方形邊長是*cm,根據(jù)題意可列方程為（）

A.10X6FX6x-32

B.（10-2x）（6-2^）=32

C.（10-彳）（6-才）才2

D.10X6Y/W2

幼B

函設(shè)剪去的小正方形邊長是xcm,則紙盒底面的長為（10-2x）cm,寬為（6-2x）cm,根據(jù)長方形的面積公式結(jié)

合紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是32cm）即可得出關(guān)于x的一元二次方程（10-2>）（6-2x）.故選B.

7.（2018?廣西桂林）已知關(guān)于x的一元二次方程2寸—kxR內(nèi)有兩個相等的實數(shù)根,則女的值為（）

A.±26B.±6C.2或3D.2或3

解析|由題意得,2kx超工有兩個相等的實數(shù)根，則該一元二次方程的根的判別式

爐Yac=（-4）2YX2X34-24R,解得公土24=±26,故選A.

8.（2018?云南昆明）甲、乙兩船從相距300km的A.8兩地同時出發(fā)相向而行.甲船從A地順流航行180km

時與3地逆流航行的乙船相遇,水流的速度為6km/h,若甲、乙兩船在靜水中的速度均為xkm/h,則求兩船

在靜水中的速度可列方程為（

A.180+6=120-6B.180-6=120+6

C180+6=120D.180二120-6

|^1A

麗曰題意可列如下的表格:

速

時間路程

度

x;6180x+6180

流

'1'.

(J

-L

\6120x-6300-180=120

?。?/p>

行

則189+6=120-6,故選A.

9.（2018?合肥廬陽區(qū)一模）某企業(yè)因春節(jié)放假，二月份產(chǎn)值比一月份下降20%,春節(jié)后生產(chǎn)呈現(xiàn)良好上升勢

頭，四月份比一月份增長15%,設(shè)三、四月份的月平均增長率為x,則下列方程正確的是（）

A.（1-20%）（KX）2=1+15%

B.（1+15%）（1+力2=1-20%

C.2（1-20%）（1^）-1^15%

D.2（1+15%）（1奴）=1-20%

祠,

麗設(shè)一月份產(chǎn)值為&根據(jù)題意可知二月份的產(chǎn)值為（1-20%）&,然后根據(jù)平均增長率為x可知四月份的產(chǎn)

值是（1-20%）（15Ta,再根據(jù)四月份比一月份增長15%,可知（1-20%）（1*15%）a.故選A.

10.（2017?安徽蕪湖模擬）若t為實數(shù)，關(guān)于x的方程戶L24的兩個非負(fù)實數(shù)根為a",則代數(shù)式

（才T）（Z/T）的最小值是（）

A.T5B.-16C.15D.16

■A

函：N。是關(guān)于x的方程fY戶L2R的兩個根，

?:+=4,=-2;

了關(guān)于x的方程V有兩個實數(shù)根，

?:心0,即（/）2/X1X（L2）20,解得W6.

了關(guān)于*的方程的兩個實數(shù)根a,6非負(fù)，

?：+=420,=-220,解得￡22.

故力的取值范圍是2WCW6.

B（5一1）（爐一1）=（&方）2-（才坊2）川

=（ab）2-（a”?）2+2ab刊

=（￡-2）2*2（￡-2）-15

4-215=（1）2-16,

所以當(dāng)1=2時，--2L15有最小值-15.

二、填空題（本大題共4小題,每小題5分,滿分20分）

11.（2018?淮北模擬）不等式13的解集為.

￥^]x<83

噩移項,得-才）13-3,合并同類項,得--83,系數(shù)化為1,得83.

12.（2918?內(nèi)蒙古包頭）若3加2,3a-爐6,則b~a的值為.

疆-2

解析由題意知一3=2①3-=6②，①*②得4a~464,貝ij6r2,二。一a=~2.

13.（2018?四川綿陽）己知a>4X）,且2+1+3-丸則-.

繇7+32

麗曰題意得:2b（b-a）切（A-a）+3a爐0,整理，得22+2TK,

解得=T±32.

：?a>b券，J=-1+32.

14.（2018?女徽模擬）已知整數(shù)k<5,若的邊長均滿足關(guān)于X的方程f3幻8=0,則的周氏

是.

^16或12或10

解畫根據(jù)題意得*20且（3）2^^820,解得〃2329.：?整數(shù)A<5,?：〃N,

?:方程變形為x-6^^4）,解得小2XI=\.

:的邊長均滿足關(guān)于x的方程r-6x^=0,

.：△18。的邊長為2、2、2或4、4、4或4、4、2,

「△力比'的周長為6或12或10.

三、（本大題共2小題,每小題8分，滿分16分）

15.（2018?浙江義烏）解方程-2xT=0.

圈（配方法）移項，得￥-21,

配方,得/-2x+1=1+1,

艮J（1）2=2,

開方，得xT二土2,

BJX\-1*2,用T-2.

（公式法）啟，爐-2,c=-l,4二爐9的1掰十刀,方程有兩個不相等的實數(shù)根，

廣一±2-42=2+222=\±2,

艮】xx=\+2,X2=1~2.

16.（2018?安慶一模）解不等式組：-K2-2,23>-12并把解集在數(shù)軸上表示出來.

網(wǎng)-K2-2①，23>T2②，

解不等式@得咫1.

解不等式②得x>-3.

,：原不等式組的解集為TdWL

解集在數(shù)軸上表示為：

四、（本大題共2小題,每小題8分，滿分16分）

17.（2018?江蘇揚州）對于任意實數(shù)a、瓦定義關(guān)于“”的一種運算如下：ab%+b.例如

34=2X3*4=10.

⑴求2（⑸的值；

⑵若x（-力2且2y產(chǎn)T,求x+y的值.

陶⑴2（-5）3X2-5二T.

（2）由即意得2-=2,4+=-1,解得=79,=-49,

?：x+y=13.

18.（2018?北京）關(guān)于x的一元二次方程ax+bx+l內(nèi).

（1）當(dāng)b=aR時,利用根的判別式判斷方程根的情況；

（2）若方程有兩