第7講解三角形應(yīng)用舉例一、選擇題1．在相距2km的A，B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為()A.eq\r(6)kmB.eq\r(2)kmC.eq\r(3)kmD．2km解析如圖，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴eq\f(AC,sin60°)＝eq\f(2,sin45°)，∴AC＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6)(km)．答案A2．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里解析如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．答案A3．(2017·合肥調(diào)研)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與B的距離為()A．a(chǎn)km B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm解析由題圖可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2·a·a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，解得AB＝eq\r(3)a(km)．答案B4．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭B.已知AB＝1km，水的流速為2km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6min，則客船在靜水中的速度為()A．8km/h B．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/h D．10km/h解析設(shè)AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為vkm/h，由題意知，sinθ＝eq\f(0.6,1)＝eq\f(3,5)，從而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))2＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).選B.答案B5．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于()A．5eq\r(6)B．15eq\r(3)C．5eq\r(2)D．15eq\r(6)解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).答案D二、填空題6．如圖所示，一艘海輪從A處出發(fā)，測(cè)得燈塔在海輪的北偏東15°方向，與海輪相距20海里的B處，海輪按北偏西60°的方向航行了30分鐘后到達(dá)C處，又測(cè)得燈塔在海輪的北偏東75°的方向，則海輪的速度為________海里/分．解析由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以AC＝eq\f(AB·sinB,sin∠ACB)＝eq\f(20×sin60°,sin45°)＝10eq\r(6)，所以海輪航行的速度為eq\f(10\r(6),30)＝eq\f(\r(6),3)(海里/分)．答案eq\f(\r(6),3)7．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距________m.解析如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．答案10eq\r(3)8．在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30°，60°，則塔高為________m.解析如圖，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200m，∴AC＝eq\f(400,3)eq\r(3)(m)．在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos120°＝3CD2，∴CD＝eq\f(1,\r(3))AC＝eq\f(400,3)(m)．答案eq\f(400,3)三、解答題9．如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上．(1)求漁船甲的速度；(2)求sinα的值．解(1)依題意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.所以漁船甲的速度為eq\f(BC,2)＝14海里/時(shí)．(2)在△ABC中，因?yàn)锳B＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°)，即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).10．(2015·安徽卷)在△ABC中，A＝eq\f(3π,4)，AB＝6，AC＝3eq\r(2)，點(diǎn)D在BC邊上，AD＝BD，求AD的長(zhǎng)．解設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3eq\r(2))2＋62－2×3eq\r(2)×6×coseq\f(3π,4)＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝3eq\r(10).又由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsin∠BAC,a)＝eq\f(3,3\r(10))＝eq\f(\r(10),10)，由題設(shè)知0<B<eq\f(π,4)，所以cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\r(1－\f(1,10))＝eq\f(3\r(10),10).在△ABD中，因?yàn)锳D＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B.由正弦定理，得AD＝eq\f(AB·sinB,sinπ－2B)＝eq\f(6sinB,2sinBcosB)＝eq\f(3,cosB)＝eq\r(10).11．如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC＝a，從D，C兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)仰角分別為α，β(α＜β)，則點(diǎn)A離地面的高AB等于()A.eq\f(asinα·sinβ,sinβ－α) B.eq\f(asinα·sinβ,cosβ－α)C.eq\f(acosα·cosβ,sinβ－α) D.eq\f(acosα·cosβ,cosβ－α)解析結(jié)合題圖示可知，∠DAC＝β－α.在△ACD中，由正弦定理得：eq\f(DC,sin∠DAC)＝eq\f(AC,sinα)，∴AC＝eq\f(asinα,sin∠DAC)＝eq\f(asinα,sinβ－α).在Rt△ABC中，AB＝ACsinβ＝eq\f(asinαsinβ,sinβ－α).答案A12．如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于()A．240(eq\r(3)＋1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析如圖，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m，在Rt△ACD中，CD＝eq\f(AD,tan∠ACD)＝eq\f(60,tan30°)＝60eq\r(3)(m)，在Rt△ABD中，BD＝eq\f(AD,tan∠ABD)＝eq\f(60,tan75°)＝eq\f(60,2＋\r(3))＝60(2－eq\r(3))(m)，∴BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)(m)．答案C13．(2017·西安調(diào)研)某人為測(cè)出所住小區(qū)的面積，進(jìn)行了一些測(cè)量工作，最后將所住小區(qū)近似地畫成如圖所示的四邊形，測(cè)得的數(shù)據(jù)如圖所示，則該圖所示的小區(qū)的面積是________km2.解析如圖，連接AC，由余弦定理可知AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cosB)＝eq\r(3)，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(AD,sin∠DCA)，即AD＝eq\f(ACsin∠DCA,sin∠ADC)＝eq\f(\r(3)·\f(\r(6)－\r(2),4),\f(1,2))＝eq\f(3\r(2)－\r(6),2)，故S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2)－\r(6),2)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(6－\r(3),4)(km2)．答案eq\f(6－\r(3),4)14．如圖，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向距A為(eq\r(3)－1)海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A為2海里的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)海里/時(shí)的速度追截走私船．此時(shí)走私船正以10海里/時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的時(shí)間(注：eq\r(6)≈2.449)．解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船，則有CD＝10eq\r(3)t(海里)，BD＝10t(海里)．在△ABC中，∵AB＝(eq\r(3)－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根據(jù)余弦定理，可得BC＝eq\r(\r(3)－12＋22－2×2×\r(3)－1cos120°)＝eq\r(6)(海里)．根據(jù)正弦定理，可得sin∠ABC＝eq\f(ACsin120°,BC)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(6))＝eq\f