江西省宜春實驗中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的左、右焦點分別為，為軸上一點，為正三角形，若，的中點恰好在橢圓上，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.2．已知點的坐標為(5，2)，F(xiàn)為拋物線的焦點，若點在拋物線上移動，當取得最小值時，則點的坐標是A.(1，) B.C. D.3．已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角為（）A. B.C. D.4．已知則是的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.6．設(shè)等比數(shù)列，有下列四個命題：①{a②是等比數(shù)列；③是等比數(shù)列；④lgan其中正確命題的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.47．等差數(shù)列前項和，已知，，則的值是（）.A. B.C. D.8．已知橢圓的左、右頂點分別為，上、下頂點分別為.點為上不在坐標軸上的任意一點，且四條直線的斜率之積大于，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知點是雙曲線的左、右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則（）A.與雙曲線的實軸長相等B.的面積為C.雙曲線的離心率為D.直線是雙曲線的一條漸近線10．在直三棱柱中，側(cè)面是邊長為的正方形，，，且，則異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.11．直線分別與曲線，交于，兩點，則的最小值為（）A. B.1C. D.212．已知命題：若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則；命題：等軸雙曲線的離心率為，則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線的一條切線的斜率為，該切線的方程為________.14．隨機投擲一枚均勻的硬幣兩次，則兩次都正面朝上的概率為______15．設(shè)、、是三個不同的平面，、是兩條不同的直線，給出下列三個結(jié)論：①若，，則；②若，，則；③若，，則其中，正確結(jié)論的序號為__16．在數(shù)列中，，且，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓O：與圓C：（1）在①，②這兩個條件中任選一個，填在下面的橫線上，并解答若______，判斷這兩個圓的位置關(guān)系；（2）若，求直線被圓C截得的弦長注：若第（1）問選擇兩個條件分別作答，按第一個作答計分18．（12分）某市為加強市民對新冠肺炎的知識了解，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組：第1組[20，25），共5人，第2組[25，30），共35人，第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求a的值；（2）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場宣傳活動，且該市決定在第3，4組的志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求第3組至少有-名志愿者被抽中的概率.19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線（）的焦點F到雙曲線的漸近線的距離為1.（1）求拋物線C的方程；（2）若不經(jīng)過原點O的直線l與拋物線C交于A、B兩點，且，求證：直線l過定點.20．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點為F，且E上一點P到F的最大距離3（1）求橢圓E的方程；（2）若A，B為橢圓E上的兩點，線段AB過點F，且其垂直平分線交x軸于H點，，求21．（12分）已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足（1）求及的值；（2）求在點處的切線方程22．（10分）如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點，過點作交于點.求證：（1）平面；（2）平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意得，取線段的中點，則根據(jù)題意得，，根據(jù)橢圓的定義可知，然后解出離心率的值.【詳解】因為為正三角形，所以，取線段的中點，連結(jié)，則，所以，得，所以橢圓的離心率.故選：A.【點睛】求解離心率及其范圍的問題時，解題的關(guān)鍵在于畫出圖形，根據(jù)題目中的幾何條件列出關(guān)于，，的齊次式，然后得到關(guān)于離心率的方程或不等式求解2、D【解析】過作準線的垂線，垂足為，則，當且僅當三點共線時等號成立，此時，故，所以，選D3、D【解析】由直線與垂直得到的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得到答案.【詳解】因為直線與垂直，且，所以，解得，設(shè)的傾斜角為，，所以.故選：D4、A【解析】先解不等式，再比較集合包含關(guān)系確定選項.【詳解】因為，所以是的充分不必要條件，選A.【點睛】本題考查解含絕對值不等式、解一元二次不等式以及充要關(guān)系判定，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標準方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)對四個命題逐一分析，由此確定正確命題的個數(shù).【詳解】是等比數(shù)列可得（為定值）①為常數(shù)，故①正確②，故②正確③為常數(shù)，故③正確④不一定為常數(shù)，故④錯誤故選C.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故，故，故選8、A【解析】設(shè)，求得，得到，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由橢圓的方程，可得，設(shè)，則，由，因為四條直線的斜率之積大于，即，所以，則離心率，又因為橢圓離心率，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A.9、B【解析】由題意及雙曲線的定義可得，的值，進而可得A不正確，計算可判斷B正確，再求出，的關(guān)系可得C不正確，求出，的關(guān)系，進而求出漸近線的方程，可得D不正確【詳解】因為，又由題意及雙曲線的定義可得：，則，，所以A不正確；因為在以為直徑的圓上，所以，所以，所以B正確；在△中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B10、C【解析】分析得出，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得異面直線與所成的角.【詳解】由題意可知，，因為，，則，，因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則點、、、，，，，因此，異面直線與所成的角為.故選：C.11、B【解析】設(shè)，，，，得到，用導數(shù)法求解.【詳解】解：設(shè)，，，，則，，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，函數(shù)的最小值為1，故選：B12、D【解析】先判斷出p、q的真假，再分別判斷四個選項的真假.【詳解】因為“若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則或”，所以p為假命題；對于等軸雙曲線，，所以離心率為，所以q為真命題.所以假命題，故A錯誤；為假命題，故B錯誤；為假命題，故C錯誤；為真命題，故D正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】使用導數(shù)運算公式求得切點處的導數(shù)值，并根據(jù)導數(shù)的幾何意義等于切線斜率求得切點的橫坐標，進而得到切點坐標，然后利用點斜式求出切線方程即可.【詳解】的導數(shù)為，設(shè)切點為，可得，解得，即有切點，則切線的方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查導數(shù)的加法運算，導數(shù)的幾何意義，和求切線方程，難度不大，關(guān)鍵是正確的使用導數(shù)運算公式求得切點處的導數(shù)值，14、##【解析】列舉出所有情況，利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】隨機投擲一枚均勻的硬幣兩次，共有：正正，正反，反正，反反共4種情況，兩次都是正面朝上的有：正正1種情況，所以兩次都正面朝上的概率為，故答案為：15、①②【解析】利用線面垂直的性質(zhì)可判斷命題①、②的正誤；利用特例法可判斷命題③的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】、、是三個不同的平面，、是兩條不同的直線.對于①，若，，由同垂直于同一平面的兩直線平行，可得，故①正確；對于②，若，，由同垂直于同一直線的兩平面平行，可得，故②正確；對于③，若，，考慮墻角處的三個平面兩兩垂直，可判斷、相交，則不正確故答案為：①②【點睛】本題考查空間中線面、面面位置關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.16、##【解析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即數(shù)列為周期數(shù)列，然后求出即可【詳解】根據(jù)題意可得：，，，故數(shù)列為周期數(shù)列可得：故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）選①:外離；選②：相切;（2）【解析】(1)不論選①還是選②，都要首先算出兩圓的圓心距，然后和兩圓的半徑之和或差進行比較即可；(2)根據(jù)點到直線的距離公式，先計算圓心到直線的距離，然后利用圓心距、半徑、弦長的一半之間的關(guān)系求解.【小問1詳解】選①圓O的圓心為，半徑為l；圓C的圓心為，半徑為因為兩圓的圓心距為，且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外離選②圓O的圓心為，半徑為1．圓C的圓心為，半徑為2因為兩圓的圓心距為．且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外切【小問2詳解】因為點C到直線的距離，所以直線被圓C截得的弦長為18、（1）0.04；（2）.【解析】（1）根據(jù)頻率的計算公式，結(jié)合概率之和為1，即可求得參數(shù)；（2）根據(jù)題意求得抽樣比以及第三組和第四組各抽取的人數(shù)，再列舉所有可能抽取的情況，找出滿足題意的情況，利用古典概型的概率計算公式即可求得結(jié)果.【小問1詳解】第一組頻率為，第二組的頻率為，則第一組與第二組的頻率之和為，又，故.【小問2詳解】第3組的人數(shù)為，第4組的人數(shù)為，第5組的人數(shù)為，因為第3，4，5組共有60名志愿者，所以利用分層抽樣的方法在60名志題者中抽收6名志愿者，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組：；第4組：；第5組：.記第3組的3名志愿者為，第4組的2名志愿者為，則從5名志愿者中抽取2名志愿者有：，，共有10種其中第3組的3名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有：，共9種.所以第3組至少有一名志愿者被抽中的概率為.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，由點到直線距離公式可得參數(shù)值得拋物線方程；（2）設(shè)直線方程為，，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達定理得，代入可得值，得定點坐標【小問1詳解】已知雙曲線的一條漸近線方程為，即，拋物線的焦點為，所以，解得（因為），所以拋物線方程為；【小問2詳解】由題意設(shè)直線方程為，設(shè)由得，，，又，所以，所以，直線不過原點，，所以所以直線過定點20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)離心率和最大距離建立等式即可求解；（2）根據(jù)弦長，求出直線方程，解出點的坐標即可得解.【詳解】（1）橢圓的離心率為，右焦點為F，且E上一點P到F的最大距離3，所以，所以，所以橢圓E的方程；（2）A，B為橢圓E上的兩點，線段AB過點F，且其垂直平分線交x軸于H點，所以線段AB所在直線斜率一定存在，所以設(shè)該直線方程代入，整理得：，設(shè)，，，整理得：，當時，線段中點坐標，中垂線方程：，；當時，線段中點坐標，中垂線方程：，，綜上所述：.21、（1）；；（2）.【解析】（1）由題可得，進而可得，然后可得，即得；（2）由