《高等代數(shù)與幾何I》教學(xué)大綱課程編號(hào)：121204A課程類型：□通識(shí)教育必修課□通識(shí)教育選修課?學(xué)科基礎(chǔ)課□專業(yè)核心課□專業(yè)提升課□專業(yè)拓展課總學(xué)時(shí)：64講課學(xué)時(shí)：64實(shí)驗(yàn)（上機(jī)）學(xué)時(shí)：0學(xué)分：4考試類型：?考試□考查適用對(duì)象：統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（金融方向）專業(yè)□是?否適合作為其他專業(yè)學(xué)生的個(gè)性化選修課先修課程：無一、教學(xué)目標(biāo)《高等代數(shù)與幾何I》是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的必修課之一。說明本課程的性質(zhì)以及在人才培養(yǎng)方案中的地位、作用和任務(wù)，明確學(xué)生在學(xué)完本課程后，在思想、知識(shí)和能力等方面應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)以及對(duì)后續(xù)課程的影響。目標(biāo)1：在學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)思想上初步完成從中學(xué)數(shù)學(xué)走向大學(xué)數(shù)學(xué)的適應(yīng)與過渡；目標(biāo)2：逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用幾何與代數(shù)相結(jié)合的方法分析問題和解決問題的能力，使學(xué)生初步掌握基本的、系統(tǒng)的代數(shù)知識(shí)和抽象的嚴(yán)格的代數(shù)方法；目標(biāo)3：為后繼課程如常微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、泛函分析、近世代數(shù)、計(jì)算方法等提供必須具備的代數(shù)知識(shí)，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的各門課程所需要的抽象思維能力提供一定的訓(xùn)練。目標(biāo)4：培養(yǎng)具堅(jiān)定理想信念、深厚愛國主義情懷、高尚道德情操，具有扎實(shí)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)專業(yè)學(xué)識(shí)，堅(jiān)韌奮斗進(jìn)取品格的社會(huì)主義新青年。二、教學(xué)內(nèi)容及其與畢業(yè)要求的對(duì)應(yīng)關(guān)系本課程在教學(xué)中要求學(xué)生正確理解《高等代數(shù)與空間解析幾何》中的基本概念，讓學(xué)生盡早地更多地掌握數(shù)學(xué)的思想和方法。突出高等代數(shù)中等價(jià)分類的思想，分解結(jié)構(gòu)的思想，同構(gòu)對(duì)應(yīng)的思想，揭示課程內(nèi)部的本質(zhì)的有機(jī)聯(lián)系。在講解內(nèi)容的同時(shí)，重點(diǎn)傳授代數(shù)學(xué)的基本思想。所選教材以線性空間為綱的做法，即把高等代數(shù)的主要內(nèi)容放在線性空間的框架下展開，同時(shí)將必要的代數(shù)方法做盡可能詳細(xì)的介紹。講課的難點(diǎn)在于把握幾何直觀和代數(shù)方法的對(duì)應(yīng)關(guān)系和互動(dòng)關(guān)系，使學(xué)生既能從幾何的觀點(diǎn)更好地理解內(nèi)容，又可把握簡(jiǎn)潔和直接的代數(shù)方法。通過活潑互動(dòng)的課堂教學(xué)，刺激學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；通過探索討論課，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性；教學(xué)中逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用幾何與代數(shù)相結(jié)合的方法分析問題和解決問題的能力。以上學(xué)生對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容的理解與掌握，以及互動(dòng)式教學(xué)方式的實(shí)現(xiàn)，是畢業(yè)要求中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理論與方法的掌握、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)定量分析問題、與外界交流溝通暢通以及具備終生學(xué)習(xí)的能力的重要訓(xùn)練。每一章的重點(diǎn)內(nèi)容要突出，在講清概念的基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)（課堂討論、作業(yè)、習(xí)題課、自學(xué)課外資料、問題探討等）以達(dá)到掌握高等代數(shù)中常用的計(jì)算方法、基本運(yùn)算中的技能和技巧以及提高綜合計(jì)算和解決問題的能力的目的。難點(diǎn)要逐步引入，分散講解。本大綱列入部分帶“*”的內(nèi)容，供學(xué)生自學(xué)。我校學(xué)習(xí)本課程的學(xué)生是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（金融數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)班）專業(yè)與統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)，故在教學(xué)過程中應(yīng)及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，必要時(shí)可以合理調(diào)整教學(xué)模式。三、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配以表格方式表現(xiàn)各章節(jié)的學(xué)時(shí)分配，表格如下：教學(xué)課時(shí)分配序號(hào)章節(jié)內(nèi)容講課實(shí)驗(yàn)其他合計(jì)1第一章向量代數(shù)90092第二章行列式1000103第三章矩陣與線性方程組2100214第四章二次型80085第五章多項(xiàng)式160016合計(jì)640064四、教學(xué)內(nèi)容第一章向量代數(shù)第一節(jié)向量及其運(yùn)算第二節(jié)直線與平面第三節(jié)曲面與空間曲線使學(xué)生掌握向量及其運(yùn)算以及線性相關(guān)性，對(duì)其有一個(gè)較直觀的認(rèn)識(shí)，能夠運(yùn)用直線與平面，曲線與曲面的知識(shí)解決后續(xù)學(xué)習(xí)中的相關(guān)問題，會(huì)畫幾種常見的曲面及其在坐標(biāo)平面上的投影。教學(xué)重點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合能力培養(yǎng)。課程的考核要求：空間解析幾何的基本思想與方法。復(fù)習(xí)思考題：課后習(xí)題。了解解析幾何學(xué)建立的重大意義。第二章行列式第一節(jié)行列式的基本概念第二節(jié)行列式的性質(zhì)第三節(jié)行列式的計(jì)算及展開式第四節(jié)Cramer法則使學(xué)生理解行列式的歸納法定義，熟練掌握行列式的性質(zhì)，熟練掌握計(jì)算行列式基本方法，并會(huì)運(yùn)用Gramer法則求線性方程組的解，了解和應(yīng)用Laplace定理，了解行列式的等價(jià)定義。教學(xué)重點(diǎn)：行列式的性質(zhì)，計(jì)算行列式的方法：累加法，降階歸納法，典型形式行列式的計(jì)算方法。教學(xué)難點(diǎn)：注意不要在計(jì)算行列式的技巧方面花過多時(shí)間和過高的要求。課程的考核要求：理解定義與性質(zhì)，會(huì)基本的行列式計(jì)算。復(fù)習(xí)思考題：比較行列式的不同定義，體會(huì)不同定義的思想本質(zhì)。第三章矩陣與線性方程組第一節(jié)n維向量空間第二節(jié)線性相關(guān)性第三節(jié)矩陣的運(yùn)算第四節(jié)矩陣乘積的行列式與秩第五節(jié)可逆矩陣第六節(jié)矩陣的分塊第七節(jié)矩陣的初等變換與初等方陣第八節(jié)線性方程組的解與解的結(jié)構(gòu)了解n維向量空間，會(huì)依據(jù)定義判定和證明向量組的線性關(guān)系，正確掌握矩陣的運(yùn)算和運(yùn)算法則，熟練掌握矩陣的初等變換這一矩陣論的核心內(nèi)容和方法，掌握計(jì)算矩陣的秩的初等變換方法和子式方法，掌握證明矩陣的秩的命題的方法，掌握方塊矩陣的運(yùn)算，特別是分塊初等變換，掌握矩陣的運(yùn)算，初等變換，等價(jià)關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算，化標(biāo)準(zhǔn)型的思想方法。熟練掌握線性方程組的解的判斷、計(jì)算和解的結(jié)構(gòu)。教學(xué)重點(diǎn)：線性相關(guān)性的判定，矩陣的初等變換與左（右）乘初等矩陣的對(duì)應(yīng)，方塊矩陣的分塊初等變換，線性方程組的解。教學(xué)難點(diǎn)：線性相關(guān)性的證明需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰蜏?zhǔn)確的表達(dá)能力，講授轉(zhuǎn)置運(yùn)算的同時(shí)介紹對(duì)稱陣和反對(duì)稱陣；作為例子介紹標(biāo)準(zhǔn)單位向量和基礎(chǔ)矩陣以及性質(zhì)；介紹可逆陣的充要條件和計(jì)算時(shí)應(yīng)該注意與初等變換和初等矩陣的聯(lián)系；講授矩陣等價(jià)要注意等價(jià)分類的思想；從行列式、矩陣相似、向量組、方程組以及矩陣分解等角度理解矩陣秩的含義。課程的考核要求：線性相關(guān)性，矩陣的初等變換，方程組的解。復(fù)習(xí)思考題：討論矩陣運(yùn)算的本質(zhì)。了解矩陣這一重要角色在代數(shù)學(xué)中的重要意義。第四章二次型第一節(jié)二次型及其矩陣表示第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)型第三節(jié)唯一性第四節(jié)正定二次型使學(xué)生掌握用非退化線性替換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范型，掌握判斷二次型的正定性的方法，從對(duì)稱矩陣的合同關(guān)系理解等價(jià)分類的思想。教學(xué)重點(diǎn)：把二次型通過線性替換化成對(duì)角形，從矩陣的合同關(guān)系反映的等價(jià)分類的思想。教學(xué)難點(diǎn)：正定性的判別。課程的考核要求：二次型與對(duì)稱矩陣的對(duì)應(yīng)，二次型的非退化線性替換與對(duì)稱陣的合同關(guān)系；二次型化簡(jiǎn)的配方法和初等變換法；復(fù)二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型，符號(hào)差，實(shí)二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型；正定型與正定矩陣。復(fù)習(xí)思考題：課后習(xí)題。第五章多項(xiàng)式第一節(jié)整數(shù)環(huán)與一元多項(xiàng)式環(huán)第二節(jié)帶余除法第三節(jié)最大公因式第四節(jié)因式分解第五節(jié)形式導(dǎo)數(shù)與重因式第六節(jié)多項(xiàng)式的根第七節(jié)有理系數(shù)多項(xiàng)式*第八節(jié)多元多項(xiàng)式*第九節(jié)對(duì)稱多項(xiàng)式使學(xué)生掌握多項(xiàng)式全體作為線性空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算法則；掌握和應(yīng)用帶余除法定理；理解最大公因式和互素的判別方法和基本性質(zhì)；掌握和應(yīng)用因式分解定理，掌握不可約多項(xiàng)式的基本性質(zhì)，了解重因式與重根的聯(lián)系，掌握復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式，了解一元三次和四次方程的根式解，理解有理系數(shù)多項(xiàng)式的Gauss引理，掌握Eisenstein判別法。教學(xué)重點(diǎn)：兩個(gè)多項(xiàng)式作為形式多項(xiàng)式的相等和作為多項(xiàng)式函數(shù)相等的定義和兩者的等價(jià)；最大公因式和互素，因式分解定理和標(biāo)準(zhǔn)分解式，有理數(shù)域上的多項(xiàng)式。教學(xué)難點(diǎn)：熟悉從多項(xiàng)式代數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)兩個(gè)不同角度研究多項(xiàng)式的方法和聯(lián)系；掌握與數(shù)域擴(kuò)大相關(guān)的多項(xiàng)式性質(zhì)和無關(guān)的性質(zhì)，Gauss引理和Eisenstein判別法證明中分析系數(shù)的方法。課程的考核要求：一元多項(xiàng)式的概念，多項(xiàng)式的運(yùn)算，整除的概念與性質(zhì)，帶余除法，Euclidean輾轉(zhuǎn)相除法，互素的性質(zhì)及判定。復(fù)習(xí)思考題：一元多項(xiàng)式與整數(shù)的關(guān)系。理解多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的區(qū)別與聯(lián)系，體會(huì)概念的特殊與一般。五、考核方式、成績(jī)?cè)u(píng)定本課程的考核成績(jī)采取平時(shí)成績(jī)（含課堂參與度、作業(yè)、小測(cè)驗(yàn)）與期末閉卷測(cè)試成績(jī)相結(jié)合的方式，擬按3:7比例分配。六、