2025屆上海南洋模范高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知動點在直線上，過點作圓的切線，切點為，則線段的長度的最小值為（）A. B.4C. D.2．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止.分配時一定要依照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話.”在這個問題中，第5個孩子分到棉花為（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤3．已知向量，，且與互相平行，則的值為（）A.-2 B.C. D.4．離心率為，長軸長為6的橢圓的標準方程是A. B.或C. D.或5．若橢圓的一個焦點為，則的值為（）A.5 B.3C.4 D.26．若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（）A. B.C. D.7．已知等差數(shù)列，且，則（）A.3 B.5C.7 D.98．已知等比數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.9．直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點，若，則k的取值范圍是()A. B.(－∞，]∪[0，＋∞)C. D.10．若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.11．設雙曲線：的左焦點和右焦點分別是，，點是右支上的一點，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.812．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，點E是棱PC的中點，作，交PB于F.下面結(jié)論正確的個數(shù)為()①∥平面EDB；②平面EFD；③直線DE與PA所成角為60°；④點B到平面PAC的距離為.A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為______14．若直線:x-2y+1=0與直線:2x+my-1=0相互垂直，則實數(shù)m的值為________.15．如圖所示，將若干個點擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個端點）有個點，相應的圖案中點的個數(shù)記為，按此規(guī)律，則___________，___________.16．直線過拋物線的焦點F，且與C交于A，B兩點，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，且a0（1）當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：18．（12分）在平面直角坐標系中，設點，直線，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，也是PF的中點．，（1）求動點Q的軌跡的方程E；（2）過點F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M，N．求直線MN過定點R的坐標19．（12分）橢圓的離心率為，設為坐標原點，為橢圓的左頂點，動直線過線段的中點，且與橢圓相交于、兩點．已知當直線的傾斜角為時，（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點，且點總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由20．（12分）圓過點A(1，－2)，B(－1，4)，求：（1）周長最小的圓的方程；（2）圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的方程21．（12分）已知曲線：.（1）若曲線是雙曲線，求的取值范圍；（2）設，已知過曲線的右焦點，傾斜角為的直線交曲線于A，B兩點，求.22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當a=1時，對于任意的，，都有恒成立，則m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】求出的最小值，由切線長公式可結(jié)論【詳解】解：由，得最小時，最小，而，所以故選：A.2、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式、等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.【詳解】依題意得，八個子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設該等差數(shù)列為，公差為d，前n項和為，第一個孩子所得棉花斤數(shù)為，則由題意得，，解得，故選：A3、A【解析】應用空間向量坐標的線性運算求、的坐標，根據(jù)空間向量平行有，即可求的值.【詳解】由題設，，，∵與互相平行，∴且，則，可得.故選：A4、B【解析】試題解析：當焦點在x軸上：當焦點在y軸上：考點：本題考查橢圓的標準方程點評：解決本題的關鍵是焦點位置不同方程不同5、B【解析】由題意判斷橢圓焦點在軸上，則，解方程即可確定的值.【詳解】有題意知：焦點在軸上，則，從而，解得：.故選：B.6、A【解析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A7、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】由于數(shù)列是等差數(shù)列，所以.故選：B8、C【解析】設等比數(shù)列的公比為，可得出，即可得解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，可得出.故選：C.9、A【解析】圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，解不等式得k的取值范圍考點：直線與圓相交的弦長問題10、D【解析】由，分兩步，當求出，當時得到，兩式作差即可求出數(shù)列的通項公式；【詳解】解：因為①，當時，，當時②，①②得，所以，當時也成立，所以；故選：D11、C【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質(zhì)可知，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線：可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，所以上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，此時點為雙曲線的右頂點，即的最小值為，故選：C.12、D【解析】①由題意連接交于，連接，則是中位線，證出，由線面平行的判定定理知∥平面；②由底面，得，再由證出平面，即得，再由是正方形證出平面，則有，再由條件證出平面；③根據(jù)邊長證明△DEO是等邊三角形即可；④根據(jù)等體積法即可求.【詳解】①如圖所示，連接交于點，連接底面是正方形，點是的中點在中，是中位線，而平面且平面，∥平面；故①正確；②如圖所示，底面，且平面，，，是等腰直角三角形，又是斜邊的中線，(*)，由底面，得，底面是正方形，，又，平面，又平面，(**)，由(*)和(**)知平面，而平面，又，且，平面；故②正確；③如圖所示，連接AC交BD與O，連接OE，由OE是三角形PAC中位線知OE∥PA，故∠DEO為異面直線PA和DE所成角或其補角，由②可知DE＝，OD＝，OE＝，∴△DEO是等邊三角形，∴∠DEO＝60°，故③正確；④如圖所示，設B到平面PAC的距離為d，由題可知PA＝AC＝PC＝，故，由.故④正確.故正確的有：①②③④，正確的個數(shù)為4.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】應用余弦定理有，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)及同角三角函數(shù)平方關系求，根據(jù)基本不等式求得，注意等號成立條件，最后利用三角形面積公式求S的最大值.【詳解】由余弦定理知：，而，所以，而，即，當且僅當時等號成立，又，當且僅當時等號成立.故答案為：14、1【解析】由兩條直線垂直可知，進而解得答案即可.【詳解】因為兩條直線垂直，所以.故答案為：1.15、①.②.【解析】利用題中所給規(guī)律求出即可.【詳解】解：由圖可知，，，，，因為符合等差數(shù)列的定義且公差為所以，所以，故答案為：，.16、8【解析】由題意，求出，然后聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理及即可求解.【詳解】解：因為拋物線的焦點坐標為，又直線過拋物線的焦點F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以.故答案為：8.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減（2）①；②證明見解析【解析】（1）求導，求解可得導函數(shù)恒小于等于0,即得證；（2）①分析函數(shù)的單調(diào)性，由有兩個實數(shù)根可求解；②由（1）得2lnxx?，再利用其放縮可得，由此有，問題得證.【小問1詳解】當a=1時，函數(shù)因為所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減；【小問2詳解】（i）由已知可得方程有兩個實數(shù)根記，則．當時，，函數(shù)k(x)是增函數(shù)；當時，，函數(shù)k(x)是減函數(shù)，所以，故（ii）易知，當x1時，，故．由（1）可知，當0x1時，，所以2lnxx?由，得，所以因為，所以18、（1）（2）【解析】（1）由圖中的幾何關系可知,故可知動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，但不能和原點重合，即可直接寫出拋物線的方程；（2）設出直線AB的方程，把點、的坐標代入拋物線方程，兩式作差后，再利用中點坐標公式求出點M的坐標，同理求出點的坐標，即可求出直線MN的方程，最后可求出直線MN過哪一定點.【小問1詳解】∵直線的方程為，點R是線段FP的中點且，∴RQ是線段FP的垂直平分線,∵,∴是點Q到直線l的距離,∵點Q在線段FP的垂直平分線，∴,則動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，但不能和原點重合，即動點Q軌跡的方程為.【小問2詳解】設，，由題意直線AB斜率存在且不為0，設直線AB的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點M的坐標為，同理設，，直線的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點的坐標為，則直線MN的斜率為，即方程為，整理得，故直線MN恒過定點.19、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解析】（1）分析可知，，直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可求得的值，即可得出橢圓的標準方程；（2）設點、，設直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出點、，由已知得出，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因為，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點，則點，當直線的傾斜角為時，直線的方程為，設點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：易知點，若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的兩個端點，不合乎題意.設直線的方程為，設點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，直線的斜率為，直線的方程為，故點，同理可得點，，，由題意可得，解得或.因此，存在滿足題設條件的直線，且直線的方程為或，點總在以線段為直徑的圓上.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.20、（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.【解析】（1）根據(jù)當AB為直徑時，過A，B的圓的半徑最小進行求解即可；（2）根據(jù)垂徑定理，通過解方程組求出圓心坐標，進而可以求出圓的方程.【詳解】解：（1）當AB為直徑時，過A，B的圓的半徑最小，從而周長最小，即AB中點(0，1)為圓心，半徑r＝|AB|＝.故圓的方程為x2＋(y－1)2＝10；（2）由于AB的斜率為k＝－3，則AB的垂直平分線的斜率為，AB的垂直平分線的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.由解得即圓心坐標是C(3，2)又r＝|AC|＝＝2.所以圓的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.21、（1）（2）【解析】（1）利用雙曲線的標準方程直接列不等式組，即可求解；（2）先求出直線l的方程為:，利用“設而不求法”和弦長公式求弦長.【小問1詳解】要使曲線：為雙曲線，只需，解得：，即的取值范圍.【小問2詳解】當m=0時,曲線C的方程為,可得，所以右焦點，由題意可得直線l的方程為:.設,聯(lián)立整理可得：,可得：所以弦長，所以22、（1）答案見解析；（2）.【解析】（