第七章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.通過具體的實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量的分布列及方差的概念數(shù)學(xué)抽象2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問題數(shù)據(jù)分析自學(xué)導(dǎo)引設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差Xx1x2…xnPp1p2…pn方差標(biāo)準(zhǔn)差【預(yù)習(xí)自測(cè)】1．離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了隨機(jī)變量的什么性質(zhì)？提示：離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差度量了隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度．2．離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定還是方差越小越穩(wěn)定？提示：離散型隨機(jī)變量的方差越小，隨機(jī)變量越穩(wěn)定．(1)D(aX＋b)＝__________；(2)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝__________．【預(yù)習(xí)自測(cè)】設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)＝1，則D(2X＋1)的值為 (

)A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【解析】D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.a2D(X)幾個(gè)常見的結(jié)論p(1－p)課堂互動(dòng)(1)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為題型1離散型隨機(jī)變量的方差(2)某運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率p＝0.8，則該運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中命中次數(shù)X的方差為________．【答案】(1)C(2)0.16【解析】依題意知X服從兩點(diǎn)分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法(1)已知分布列類型(非兩點(diǎn)分布)：直接利用定義求解．先求均值，再求方差．(2)未知分布列類型：求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識(shí)先求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成(1)中的情況．(3)已知分布列是兩點(diǎn)分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解．已知X的分布列如下：題型2方差的性質(zhì)的應(yīng)用(1)求X2的分布列；(2)計(jì)算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力，公式的記憶不能出錯(cuò)，注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aX＋b)＝a2D(X)，這樣處理既避免了求隨機(jī)變量aX＋b的分布列，又避免了復(fù)雜的計(jì)算．2．已知η的分布列為(1)求η的方差及標(biāo)準(zhǔn)差；(2)設(shè)Y＝2η－E(η)，求D(Y).為選拔奧運(yùn)會(huì)射擊選手，對(duì)甲、乙兩名射手進(jìn)行選拔測(cè)試．已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η.甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人．題型3方差的實(shí)際應(yīng)用解：(1)依據(jù)題意知，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2，∴乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴ξ，η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)結(jié)合(1)中ξ，η的分布列，可得E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.∵E(ξ)＞E(η)，說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高．又∵D(ξ)<D(η)，說明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定．∴甲的射擊技術(shù)好，選擇甲．1．解題時(shí)可采用比較分析法，通過比較兩個(gè)隨機(jī)變量的均值和方差得出結(jié)論．2．均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，在兩種產(chǎn)品相比較時(shí)，只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)?，還需比較它們與其均值的偏離程度，即通過比較方差，才能得出更準(zhǔn)確的判斷．3．甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為ξ0123P0.30.30.20.2η012ηP0.10.50.4P試評(píng)定兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平．解：甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)ξ的均值和方差分別為E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)η的均值和方差分別為E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因?yàn)镋(ξ)＝E(η)，D(ξ)＞D(η)，所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散和波動(dòng)，乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定．故乙保護(hù)區(qū)的管理水平更高．分析：根據(jù)題目中給出的條件，利用方差與均值公式列出方程組求解．思想方法方程思想在方差中的應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：由于離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差之間存在著緊密的聯(lián)系，所以在解決此類問題時(shí)要熟練掌握公式，利用題目中所給出的條件，合理地列出方程或方程組求解，同時(shí)也應(yīng)注意合理選擇公式，簡(jiǎn)化問題的解答過程．素養(yǎng)達(dá)成2．求離散型隨機(jī)變量X的均值、方差的步驟：(1)理解X的意義，寫出X的所有可能的取值；(2)求X取每一個(gè)值的概率；(3)寫出隨機(jī)變量X的分布列；(4)由均值、方差的定義求E(X)，D(X).1．(題型2)若離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則2X－1的標(biāo)準(zhǔn)差為

(

)A．8 B．15C．16 D．32【答案】C【答案】ABC【答案】D5．(題型3)已知甲、乙兩家工廠生產(chǎn)的燈泡的壽命X和Y(單位：時(shí))的分布如下表所示：X90010001100P0.10.80.1Y95010001050P0.30.40.3試問哪家工廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好？解：由期望的定義，得E(X)＝900×0.1＋1000×0.8＋1100×0.1＝1000，E(Y)＝950×0.3＋1000×0.4＋1050×0.3＝1000.由方差的定義，得D(X)＝(900－1000)2×0.1＋(1000－1000)2×0.8＋(1100－1000)2×0.1＝2000，D(Y)