專(zhuān)題1.11線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)（直通中考）（綜合練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰中，，分別以點(diǎn)點(diǎn)為圓心，大于為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接，直線(xiàn)與交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于兩點(diǎn)，作直線(xiàn)，交邊于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．3．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）在中，用尺規(guī)作圖，分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N．作直線(xiàn)交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．則下列結(jié)論不一定正確的是（）A． B． C． D．4．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于AC的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，作直線(xiàn)PQ分別交BC，AC于點(diǎn)D和點(diǎn)E．若CD=3，則BD的長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．6 D．75．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，是邊上的中線(xiàn)．按下列步驟作圖：①分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，；②作直線(xiàn)，分別交，于點(diǎn)，；③連接，．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．6．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）下列尺規(guī)作圖不能得到平行線(xiàn)的是（）A．B．C． D．7．（2022·廣西·中考真題）如圖，是求作線(xiàn)段AB中點(diǎn)的作圖痕跡，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．∠B＝45° B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD8．（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，．作直線(xiàn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，，，則的周長(zhǎng)為（

）A．25 B．22 C．19 D．189．（2022·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別過(guò)點(diǎn)A、B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于P、Q兩點(diǎn)；②作直線(xiàn)PQ交AB于點(diǎn)D；③以點(diǎn)D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交PQ于點(diǎn)M、連接AM、BM．若，則AM的長(zhǎng)為（

）A．4 B．2 C． D．10．（2013·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線(xiàn)上，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是的垂直平分線(xiàn).若，，則的周長(zhǎng)是.

12．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則．

13．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，，直線(xiàn)l與直線(xiàn)a，b分別交于B，A兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線(xiàn)，分別交直線(xiàn)a，b于點(diǎn)C，D，連接AC，若，則的度數(shù)為．

14．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；作直線(xiàn)交于點(diǎn)E．若線(xiàn)段，，則長(zhǎng)為．

15．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)D．交于點(diǎn)E．連接．若，，則的度數(shù)為．

16．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通過(guò)尺規(guī)作圖得到的直線(xiàn)MN分別交AB，AC于D，E，連接CD．若，則CD＝．17．（2020·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，線(xiàn)段AB、BC的垂直平分線(xiàn)、相交于點(diǎn)，若39°，則=．18．（2013·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分線(xiàn)與AB的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則∠OEC為度．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）用直尺、圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．已知：．求作：點(diǎn)P，使，且點(diǎn)P在邊的高上．20．（8分）（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，．（1）求證：；（2）用直尺和圓規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)作，垂足為．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）21．（10分）（2014·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC.（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME.求證：①M(fèi)E⊥BC；②DE=DN.22．（10分）（2011·浙江杭州·中考真題）根據(jù)給出的下列兩種情況，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)找到一條直線(xiàn)，把△ABC恰好分割成兩個(gè)等腰三角形（不寫(xiě)做法，但需保留作圖痕跡）；并根據(jù)每種情況分別猜想：∠A與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)才能完成以上作圖？并舉例驗(yàn)證猜想所得結(jié)論．（1）如圖①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°①作圖：②猜想：③驗(yàn)證：（2）如圖②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．①作圖：②猜想：③驗(yàn)證：23．（10分）（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是五邊形的一邊，若垂直平分，垂足為M，且____________，____________，則____________．給出下列信息：①平分；②；③．請(qǐng)從中選擇適當(dāng)信息，將對(duì)應(yīng)的序號(hào)填到橫線(xiàn)上方，使之構(gòu)成真命題，補(bǔ)全圖形，并加以證明．

24．（12分）（2020·山西·統(tǒng)考中考真題）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．×年×月×日

星期日沒(méi)有直角尺也能作出直角今天，我在書(shū)店一本書(shū)上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖①所示的四邊形木板，他已經(jīng)在木板上畫(huà)出一條裁割線(xiàn)，現(xiàn)根據(jù)木板的情況，要過(guò)上的一點(diǎn)，作出的垂線(xiàn)，用鋸子進(jìn)行裁割，然而手頭沒(méi)有直角尺，怎么辦呢？辦法一：如圖①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分別以，為圓心，以與為半徑畫(huà)圓弧，兩弧相交于點(diǎn)，作直線(xiàn)，則必為．辦法二：如圖②，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點(diǎn)出，兩點(diǎn)，然后把木棒斜放在木板上，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，用鉛筆在木板上將點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)，保持點(diǎn)不動(dòng)，將木棒繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在上，在木板上將點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)．然后將延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線(xiàn)上截取線(xiàn)段，得到點(diǎn)，作直線(xiàn)，則．我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學(xué)原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線(xiàn)呢？任務(wù)：（1）填空；“辦法一”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是_____________________________________；（2）根據(jù)“辦法二”的操作過(guò)程，證明；（3）①尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D③的木板上，過(guò)點(diǎn)作出的垂線(xiàn)（在木板上保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；②說(shuō)明你的作法依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實(shí)（寫(xiě)出一個(gè)即可）參考答案：1．B【分析】先根據(jù)等邊對(duì)等角求出，由作圖方法可知，是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，則，可得，由此即可得到．解：∵在等腰中，，，∴，由作圖方法可知，是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，∴，∴，∴，故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖，三角形內(nèi)角和定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】由作圖可得：為直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)，從而得到，則，再由三角形外角的定義與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．解：由作圖可得：為直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)，，，，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖—作垂線(xiàn)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】利用線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)判斷即可．解：由作圖可知，垂直平分線(xiàn)段，∴，，，故選項(xiàng)B，C，D正確，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，正確掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．C【分析】連接AD，由作圖知：DE是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，得到AD=CD=3，∠DAC=∠C=30°，求得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．解：連接AD，由作圖知：DE是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，∴AD=CD=3，∴∠DAC=∠C，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，則∠DAC=∠C=30°，∴∠BAD=120°∠DAC=90°，∴BD=2AD=6，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．5．D【分析】利用基本作圖得到MN垂直平分BC，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到OB=OC，BD=CD，OD⊥BC，則可對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷，根據(jù)等腰三角形的“三線(xiàn)合一”可對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；由于，則可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．解：由作法得MN垂直平分BC，∴OB=OC，BD=CD，OD⊥BC，所以A選項(xiàng)不符合題意；∴OD平分∠BOC，∴∠BOD=∠COD，所以B選項(xiàng)不符合題意；∵AE=CE，DB=DC，∴DE為△ABC的中位線(xiàn)，∴DEAB，所以C選項(xiàng)不符合題意；∵，∴與不全等；所以D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；作已知角的角平分線(xiàn)；過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)）．也考查了三角形中位線(xiàn)性質(zhì)．6．D【分析】利用基本作圖，根據(jù)同位角相等兩直線(xiàn)平行可對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線(xiàn)兩直線(xiàn)平行可對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線(xiàn)平行可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)平行線(xiàn)的判定方法可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．解：A.根據(jù)同位角相等兩直線(xiàn)平行可知，能得到平行線(xiàn)，故A不符合題意；B.根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線(xiàn)兩直線(xiàn)平行可知，能得到平行線(xiàn)，故B不符合題意；C.根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線(xiàn)平行可知，能得到平行線(xiàn)，故C不符合題意；D.作一個(gè)角的平分線(xiàn)和這個(gè)角一邊的垂線(xiàn)，不一定能夠得到平行線(xiàn)，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線(xiàn)的判定．7．A【分析】根據(jù)中點(diǎn)的作圖，可知CD垂直平分AB，再根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行作答即可．解：由題意得，CD垂直平分AB，，則B、C、D選項(xiàng)均成立，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)段中點(diǎn)作圖及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得BD＝CD，由△ABD的周長(zhǎng)＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．解：由作圖的過(guò)程可知，DE是BC的垂直平分線(xiàn)，∴BD＝CD，∵，，∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故選：C【點(diǎn)撥】此題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作圖、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)等知識(shí)，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】根據(jù)作圖可知垂直平分，，是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．解：由作圖可得垂直平分，則是等腰直角三角形∴由勾股定理得：故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了作垂線(xiàn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握基本作圖理解題意是解題的關(guān)鍵．10．D解：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′點(diǎn)，連接AB′，交y軸于點(diǎn)C′，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小，∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），∴B′點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0），則OB′=3，過(guò)點(diǎn)A作AE垂直x軸，則AE=4，OE=1，則B′E=4，即B′E=AE，∴∠EB′A=∠B′AE，∵C′O∥AE，∴∠B′C′O=∠B′AE，∴∠B′C′O=∠EB′A，∴B′O=C′O=3，∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（0，3），此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最?。蔬xD．11．13【分析】根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，即可求解．解：是的垂直平分線(xiàn)．，，的周長(zhǎng)，故答案為：13．【點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．/10度【分析】由，，求得，根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)、等邊對(duì)等角和直角三角形的兩銳角互余求得．解：∵，，∴，∵是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了直角三角形的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)，熟記直角三角形的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．/56度【分析】先判斷為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，即可得，，再由，可得，即有，利用三角形內(nèi)角和定理可求的度數(shù)．解：由作圖可知為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了垂直平分線(xiàn)的作圖、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，判斷為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)是解答本題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)作圖可知：是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，即有，再在中，，問(wèn)題得解．解：連接，如圖，

根據(jù)作圖可知：是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，∴，∵，，，∴在中，，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖，垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，得出是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，是解答本題的關(guān)鍵．15．/度【分析】先在中利用等邊對(duì)等角求出的度數(shù)，然后根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，再利用等邊對(duì)等角得出，最后結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求解．解：∵，，∴，∵是的垂直平分線(xiàn)，∴，∴，又，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握等腰三角形的等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．16．【分析】先求解AE，AC，再連結(jié)BE，證明利用勾股定理求解BC，AB，從而可得答案．解：，如圖，連結(jié)由作圖可得：是的垂直平分線(xiàn)，故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的作圖與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡(jiǎn)，熟悉幾何基本作圖與基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．17．78【分析】如圖，利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到∠AOC=∠2+∠3=2（∠A+∠C），再利用垂直的定義結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到∠AOG=51∠A，∠COF=51∠C，利用平角的定義得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，計(jì)算即可求解．解：如圖，連接BO并延長(zhǎng)，∵、分別是線(xiàn)段AB、BC的垂直平分線(xiàn)，∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90，∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=9039=51，∴∠AOC=∠2+∠3=2（∠A+∠C），∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，∴∠AOG=51∠A，∠COF=51∠C，而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，∴51∠A+2∠A+2∠C+51∠C+39=180，∴∠A+∠C=39，∴∠AOC=2（∠A+∠C）=78，故答案為：78．【點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，垂直的定義，平角的定義，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握整體思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．18．108【分析】連接、，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，再根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，再求出，然后判斷出點(diǎn)是的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可．解：如圖，連接、，

，為的平分線(xiàn)，，又，，是的垂直平分線(xiàn)，，，，為的平分線(xiàn)，，，點(diǎn)在的垂直平分線(xiàn)上，又是的垂直平分線(xiàn)，點(diǎn)是的外心，，將沿在上，在上）折疊，點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，，，在中，，故答案為：108．【點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)．19．見(jiàn)分析【分析】作的垂直平分線(xiàn)和邊上的高，它們的交點(diǎn)為P點(diǎn)．解：如圖，點(diǎn)P為所作．

【點(diǎn)撥】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．20．（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)邊角邊證明即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)向直線(xiàn)最垂線(xiàn)的作法得出即可．解：（1）證明：∵，，，∴，∴；（2）解：所作圖形如圖，．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)向直線(xiàn)最垂線(xiàn)的作法，熟練記憶正確作法是解題關(guān)鍵．21．（1）證明見(jiàn)分析；（2）①證明見(jiàn)分析；②證明見(jiàn)分析.【分析】（1）通過(guò)角的轉(zhuǎn)換和等腰直角三角形的性質(zhì)，得到∠BAE=∠CAF和∠B=∠FCA，從而ASA證明△ABF≌△ACF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到結(jié)論.（2）①過(guò)E點(diǎn)作EG⊥AB于點(diǎn)G，通過(guò)證明EG是BM的垂直平分線(xiàn)就易得出結(jié)論；②通過(guò)證明Rt△AMC≌Rt△EMC和△ADE≌△CDN來(lái)證明結(jié)論.解：（1）如圖，∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE，∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°，∴∠1=∠2，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠FCA=90°∠ACB=45°，∴∠B=∠FCA，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF.（2）①如圖，過(guò)E點(diǎn)作EG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠B=45°，∴△CBE是等腰直角三角形，∴BG=EG，∠3=45°，AE平分∠BAD，∵BM=2DE，∴BM=2BG，即點(diǎn)G是BM的中點(diǎn)∴EG是BM的垂直平分線(xiàn)，∴∠4=∠3=45°∴∠MEB=∠4+∠3=90°，∴ME⊥BC②∵AD⊥BC，∴ME∥AD，∴∠5=∠6∵∠1=∠5，∴∠1=∠6，∴AM=EM∵M(jìn)C=MC，∴Rt△AMC≌Rt△EMC（HL）.∴∠7=∠8∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°∴∠5=∠7=22.5°，AD=CD.∵∠ADE=∠CDN=90°，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE=DN.22．（1）①詳見(jiàn)分析;②猜想：∠A+∠B=90°;③驗(yàn)證：詳見(jiàn)分析;（2）①詳見(jiàn)分析;②猜想：∠B=3∠A;③詳見(jiàn)分析;【分析】根據(jù)等腰三角形判定作圖:（1）①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線(xiàn)段AB（或AC、或BC）的垂直平分線(xiàn)，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）兩類(lèi)方法均可;②猜想：∠A+∠B=90°，③根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得;（2）①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線(xiàn)段AB（或AC、或BC）的垂直平分線(xiàn)，或作∠ACD=∠A或在線(xiàn)段CA上截取CD=CB三種方法均可;②猜想：∠B=3∠A;③根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得;.解：（1）①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線(xiàn)段AB（或AC、或BC）的垂直平分線(xiàn)，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）兩類(lèi)方法均可，在邊AB上找出所需要的點(diǎn)D，則直線(xiàn)CD即為所求②猜想：∠A+∠B=90°，③驗(yàn)證：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°時(shí)，有∠A+∠B=90°，此時(shí)就能找到一條把△