第十四章因式分解壓軸訓(xùn)練0101壓軸總結(jié)目錄TOC\o"1-3"\h\u壓軸題型一已知因式分解的結(jié)果求參數(shù) 1壓軸題型二已知因式分解中錯題正解 2壓軸題型三利用整體法提公因式因式分解 3壓軸題型四因式分解要徹底分解 5壓軸題型五利用十字相乘法因式分解 8壓軸題型六分組分解法因式分解 14壓軸題型七因式分解的應(yīng)用 17002壓軸題型壓軸題型一已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)例題：（2024上·重慶南川·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的多項式可以分解為，則常數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）已知二次三項式有一個因式是，則的值為.2．多項式可以因式分解為，則系數(shù)．壓軸題型二已知因式分解中錯題正解例題：甲、乙兩個同學(xué)分解因式時，甲看錯了，分解結(jié)果為；乙看錯了，分解結(jié)果為，則正確的分解結(jié)果為．鞏固訓(xùn)練1．在分解因式時，小明看錯了b，分解結(jié)果為；小張看錯了a，分解結(jié)果為，求a，b的值．壓軸題型三利用整體法提公因式因式分解例題：（2024上·四川眉山·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：．鞏固訓(xùn)練1．把式子分解因式，結(jié)果是2．因式分解：3．分解因式：(1)．(2)．壓軸題型四因式分解要徹底分解例題：因式分解(1)(2)鞏固訓(xùn)練1．因式分解：．2．分解因式：(1)；(2)．3．因式分解(1)(2)4．分解因式．(1)；(2)．壓軸題型五利用十字相乘法因式分解例題：（2024上·北京東城·八年級統(tǒng)考期末）利用整式的乘法運算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數(shù)與常數(shù)項分別進行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式的二項式系數(shù)2與常數(shù)項12分別進行適當(dāng)?shù)姆纸猓鐖D2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)結(jié)合本題知識，分解因式：．鞏固訓(xùn)練1．十字相乘法分解因式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)2．閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．第一步：二次項；第二步：常數(shù)項，畫“十字圖”驗算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項．即．像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運用結(jié)論：(1)將多項式進行因式分解，可以表示為_______________；(2)若可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．壓軸題型六分組分解法因式分解例題：閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：(1)因式分解：；(2)已知，求的值．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·山西長治·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如“”，細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，后兩項也可以提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，其過程如下：.此種因式分解的方法叫做“分組分解法”.任務(wù)：(1)因式分解：(2)已知，，求的值.2．閱讀下列文字與例題：將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法稱作分組分解．例如：以下兩個式子的分解因式的方法就稱為分組分解法．①；②試用上述方法分解因式：(1)；(2)．3．八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將因式分解．經(jīng)過小組合作交流，得到了如下的解決方法：解法一：原式解法二：原式小明由此體會到，對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法等方法達到因式分解的目的．這種方法可以稱為分組分解法．(溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止)請你也試一試利用分組分解法進行因式分解：(1)因式分解：；(2)因式分解：．壓軸題型七因式分解的應(yīng)用例題：我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、添項拆項法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個多項式適當(dāng)分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項；4．觀察得出原二次三項式的兩個因式，并表示出分解結(jié)果．這種分解方法叫作十字相乘法．例如：

分析：

觀察得出：兩個因式分別為與解：原式③添項拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項法．例如：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）______；②（十字相乘法）______；(2)已知：a、b、c為的三條邊，，判斷的形狀．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：，，2，，，，分別對應(yīng)下列六個字：華、我、愛、美、游、中，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．愛我中華 B．我游中華 C．中華美 D．我愛美2．（2024·全國·八年級競賽）已知，則的值（

）．A．一定是負數(shù) B．一定是正數(shù) C．一定不是正數(shù) D．不能確定3．（2024上·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）［閱讀材料］將四項及四項以上的多項式進行因式分解，我們一般使用分組分解法．分組分解法有兩種分法：一是“”分組．二是“”分組．兩種分組的主要區(qū)別就在于多項式中是否存在三項可以構(gòu)成完全平方，若可以構(gòu)成完全平方，則采用“”分組；若無法構(gòu)成，則采用“”分組．例如：；．［應(yīng)用知識］（1）因式分解：．（2）因式分解：．［拓展應(yīng)用］（3）已知一三角形的三邊長分別是，且滿足：．試判斷這個三角形的形狀，并說明理由．4．（2024上·廣東汕頭·八年級校聯(lián)考期末）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做配方法，運用配方法及平方差公式能對一些多項式進行因式分解．例如：．即：．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)因式分解：；(2)已知，，是的三邊長，且滿足，求的最長邊的取值范圍；(3)已知，，是的三邊長，且滿足，求的周長．

第十四章因式分解壓軸訓(xùn)練0101壓軸總結(jié)目錄TOC\o"1-3"\h\u壓軸題型一已知因式分解的結(jié)果求參數(shù) 1壓軸題型二已知因式分解中錯題正解 2壓軸題型三利用整體法提公因式因式分解 3壓軸題型四因式分解要徹底分解 5壓軸題型五利用十字相乘法因式分解 8壓軸題型六分組分解法因式分解 14壓軸題型七因式分解的應(yīng)用 17002壓軸題型壓軸題型一已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)例題：（2024上·重慶南川·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的多項式可以分解為，則常數(shù)．【答案】1【分析】本題考查了因式分解的意義，利用因式分解得出相等整式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)整式合并后對應(yīng)項的系數(shù)相等即可解答．【詳解】解：∵關(guān)于x的多項式可以分解為，∴，∴．故答案為：1．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）已知二次三項式有一個因式是，則的值為.【答案】【分析】設(shè)另一個因式為，得，根據(jù)整式的乘法運算法則即可求解．本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對題中所給解題思路的理解，同時要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式．【詳解】解：設(shè)另一個因式為，得，則∴，解得，∴另一個因式為，的值為．故答案為：．2．多項式可以因式分解為，則系數(shù)．【答案】【分析】利用多項式乘多項式法則將展開，即可得到k的值．【詳解】解：，∵多項式可以因式分解為，∴．故答案為：．【點睛】此題主要考查了因式分解的定義和整式乘法，利用多項式乘多項式法則將正確展開是解題關(guān)鍵．壓軸題型二已知因式分解中錯題正解例題：甲、乙兩個同學(xué)分解因式時，甲看錯了，分解結(jié)果為；乙看錯了，分解結(jié)果為，則正確的分解結(jié)果為．【答案】【分析】根據(jù)題意分別運算和，確定、的值，然后進行因式分解即可．【詳解】解：∵甲看錯了，分解結(jié)果為，∴由，可知，又∵乙看錯了，分解結(jié)果為，∴由，可知，∴，∵，∴正確的分解結(jié)果為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了整式乘法運算以及因式分解的知識，解決本題的關(guān)鍵是理解題意，求出、的值．鞏固訓(xùn)練1．在分解因式時，小明看錯了b，分解結(jié)果為；小張看錯了a，分解結(jié)果為，求a，b的值．【答案】，【分析】根據(jù)題意甲看錯了b，分解結(jié)果為，可得a系數(shù)是正確的，乙看錯了a，分解結(jié)果為，b系數(shù)是正確的，在利用因式分解是等式變形，可計算的參數(shù)a、b的值．【詳解】解：∵，小明看錯了b，∴，∵，小張看錯了a，∴，∴，．【點睛】本題主要考查因式分解的系數(shù)計算，解題的關(guān)鍵在于弄清哪個系數(shù)是正確的．壓軸題型三利用整體法提公因式因式分解例題：（2024上·四川眉山·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：．【答案】【分析】本題考查了公式法及提公因式法分解因式，熟練掌握分解因式的方法是關(guān)鍵．按照提公因式法分解法進行分解因式即可．【詳解】解：．故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．把式子分解因式，結(jié)果是【答案】【分析】此題考查了因式分解的方法，先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【詳解】．故答案為：．2．因式分解：【答案】【分析】本題考查的是因式分解，熟練的利用提公因式的方法分解因式是解本題的關(guān)鍵，本題先提取公因式，分解后再次提取公因式2，從而可得答案．【詳解】解：；3．分解因式：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；（2）利用提公因式法因式分解即可．【詳解】（1）．（2）．【點睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．壓軸題型四因式分解要徹底分解例題：因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．因式分解：．【答案】【分析】先利用完全平方公式和平方差公式化簡，再利用十字相乘進行因式分解即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握完全平方公式和平方差公式以及十字相乘是解題的關(guān)鍵．2．分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）用提公因式法分解因式即可；（2）先提公因式，然后再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．3．因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可；（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了提公因式與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．4．分解因式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原式先提取公因式y(tǒng)，再運用完全平方公式進行因式分解即可；（2）先運用平方差公式分解，再提取公因式即可【詳解】（1）==（2）===【點睛】此題考查了提公因式法，公式法分解因式．解題的關(guān)鍵是注意因式分解的步驟：先提公因式，再利用公式法分解，注意分解要徹底．壓軸題型五利用十字相乘法因式分解例題：（2024上·北京東城·八年級統(tǒng)考期末）利用整式的乘法運算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數(shù)與常數(shù)項分別進行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式的二項式系數(shù)2與常數(shù)項12分別進行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)結(jié)合本題知識，分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查多項式乘多項式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識的掌握與運用．（1）利用十字相乘法進行求解即可；（2）利用十字相乘法進行求解即可；（3）先分組，再利用十字相乘法進行求解即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，；（3）解：，．鞏固訓(xùn)練1．十字相乘法分解因式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)【分析】本題主要考查十字法因式分解的應(yīng)用：（1），從而運用十字相乘法可分解因式；（2），從而運用十字相乘法可分解因式；（3），從而運用十字相乘法可分解因式；（4），從而運用十字相乘法可分解因式；（5），從而運用十字相乘法可分解因式；（6），從而運用十字相乘法可分解因式；（7），從而運用十字相乘法可分解因式；（8），從而運用十字相乘法可分解因式；（9），從而運用十字相乘法可分解因式；（10），從而運用十字相乘法可分解因式；（11），從而運用十字相乘法可分解因式；（12），從而運用十字相乘法可分解因式【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）；（9）；（10）；（11）（12）．2．閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．第一步：二次項；第二步：常數(shù)項，畫“十字圖”驗算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項．即．像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運用結(jié)論：(1)將多項式進行因式分解，可以表示為_______________；(2)若可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．【答案】(1)(2)圖見解析，，，，16【分析】（1）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可；（2）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可．【詳解】（1）解：，常數(shù)項，，，故答案為：；（2）解：，常數(shù)項，畫“十字圖”如下：

，，，16．【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解題的關(guān)鍵．壓軸題型六分組分解法因式分解例題：閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：(1)因式分解：；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解的新方法，及其應(yīng)用．(1)根據(jù)方法，適當(dāng)分組分解即可．(2)先因式分解，后代入求值即可．【詳解】（1）．（2），又，故原式．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·山西長治·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如“”，細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，后兩項也可以提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，其過程如下：.此種因式分解的方法叫做“分組分解法”.任務(wù)：(1)因式分解：(2)已知，，求的值.【答案】(1)(2)，8【分析】本題考查因式分解，掌握“分組分解法”是解題的關(guān)鍵．（1）仿照材料中的方法，前兩項為一組，后兩項為一組，利用“分組分解法”求解；（2）先利用“分組分解法”進行因式分解，再將，作為整體代入求值．【詳解】（1）解：，．（2）解：.將，代入，得：原式．2．閱讀下列文字與例題：將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法稱作分組分解．例如：以下兩個式子的分解因式的方法就稱為分組分解法．①；②試用上述方法分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了分解因式分組分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．（1）原式前三項結(jié)合，后兩項結(jié)合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可；（2）原式后三項提取，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式3．八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將因式分解．經(jīng)過小組合作交流，得到了如下的解決方法：解法一：原式解法二：原式小明由此體會到，對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法等方法達到因式分解的目的．這種方法可以稱為分組分解法．(溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止)請你也試一試利用分組分解法進行因式分解：(1)因式分解：；(2)因式分解：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分組分解法因式分解；（1）先分組，然后根據(jù)提公因式法與平方差公式因式分解即可求解；（2）先分組，然后根據(jù)提公因式法以及完全平方公式因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）．壓軸題型七因式分解的應(yīng)用例題：我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、添項拆項法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個多項式適當(dāng)分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項；4．觀察得出原二次三項式的兩個因式，并表示出分解結(jié)果．這種分解方法叫作十字相乘法．例如：

分析：

觀察得出：兩個因式分別為與解：原式③添項拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項法．例如：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）______；②（十字相乘法）______；(2)已知：a、b、c為的三條邊，，判斷的形狀．【答案】(1)①；②(2)是直角三角形【分析】（1）①把原式分組成，然后提公因式法分解因式即可；②直接利用十字相乘法分解即可；（2）把原式進行因式分解得到，進而求出，再利用勾股定理的逆定理求解即可．【詳解】（1）解：①，故答案為：；②，故答案為：；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是直角三角形．【點睛】本題考查因式分解的方法及其在幾何圖形問題中的應(yīng)用，讀懂題中的分解方法并熟練掌握整式乘法公式是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：，，2，，，，分別對應(yīng)下列六個字：華、我、愛、美、游、中，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．愛我中華 B．我游中華 C．中華美 D．我愛美【答案】A【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，綜合利用提公因式法和公式法進行因式分解，即可求解．【詳解】解：，2，，，對應(yīng)的漢字分別為：愛、我、中、華，呈現(xiàn)的密碼