試卷第=page22頁，共=sectionpages170170頁第二十二章二次函數(shù)綜合題拓展訓練目錄與鏈接考點一二次函數(shù)規(guī)律探究…………2考點二與二次函數(shù)有關的最值問題………………8考點三二次函數(shù)背景下分段函數(shù)………………26考點四二次函數(shù)背景下的最值討論問題………32考點五二次函數(shù)圖象的變換問題………………41考點六二次函數(shù)的臨界點問題…………………66考點七與二次函數(shù)有關的角度問題……………83考點八與二次函數(shù)有關的線段問題……………94考點九與二次函數(shù)有關的特殊三角形問題……………………104考點十與二次函數(shù)有關的特殊四邊形問題……………………122考點十一二次函數(shù)營銷問題……………………147考點十二動點背景下的二次函數(shù)問題…………155考點一二次函數(shù)規(guī)律探究1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）在平面直角坐標系中，拋物線的圖象如圖所示，已知A點坐標為，過點A作軸交拋物線于點，過點作交拋物線于點，過點作軸交拋物線于點，過點作交拋物線于點……，依次進行下去，則點的坐標為．

2．（23-24九年級上·廣東珠海·期中）如圖，點、、、…、在拋物線圖象上，點、、、…、在y軸上，若、、…、都為等腰直角三角形（點是坐標原點），則的腰長=

3．（2023·浙江臺州·二模）觀察規(guī)律，，，…，運用你觀察到的規(guī)律解決以下問題：如圖，分別過點作x軸的垂線，交的圖像于點，交直線于點．則的值為．

4．（2021·山東德州·二模）如圖，拋物線y＝x2在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點（橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點）依次為A1，A2，A3…An，…．將拋物線y＝x2沿直線L：y＝x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：①拋物線的頂點M1，M2，M3，…Mn，…都在直線L：y＝x上；②拋物線依次經(jīng)過點A1，A2，A3…An，…．則頂點M2014的坐標為．考點二與二次函數(shù)有關的最值問題5．（21-22九年級上·湖北荊州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣交x軸于A，B兩點（A在B的左側(cè)），交y軸于點C．（1）求直線BC的解析式；（2）求拋物線的頂點及對稱軸；（3）若點Q是拋物線對稱軸上的一動點，線段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由；（4）若點P是直線BC上方拋物線上的一個動點，△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出點P的坐標及此時△PBC的面積；若不存在，說明理由．6．（2022·天津濱海新·二模）已知：拋物線（b，c為常數(shù)），經(jīng)過點A（－2，0），C（0，4），點B為拋物線與x軸的另一個交點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，當△PBC的面積最大時，求點P的坐標；(3)設點M，N是該拋物線對稱軸上的兩個動點，且，點M在點N下方，求四邊形AMNC周長的最小值．7．（2021·湖北恩施·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為正方形，點，在軸上，拋物線經(jīng)過點，兩點，且與直線交于另一點．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線對稱軸上一點，為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）為軸上一點，過點作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請求出這個最小值及點的坐標；若不存在，請說明理由．8．（23-24九年級上·湖北孝感·階段練習）如圖1，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，已知點的坐標為，點坐標為．

(1)求拋物線的表達式；(2)點為拋物線對稱軸上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，求點的坐標及周長最小值；(3)如圖2，點為直線上方拋物線上的一個動點，當面積最大時，求點的坐標．9．（2022·湖北恩施·一模）如圖，已知直線與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線的頂點是，且與x軸交于C，D兩點，與y軸交于點E，P是拋物線上一個動點，過點P作于點G．(1)求b、c的值；(2)若點M是拋物線對稱軸上任意點，點N是拋物線上一動點，是否存在點N，使得以點C，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請你求出點N的坐標；若不存在，請你說明理由．(3)當點P運動到何處時，線段的長最小？最小值為多少？10．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點，點為線段上一點（不與端點重合），直線，分別交拋物線于點，，設面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點是拋物線對稱軸與軸的交點，過點的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點，，過拋物線頂點作直線軸，點是直線上一動點．求的最小值．考點三二次函數(shù)背景下分段函數(shù)11．（23-24九年級下·浙江杭州·期中）已知函數(shù)，若則下列說法正確的是（

）A．當時，有最小值 B．當時，無最大值C．當時，有最小值 D．當時，有最大值12．（2024·湖北武漢·二模）如圖，在平面直角坐標系中，畫出了函數(shù)的部分圖象，若關于x的方程有3個不相等的實數(shù)根，則k的值為（

）A．或 B．或C．或 D．或13．（19-20九年級上·湖北黃石·期中）已知函數(shù)，若使y＝k成立的x值恰好有三個，則k的值為．14．（18-19九年級上·湖北武漢·階段練習）在平面直角坐標系中兩點P（x，y），Q（x，y′），其中y′＝，則稱Q點是P點的可控點．若P（x，y）滿足y＝－x2＋16，其中（－5≤x≤a）時，可控點Q（x，y′）滿足－16≤y′≤16，則a的取值范圍為．15．（22-23九年級上·吉林白城·階段練習）已知函數(shù)(1)點P（2，2）在此函數(shù)的圖象上．①求n的值．②求此函數(shù)的圖象與y軸的交點．(2)當n=1時，此函數(shù)的最大值為．考點四二次函數(shù)背景下的最值討論問題16．（2023·遼寧大連·模擬預測）已知二次函數(shù)，當且時，的最小值為，最大值為，則的值為（

）A．2 B． C．3 D．17．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知二次函數(shù)，當時，二次函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則a的值為（

）A．1或 B．2或 C．2或 D．或18．（2024·山東濟南·二模）拋物線，將其圖象在軸下方的部分沿軸翻折，其余部分保持不變，組成圖形是上的任意一點，當時，的最大值記為，則取得最小值時，的值為(

)A． B． C． D．19．（2024·浙江·一模）已知一次函數(shù)，當時，，若的最小值為2，則m的值為（

）A． B．2 C． D．420．（2024·福建福州·模擬預測）已知拋物線過點，兩點，若，時，y的最大值為，則t的值是（

）A． B．0 C．1 D．421．（2024·陜西寶雞·二模）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)），當時，函數(shù)的最大值與最小值的差為9，則a的值為（

）A． B．4 C． D．22．（21-22九年級上·湖北荊州·期中）已知二次函數(shù)，當時有最小值10，則m的值為．23．（21-22九年級上·湖南長沙·期末）二次函數(shù)y＝-(x-1)2+5，當m≤x≤n且mn＜0時，y的最小值為5m，最大值為5n，則m+n的值為．24．（2024·江蘇南京·二模）已知二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸的公共點為，．(1)當時，求的值；(2)當，且時，求的取值范圍；(3)線段長的最小值為．考點五二次函數(shù)圖象的變換問題25．（2024·四川南充·二模）如圖，將拋物線在軸下方的圖象沿軸翻折到軸上方，原拋物線軸上方的圖象與翻折得到圖象組成一個新函數(shù)的圖象，若直線與新函數(shù)的圖象有三個交點，則的取值范圍是．26．（2024·遼寧大連·三模）如圖，在平面直角坐標系中，將拋物線：繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，向右平移4個單位，向上平移2個單位得到．點為的頂點，作直線．點為平面內(nèi)一動點，將點向上平移兩個單位長度得到點，過點作y軸的垂線交直線于點，以、為邊構(gòu)造矩形．設、、的圖象為．當矩形與圖象有三個公共點時，的取值范圍為．27．（2024·四川廣元·三模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與其關于直線對稱的圖象交于四點，則四邊形的面積為．

28．（2024·陜西商洛·三模）如圖，拋物線與軸交于，，與軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)將拋物線先向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到新的拋物線，在的對稱軸上有一點，坐標平面內(nèi)有一點，使得以，，，為頂點且以為邊的四邊形是矩形，求滿足條件的點的坐標．29．（2024·河南焦作·二模）已知拋物線的頂點為D．(1)若拋物線經(jīng)過原點，求a的值及頂點D的坐標；(2)在（1）的條件下，把時函數(shù)的圖象記為，將圖象繞原點旋轉(zhuǎn)，得到新圖象，設圖象與圖象組合成的圖象為．①圖象的解析式（寫出自變量的取值范圍）；②若直線與圖象M有3個交點，請直接寫出m的取值范圍．30．（2024·山東濟南·二模）在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸分別交于點和點，與軸交于點．(1)如圖1，若點的坐標為，求拋物線的表達式和點的坐標；(2)過點作軸的垂線，將拋物線在軸右側(cè)的部分沿直線翻折，將翻折得到的圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成新的圖形，記為圖形．①在（1）的條件下，在圖形位于軸上方的部分是否存在點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由；②如圖2，已知點和點是圖形上的點．設，當時，請直接寫出的取值范圍．31．（2024·湖北恩施·二模）如圖1，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，直線經(jīng)過B、C兩點．(1)求出該二次函數(shù)的解析式．(2)已知點P為直線l上的一點，設其橫坐標為t，過點P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點M，再過點M作y軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點N．①當時，求點P的橫坐標．②當?shù)拈L度隨t的增大而增大時，直接寫出t的取值范圍．(3)如圖2，將二次函數(shù)在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸的上方，圖象的其余部分不變，得到一個“W”形狀的新圖象，再將直線l向上平移n個單位長度，得到直線，當直線與這個新圖象有3個公共點時，求n的值．32．（2024·安徽滁州·三模）如圖1，以點A，B為端點的實線是一條開口向下的拋物線的一段，點C是拋物線的頂點，直線是拋物線的對稱軸，于點D，，則稱實線表示的部分為該拋物線上的“正拋線”，點A，B分別為“正拋線”的左、右端點，點C為“正拋線”的頂點，的長為“正拋線”的高．(1)已知高為4的“正拋線”左端點在坐標原點，求該“正拋線”所在拋物線的表達式；(2)已知拋物線上的“正拋線”以原點為左端點，求b；(3)如圖2，一種圖案由大小兩種不同的“正拋線”組成，在平面直角坐標系中，所有大“正拋線”的端點都在x軸上，小“正拋線”的端點都在與其相鄰的大“正拋線”上，所有“正拋線”的頂點都在同一條直線上．求大“正拋線”與小“正拋線”高之比．33．（2024·湖北隨州·模擬預測）如圖，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線過點B和C，與x軸的另一個交點為A．(1)求這條拋物線的解析式；(2)點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，設點M的橫坐標為m，過點M作直線軸于點N，交直線于點G，若點G為的三等分點，求點M的坐標；(3)將線段先向上平移5個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到線段．現(xiàn)另有拋物線，請你根據(jù)a的不同取值范圍，探索拋物線與線段的交點個數(shù)（只需直接寫出a的取值范圍及對應的交點個數(shù)即可）．34．（2024·河北石家莊·二模）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，拋物線的頂點為點，對稱軸與軸交于點．(1)求拋物線的解析式，并直接寫出拋物線的對稱軸及點關于對稱軸的對稱點的坐標；(2)點是線段上的一個點，過點作x軸的垂線，與拋物線交于點．①若點在對稱軸上，判斷此時點是否為線段的中點，說明理由；②當最大時，求點的坐標；(3)將線段先向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位得到線段，若拋物線與線段只有一個交點，請直接寫出的取值范圍．考點六二次函數(shù)的臨界點問題35．（2024·浙江嘉興·二模）已知直線與拋物線對稱軸左側(cè)部分的圖象有且只有一個交點，則m的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或36．（2024·廣東東莞·模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線（a，b，c為常數(shù)，且）經(jīng)過和兩點．已知點，，若該拋物線與線段恰有一個公共點，則a的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．37．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）定義：在平面直角坐標系中，有一條直線，對于任意一個函數(shù)，與原函數(shù)中自變量大于或等于m的部分共同構(gòu)成一個新的函數(shù)圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)關于直線的“鏡面函數(shù)”．例如：函數(shù)的“鏡面函數(shù)”的解析式為，，，，，函數(shù)關于直線的“鏡面函數(shù)”圖象與矩形的邊恰好有4個交點，則n的取值范圍是．38．（22-23九年級上·天津武清·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中有，兩點，如果拋物線與線段沒有公共點，則a的取值范圍是．39．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）的圖象交y軸于點，其對稱軸為．(1)求該二次函數(shù)的關系式；(2)點A、C均在該二次函數(shù)的圖象上，它們的橫坐標分別為n和．以線段為對角線作矩形，軸、當矩形與該二次函數(shù)圖象有且只有三個公共點時，設第三個公共點為P，若與矩形的面積之比為，請求出點A的坐標．40．（2024九年級下·北京·專題練習）在平面直角坐標系中，拋物線，，為常數(shù)，且經(jīng)過和兩點．(1)求b和c的值（用含a的代數(shù)式表示）；(2)若該拋物線開口向下，且經(jīng)過，兩點，當時，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍；(3)已知點，，若該拋物線與線段恰有一個公共點時，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．41．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐標系中，拋物線與y軸交于點A，點B與點A關于該拋物線的對稱軸對稱，拋物線的頂點為C．(1)求點A，B的坐標．(2)若的面積為，求a的值．(3)如圖，已知點，，，，當拋物線與正方形只有2個公共點時，求a的取值范圍．42．（2024·江蘇南京·二模）已知二次函數(shù)（m為常數(shù)，）．(1)當時，求該函數(shù)的圖象的頂點坐標；(2)當m取不同的值時，該函數(shù)的圖象總經(jīng)過一個或幾個定點，求出所有定點的坐標；(3)已知，，若該函數(shù)的圖象與線段恰有1個公共點，直接寫出m的取值范圍．43．（2024·四川樂山·中考真題）在平面直角坐標系中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點為“完美點”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點A．(1)若，求拋物線的頂點坐標；(2)若線段（含端點）上的“完美點”個數(shù)大于3個且小于6個，求a的取值范圍；(3)若拋物線與直線交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個“完美點”，求a的取值范圍．考點七與二次函數(shù)有關的角度問題44．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點．點坐標為，與軸交于點，點為拋物線頂點，點為中點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)在直線上方的拋物線上存在點，使得，求點的坐標；(3)已知，為拋物線上不與，重合的相異兩點．①若點與點重合，，且，求證：，，三點共線；②若直線，交于點，則無論，在拋物線上如何運動，只要，，三點共線，，，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．45．（23-24八年級下·重慶九龍坡·期末）如圖1，在平面直角坐標系中放置了一塊30度的直角三角板，且直角三角板的三個頂點A，B，C均在坐標軸上，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，已知直線上方拋物線上一點D，連接，求的面積最大值以及此時點D的坐標；(3)如圖2，將原拋物線沿射線方向平移得到新拋物線，新拋物線與y軸交于點C，已知點P為新拋物線上的一點，過B作直線交新拋物線于第四象限的點E，連接，當時，寫出所有符合條件的點P的坐標，并寫出求解點P的坐標的其中一種情況的過程．46．（20-21九年級上·廣東廣州·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線()與軸交于，兩點，與軸交于點，其頂點為點，點的坐標為，該拋物線與交于另一點，連接．

(1)求該拋物線的解析式．(2)一動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿與軸平行的方向向上運動，連接，，設運動時間為秒()，在點的運動過程中，當為何值時，？(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點，使得被平分？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．考點八與二次函數(shù)有關的線段問題47．（2024·湖北武漢·二模）如圖，拋物線與x軸交于點和，與y軸正半軸交于點C．(1)直接寫出拋物線的解析式為：__________；(2)如圖1，連接，D為x軸上方拋物線上的點，且滿足，求D點坐標；(3)如圖2，M為對稱軸右側(cè)第一象限內(nèi)拋物線上一點，N為拋物線上另一點，分別連接、、，且，拋物線對稱軸為直線l，線段、與直線l分別交于點P、Q，延長交直線l于點R，若滿足，求直線的解析式．48．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，點，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個動點．(1)求此二次函數(shù)的表達式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點B，點P在直線的上方，過點P作軸于點C，交AB于點D，連接．若，求證的值為定值；(3)如圖2，點P在第二象限，，若點M在直線上，且橫坐標為，過點M作軸于點N，求線段長度的最大值．49．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線與軸交于點、兩點點在點的左側(cè)，與軸交于點，且?(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點為第一象限的拋物線上一點，且滿足，求點的坐標；(3)如圖，點為第四象限的拋物線上一點，直線交軸于點，過點作直線，交軸于點，當點運動時，線段的長度是否會變化？若不變，求其值；若變化，求變化范圍．考點九與二次函數(shù)有關的特殊三角形問題50．（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖①，若點P是線段上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，當線段的長度最大時，求點Q的坐標；(3)如圖②，在（2）的條件下，過點Q的直線與拋物線交于點D，且．在y軸上是否存在點E，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．51．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，與軸交于點，為拋物線上的兩點．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)當兩點關于拋物線對稱軸對稱，是以點為直角頂點的直角三角形時，求點的坐標；(3)設的橫坐標為，的橫坐標為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．52．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當點在第二象限內(nèi)，且的面積為3時，求點的坐標；(3)在直線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．53．（2024·四川達州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．點是拋物線的頂點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對稱軸于點，若點是直線上方拋物線上一點，且，求點的坐標；(3)若點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，是否存在以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．54．（2024·甘肅隴南·二模）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交x軸于點E，連接．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)點Q在該拋物線的對稱軸上，若是以為腰的等腰三角形，求點Q的坐標；(3)若P為的中點，過點P作軸于點F，G為拋物線上一動點，軸于點M，N為直線上一動點，當以F、M、G、N為頂點的四邊形是正方形時，直接寫出點M的坐標．55．（2024·四川涼山·二模）如圖①，直線與軸、軸分別交于，兩點，拋物線與軸交于點，與軸正半軸交于點，設是點，間拋物線上的點（包括端點）．其橫坐標為．

(1)求拋物線的解析式；(2)當為何值時，面積取得最大值？請說明理由；(3)如圖②，連接，拋物線上是否存在點，使得是以為底的等腰三角形，如果存在，請求出點的坐標，不存在，請說明理由．考點十與二次函數(shù)有關的特殊四邊形問題56．（2024·吉林長春·二模）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線（b為常數(shù)）經(jīng)過點．點P在拋物線上，且橫坐標為m，點Q的坐標為，連接、．(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式．(2)連接，當軸時，求m的值．(3)以線段、為鄰邊構(gòu)造，①邊的長的最小值為________，此時的面積為________．②當，且拋物線在的內(nèi)部（不含的邊界）的部分的y值隨x的增大而增大或隨x的增大而減小時，直接寫出m的取值范圍．57．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）綜合與探究如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸交于點、兩點，且點的坐標為，與軸交于點，(1)求拋物線解析式及頂點坐標；(2)點為拋物線上一點，且，則點的坐標為______；(3)點為線段上任意一點，過點作軸于點，直線交拋物線于點，求線段的最大值；(4)點是拋物線對稱軸上一點，在平面直角坐標系中是否存在一點，使以點、、、為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．58．（2024·廣東汕頭·三模）如圖1，拋物線和直線交于A，兩點，過點作直線軸于點．(1)求的度數(shù)．(2)如圖2，點從點A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段向點運動，點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段向點A運動，點，同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為秒．以為邊作矩形，使點在直線上．①當為何值時，矩形的面積最??？并求出最小面積；②直接寫出當為何值時，恰好有矩形的頂點落在拋物線上．59．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點B，且關于直線對稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當時，y的取值范圍是，求t的值；(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．60．（23-24九年級下·海南省直轄縣級單位·階段練習）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線上的一動點．(1)求該拋物線所對應的函數(shù)解析式；(2)如圖1，當點P在直線上方時，過點P作y軸的平行線交直線于點E．①求面積的最大值；②點M是平面直角坐標系內(nèi)一點，是否存在點P，使得以點B，E，P，M為頂點的四邊形是菱形，若存在，請求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，點D是拋物線的頂點，過點D作交拋物線于點Q，過點D作于點H，請直接寫出點H到拋物線對稱軸距離的最大值．61．（2024·吉林長春·三模）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P在拋物線上．設點P的橫坐標為m，記拋物線對稱軸與x軸的交點為D．(1)求點D的坐標；(2)若時，，則m的取值范圍為；(3)點M的橫坐標為，且軸，將線段的中點繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到點Q，以、為鄰邊作矩形．①當點N落在拋物線時，求的長；②設矩形的對稱中心為點R，當點R位于拋物線的對稱軸右側(cè)時，連接，當垂直于矩形的一條對角線時，直接寫出m的值．62．（23-24九年級下·江蘇南通·階段練習）如圖1，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點C，點D是的中點，點P是拋物線上的一個動點．(1)求該拋物線的表達式．(2)當時，求點P的坐標．(3)如圖2，過點P作直線的垂線，垂足為M．以為對角線作正方形，當點Q落在拋物線的對稱軸上時，請寫出點P的橫坐標．考點十一二次函數(shù)營銷問題63．（2024·湖南懷化·一模）受新冠疫情影響，3月1日起，“君樂買菜”網(wǎng)絡公司某種蔬菜的銷售價格開始上漲．如圖1，前四周該蔬菜每周的平均銷售價格(元/)與周次(是正整數(shù)，)的關系可近似用函數(shù)刻畫；進入第5周后，由于外地蔬菜的上市，該蔬菜每周的平均銷售價格(元/)從第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，與周次()的關系可近似用函數(shù)刻畫．(1)求，的值．(2)若前五周該蔬菜的銷售量與每周的平均銷售價格元之間的關系可近似地用如圖所示的函數(shù)圖象刻畫，第周的銷售量與第周相同：①求與的函數(shù)表達式；②在前六周中，哪一周的銷售額元最大？最大銷售額是多少？(3)若該蔬菜第7周的銷售量是，由于受降雨的影響，此種蔬菜第周的可銷售量將比第周減少．為此，公司又緊急從外地調(diào)運了此種蔬菜，剛好滿足本地市民的需要，且使此種蔬菜第周的銷售價格比第周僅上漲．若在這一舉措下，此種蔬菜在第周的總銷售額與第周剛好持平，請通過計算估算出的整數(shù)值．64．（2024·湖北黃石·二模）為助推鄉(xiāng)村經(jīng)濟發(fā)展，解決茶農(nóng)賣茶難問題，某地政府在新茶上市天內(nèi)，幫助“幸福村”茶農(nóng)合作社集中銷售茶葉，設第天（為整數(shù)）的售價為（元/斤），日銷售額為（元）．據(jù)銷售記錄知：①第天銷量為斤，以后每天比前一天多賣斤；②前天的價格一直為元/斤，后天價格每天比前一天跌元，(1)當時，寫出與的關系式；(2)當為何值時日銷售額最大，最大為多少？(3)若日銷售額不低于元時可以獲得較大利潤，當天合作社將向希望小學捐款元，用于捐資助學，若“幸福村”茶農(nóng)合作社計劃幫助希望小學購買元的圖書，求的最小整數(shù)值．65．（2024·湖南常德·一模）2023年6月29日，安鄉(xiāng)“中國醬鹵之鄉(xiāng)”成功授牌，安鄉(xiāng)的醬鹵美食深受全國各地人們喜愛．某醬鹵店開通了網(wǎng)上銷售渠道，在開始售賣當天提供150件某醬鹵制品，很快就被搶購一空，該店決定讓當天未購買到的顧客可通過網(wǎng)上預約在第二天優(yōu)先購買，并且從第二天起，每天比前一天多供應m件（m為正整數(shù)）．經(jīng)過連續(xù)15天的銷售統(tǒng)計，得到第x天（，且x為正整數(shù)）的供應量（單位：件）和需求量（單位：件）的部分數(shù)據(jù)如下表，其中需求量與x滿足某二次函數(shù)關系．（假設當天預約的顧客第二天都會購買，當天的需求量不包括前一天的預約數(shù)）第x天12…6…11…15供應量（件）150………需求量（件）220229…245…220…164(1)直接寫出與x和與x的函數(shù)關系式；（不要求寫出x的取值范圍）(2)已知從第10天開始，有需求的顧客都不需要預約就能購買到（即前9天的總需求量超過總供應量，前10天的總需求量不超過總供應量），求m的值；（參考數(shù)據(jù)：前9天的總需求量為2136件）(3)在第（2）問m取最小值的條件下，若每件醬鹵制品售價為100元，求第4天的銷售額．66．（2023·山東青島·三模）某食品廠生產(chǎn)一種半成品食材，成本為2元/千克，每天的產(chǎn)量p（百千克）與銷售價格x（元/千克）滿足函數(shù)關系式，從市場反饋的信息發(fā)現(xiàn)，該半成品食材每天的市場需求量q（百千克）與銷售價格x（元/千克）滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如表：銷售價格x（元/千克）24……10市場需求量q（百千克）1210……4已知按物價部門規(guī)定銷售價格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．(1)直接寫出q與x的函數(shù)關系式，并注明自變量x的取值范圍；(2)當每天的產(chǎn)量小于或等于市場需求量時，這種半成品食材能全部售出，而當每天的產(chǎn)量大于市場需求量時，只能售出符合市場需求量的半成品食材，剩余的食材由于保質(zhì)期短而只能廢棄，解答下列問題：①當每天的半成品食材能全部售出時，求x的取值范圍；②求廠家每天獲得的利潤y（百元）與銷售價格x的函數(shù)關系式；③求廠家每天獲得的最大利潤y是多少？并求出取到最大利潤時x的值．(3)若要使每天的利潤不低于24（百元），并盡可能地減少半成品食材的浪費，則x應定為_________元/千克．考點十二動點背景下的二次函數(shù)問題67．（2024·河北保定·二模）如圖1，一塊矩形電子屏中，G為上一感應點，，動點P為一光點，當光點在光帶上運動時，會與感應點發(fā)生反應，照亮以為邊的正方形區(qū)域．因發(fā)生故障，只有光帶和正常工作，，光點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，沿勻速運動，到達點B時停止．設光點P的運動時間為t秒，照亮的正方形區(qū)域的面積為S．圖2為P點在運動過程中S與t的函數(shù)圖像，其中點Q表示P點運動到B點時情形．(1)時，照亮的區(qū)域面積______，并求a值．(2)當點P經(jīng)過M點又運動4秒時，照亮區(qū)域的面積達到了最小，已知此時S是t的二次函數(shù)．①求出點P在線段上運動時S關于t的函數(shù)解析式；②點P從開始運動到停止的整個過程中，直接寫出t為何值時，照亮區(qū)域的面積S為17．68．（2024·江西贛州·二模）如圖，在矩形中，已知，點是的中點．動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿向點運動，同時動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿折線運動，當一個點到達點時，另一點也隨之停止運動．連接，，設動點運動的時間為秒，的面積為，圖中的曲線是動點在線段上時與的函數(shù)圖象．(1)填空：①____________；②當時，直接寫出與的函數(shù)解析式為____________．(2)經(jīng)探究，發(fā)現(xiàn)當點在線段上運動時，是關于的二次函數(shù)．請求出此時與的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．(3)在整個運動過程中，若存在某個時刻，，，使得的值相等．①求出的取值范圍；②當時，求的值．69．（2024·天津·一模）在平面直角坐標系中，為原點，是等腰直角三角形，，點，點在第一象限，點在邊上（點不與點，重合），過點作，交的直角邊于點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點的對應點為，連接．(1)如圖①，若點落在上，點的坐標是__________，點的坐標是__________；(2)設與重合部分面積為，．①如圖②，若重合部分為四邊形，與邊交于點，，試用含的式子表示，并直接寫出的取值范圍；②當時，求的取值范圍（請直接寫出結(jié)果即可）．70．（2023·吉林松原·三模）如圖，在中，，，，點P從點A出發(fā)以的速度向點C運動，到點C停止，過點P作交點Q，以線段的中點為對稱中心將旋轉(zhuǎn)得到，點A的對應點為點D，設點P的運動時間為，與重合部分的面積為S（）．

(1)求當點D落在邊上時t的值；(2)求S關于t的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；(3)直接寫出當是等腰三角形時t的值．71．（23-24九年級上·遼寧沈陽·期末）問題提出：四邊形是正方形，是射線上的動點，點在線段的延長線上，且，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，設，四邊形的面積為（可等于0）．(1)如圖①，當點由點運動到點過程中，發(fā)現(xiàn)是關于的二次函數(shù)，并繪制成如圖②所示的圖象，拋物線經(jīng)過原點且頂點為，請根據(jù)圖象信息，回答下列問題：①正方形的邊長為___________（直接填空）；②求關于的函數(shù)關系式；(2)如圖③，當點在線段的延長線上運動時，求關于的函數(shù)關系式；(3)若在射線上從下至上依次存在不同位置的兩個點，對應的四邊形的面積與四邊形的面積相等，當時，求四邊形的面積．72．（2023·山東青島·二模）如圖1，在菱形中，、交于點E，厘米，點F在上，厘米．點P、Q分別從A、E兩點同時出發(fā)，點P以k厘米/秒的速度沿向點E勻速運動，用時8秒到達點E；點Q以m厘米/秒的速度沿向點E勻速運動，設運動的時間為x秒，的面積為平方厘米，的面積為平方厘米．

(1)圖2中的線段是與x的函數(shù)圖象，則與x的函數(shù)關系式為________，m的值為________；(2)圖2中的拋物線是與x的函數(shù)圖象，其頂點坐標是，求點P的速度及對角線的長；(3)在圖2中，點G是x軸正半軸上一點（，過G作垂直于x軸，分別交拋物線和線段于點M、N．①直接寫出線段的長在圖1中所表示的意義；②當時，求線段長的最大值．

第二十二章二次函數(shù)綜合題拓展訓練目錄與鏈接考點一二次函數(shù)規(guī)律探究…………2考點二與二次函數(shù)有關的最值問題………………8考點三二次函數(shù)背景下分段函數(shù)………………26考點四二次函數(shù)背景下的最值討論問題………32考點五二次函數(shù)圖象的變換問題………………41考點六二次函數(shù)的臨界點問題…………………66考點七與二次函數(shù)有關的角度問題……………83考點八與二次函數(shù)有關的線段問題……………94考點九與二次函數(shù)有關的特殊三角形問題……………………104考點十與二次函數(shù)有關的特殊四邊形問題……………………122考點十一二次函數(shù)營銷問題……………………147考點十二動點背景下的二次函數(shù)問題…………155考點一二次函數(shù)規(guī)律探究1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）在平面直角坐標系中，拋物線的圖象如圖所示，已知A點坐標為，過點A作軸交拋物線于點，過點作交拋物線于點，過點作軸交拋物線于點，過點作交拋物線于點……，依次進行下去，則點的坐標為．

【答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，先求出直線的解析式，再求出點的坐標，再求出直線的解析式，從而求出點、的坐標，以此類推可得點的坐標，根據(jù)點、、之間的規(guī)律求出點的坐標．【詳解】解：設直線的解析式為：，∵點坐標為，∴，∴直線的解析式為：，∵軸交拋物線于點，∴，∵交拋物線于點，∴設直線的解析式為：，∴將代入解析式中得：，∴直線的解析式為：，當時，解得：，，∴，∵軸交拋物線于點，∴，同理可得：直線的解析式為：，當時，解得：，，∴，……∴以此類推點∴的坐標為：，故答案為：．2．（23-24九年級上·廣東珠?！て谥校┤鐖D，點、、、…、在拋物線圖象上，點、、、…、在y軸上，若、、…、都為等腰直角三角形（點是坐標原點），則的腰長=

【答案】【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)及點的坐標的關系求出第一個等腰直角三角形的腰長，用類似的方法求出第二個，第三個…的腰長，觀察其規(guī)律，最后得出結(jié)論.【詳解】作軸,軸，垂足分別為C、E，軸于點F，軸于點D，軸于點N.、都是等腰直角三角形，設，則，將其代入解析式得：解得：（不符合題意）或,,可得,,，，.…的腰長為：.故答案為.

【點睛】此題考查了在函數(shù)圖象中利用點的坐標與圖形的關系求線段的長度，涉及到了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，拋物線的解析式的運用等多個知識點．3．（2023·浙江臺州·二模）觀察規(guī)律，，，…，運用你觀察到的規(guī)律解決以下問題：如圖，分別過點作x軸的垂線，交的圖像于點，交直線于點．則的值為．

【答案】【分析】先求出的坐標，然后求出的長.運用觀察到的規(guī)律求出的值，即可求出的值.【詳解】由，得

故答案為：．【點睛】本題主要考查了根據(jù)二次函數(shù)表達式求點的坐標，根據(jù)一次函數(shù)表達式求點的坐標，及平行于y軸的直線上的兩點間的距離.觀察規(guī)律，理解規(guī)律，并會正確應用是解題的關鍵.4．（2021·山東德州·二模）如圖，拋物線y＝x2在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點（橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點）依次為A1，A2，A3…An，…．將拋物線y＝x2沿直線L：y＝x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：①拋物線的頂點M1，M2，M3，…Mn，…都在直線L：y＝x上；②拋物線依次經(jīng)過點A1，A2，A3…An，…．則頂點M2014的坐標為．【答案】（4027，4027）【分析】根據(jù)拋物線y＝x2與拋物線yn＝（x﹣an）2+an相交于An，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，可得答案．【詳解】解：M1（a1，a1）是拋物線y1＝（x﹣a1）2+a1的頂點，拋物線y＝x2與拋物線y1＝（x﹣a1）2+a1相交于A1，得x2＝（x﹣a1）2+a1，即2a1x＝a12+a1，x＝（a1+1），∵x為整數(shù)點，∴a1＝1，M1（1，1）；M2（a2，a2）是拋物線y2＝（x﹣a2）2+a2＝x2﹣2a2x+a22+a2頂點，拋物線y＝x2與y2相交于A2，x2＝x2﹣2a2x+a22+a2，∴2a2x＝a22+a2，x＝（a2+1），∵x為整數(shù)點，∴a2＝3，M2（3，3），M3（a3，a3）是拋物線y2＝（x﹣a3）2+a3＝x2﹣2a3x+a32+a3頂點，拋物線y＝x2與y3相交于A3，x2＝x2﹣2a3x+a32+a3，∴2a3x＝a32+a3，x＝（a3+1），∵x為整數(shù)點∴a3＝5，M3（5，5），∴點M2014，兩坐標為：2014×2﹣1＝4027，∴M2014（4027，4027），故答案為：（4027，4027）．【點睛】本題是點的坐標規(guī)律型探究題，結(jié)合二次函數(shù)求出點的坐標并觀察規(guī)律是解題的關鍵．考點二與二次函數(shù)有關的最值問題5．（21-22九年級上·湖北荊州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣交x軸于A，B兩點（A在B的左側(cè)），交y軸于點C．（1）求直線BC的解析式；（2）求拋物線的頂點及對稱軸；（3）若點Q是拋物線對稱軸上的一動點，線段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由；（4）若點P是直線BC上方拋物線上的一個動點，△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出點P的坐標及此時△PBC的面積；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）頂點，對稱軸為；（3）存在，；（4）存在，【分析】（1）分別令進而求得的坐標，待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式即可；（2）將二次函數(shù)解析式根據(jù)配方法化為頂點式，進而求得頂點坐標和對稱軸；（3）根據(jù)軸對稱確定最短路線問題可知存在點，即與對稱軸的交點坐標使的線段最?。唬?）過點作軸交于點，求得的長，根據(jù)求得的面積，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得取得最大值時的點的坐標．【詳解】（1）令，則整理得解得令，則設直線的解析式為解得直線的解析式為（2）頂點，對稱軸為；（3）由對稱性可知，與對稱軸的交點即為使得線段最小的點，時，存在點，使得線段最?。?）如圖，過點作軸交于點，則當時，的面積最大為，此時存在點，使得的面積最大．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與坐標軸的交點問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱確定最短路線問題，二次函數(shù)最值問題，掌握以上知識是解題的關鍵．6．（2022·天津濱海新·二模）已知：拋物線（b，c為常數(shù)），經(jīng)過點A（－2，0），C（0，4），點B為拋物線與x軸的另一個交點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P為直線BC上方拋物線上的一個動點，當△PBC的面積最大時，求點P的坐標；(3)設點M，N是該拋物線對稱軸上的兩個動點，且，點M在點N下方，求四邊形AMNC周長的最小值．【答案】(1)(2)（3，5）(3)【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)表達式；(2)首先點B的坐標，再求出直線BC的解析式，過點P作PF⊥x軸于F，交于點Q，設點，,當時，有最大值,即可求出點P的坐標；（3）由四邊形AMNC的周長，得到當AM+CN最小時，四邊形AMNC的周長最小，得出AM+CN=AM+DM，求出的最小值即可得到結(jié)論.【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點A（-2，0），C（0，4），∴解得∴該拋物線的解析式：（2）解：∵點B是拋物線與x軸的交點，∴，∴，

∴點B的坐標為（6，0），設直線BC的解析式為y=kx+n，

∵點B（6，0），C(0，4)∴解得，∴直線解析式為：，

如圖，過點P作PF⊥x軸于F，交于點Q，設點，

∴，∴∴當時，有最大值，∴點P的坐標為（3，5）．（3）解：∵A（-2，0），C（0，4），∴，∵四邊形AMNC的周長，，∴當AM+CN最小時，四邊形AMNC的周長最小.將CN向下平移2個單位長度，得到對應線段DM，∴點C的對應點D的坐標為（0，2），∴AM+CN=AM+DM，可知拋物線的對稱軸為直線，如圖，作點D關于對稱軸的對稱點，可求得（4，2），連接，則，

過點作⊥x軸于點E，，，∴的最小值為，∴四邊形周長的最小值為．【點睛】本題為二次函數(shù)中考壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、最短路線問題等知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵．7．（2021·湖北恩施·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為正方形，點，在軸上，拋物線經(jīng)過點，兩點，且與直線交于另一點．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線對稱軸上一點，為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）為軸上一點，過點作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請求出這個最小值及點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，點的坐標為或或或；（3）存在最小值，最小值為，此時點M的坐標為．【分析】（1）由題意易得，進而可得，則有，然后把點B、D代入求解即可；（2）設點，當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形時，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分①當時，②當時，然后根據(jù)兩點距離公式可進行分類求解即可；（3）由題意可得如圖所示的圖象，連接OM、DM，由題意易得DM=EM，四邊形BOMP是平行四邊形，進而可得OM=BP，則有，若使的值為最小，即為最小，則有當點D、M、O三點共線時，的值為最小，然后問題可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形為正方形，，∴，，∴，∴OB=1，∴，把點B、D坐標代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）可得，拋物線解析式為，則有拋物線的對稱軸為直線，∵點D與點E關于拋物線的對稱軸對稱，∴，∴由兩點距離公式可得，設點，當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形時，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分：①當時，如圖所示：∴由兩點距離公式可得，即，解得：，∴點F的坐標為或；②當時，如圖所示：∴由兩點距離公式可得，即，解得：，∴點F的坐標為或；綜上所述：當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，點的坐標為或或或；（3）由題意可得如圖所示：連接OM、DM，由（2）可知點D與點E關于拋物線的對稱軸對稱，，∴，DM=EM，∵過點作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，∴，∴四邊形BOMP是平行四邊形，∴OM=BP，∴，若使的值為最小，即為最小，∴當點D、M、O三點共線時，的值為最小，此時OD與拋物線對稱軸的交點為M，如圖所示：∵，∴，∴的最小值為，即的最小值為，設線段OD的解析式為，代入點D的坐標得：，∴線段OD的解析式為，∴．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)是解題的關鍵．8．（23-24九年級上·湖北孝感·階段練習）如圖1，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，已知點的坐標為，點坐標為．

(1)求拋物線的表達式；(2)點為拋物線對稱軸上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，求點的坐標及周長最小值；(3)如圖2，點為直線上方拋物線上的一個動點，當面積最大時，求點的坐標．【答案】(1)(2)，的周長最小值為(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；（2）先求得然后求得求出的解析式，根據(jù)拋物線的解析式求得對稱軸，根據(jù)對稱性可得在上時，的周長最小，進而即可得點的坐標，根據(jù)的坐標，勾股定理，即可求解；（3）過點作軸于，交于點，設點，則點，由三角形面積公式可得，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵點，點在拋物線圖象上，∴，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）解：當時，，解得：∴,設直線的解析式為，代入、坐標得，解得：，，∴直線的解析式為，∵∴拋物線對稱軸為直線依題意，，當三點共線時，的周長最小則當在直線上時，的周長最小當時，，則∵，，，∴，，∴此時，的周長為

（3）解：由（2）可得直線的解析式為，過點作軸于點，交于點，如圖，

設，則，∴，∴；∵，∴時，最大，為．此時；【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，兩點距離公式，利用參數(shù)列方程是本題的關鍵．9．（2022·湖北恩施·一模）如圖，已知直線與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線的頂點是，且與x軸交于C，D兩點，與y軸交于點E，P是拋物線上一個動點，過點P作于點G．(1)求b、c的值；(2)若點M是拋物線對稱軸上任意點，點N是拋物線上一動點，是否存在點N，使得以點C，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請你求出點N的坐標；若不存在，請你說明理由．(3)當點P運動到何處時，線段的長最?。孔钚≈禐槎嗌?？【答案】(1)，．(2)存在，符合條件的點的坐標為或或．(3)當點的橫坐標為時，有最小值，最小值為．【分析】（1）先根據(jù)頂點式寫出拋物線的解析式，然后展開，最后對比即可解答；（2）先確定拋物線的對稱軸，再令y=0確定C、D的坐標，進而確定CD的長度，然后分以CD為邊和對角線兩種情況分別解答即可；（3）先根據(jù)直線確定A、B兩點的坐標，然后確定AB的長，再求出的值；如圖1，過點作軸交于點，可得，設點的橫坐標為，則、，再表示出PH的長，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點是∴拋物線為，即，故，．（2）解：存在，理由如下：∵拋物線的頂點是，∴拋物線的對稱軸為，將代入，得或，，．Ⅰ.如圖2，當以為菱形的邊時，平行且等于.若點在對稱軸右側(cè)，，，把代入，得，點的坐標為..，四邊形為菱形.即符合題意.同理可知，當?shù)淖鴺藶闀r，四邊形也為菱形.Ⅱ.如圖3，當為菱形的對角線時，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，可得對稱軸垂直平分，所以，在對稱軸上.又因為點在拋物線上，所以點為拋物線的頂點，所以點的坐標為．綜上所述，符合條件的點的坐標為或或．（3）解：把代入，得，∴點的坐標為.把代入，得，∴點的坐標為∴，∴，如圖1，過點作軸交于點，則有，∴，∴，設點的橫坐標為，則，，∴，∵，∴當時，有最小值，最小值為，此時有最小值，當時，，此時點P的坐標為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與特殊四邊形綜合、二次函數(shù)求最值等知識點，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)成為解答本題的關鍵．10．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點，點為線段上一點（不與端點重合），直線，分別交拋物線于點，，設面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點是拋物線對稱軸與軸的交點，過點的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點，，過拋物線頂點作直線軸，點是直線上一動點．求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）設，直線為，求出，直線為，求出，聯(lián)立方程組得，，再根據(jù)，即可求解；（）設直線為，由得，得，設，，聯(lián)立直線與拋物，得，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得：，，作點關于直線的對稱點，連接，則有，過點作于F，則，則，，根據(jù)勾股定理得，即可求出最小值．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，，，

解得，∴拋物線的解析式為；（2）設，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，設，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，

，

，∴；（3）設直線為，由得，∴，∴，

設，，聯(lián)立直線與拋物線，得，，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得：，，作點關于直線的對稱點，連接，

由題意得直線，則，∴，過點作于F，則．則，，

在中，，

即當時，，此時，故的最小值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，解一元二次方程，根的判別式，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．考點三二次函數(shù)背景下分段函數(shù)11．（23-24九年級下·浙江杭州·期中）已知函數(shù)，若則下列說法正確的是（

）A．當時，有最小值 B．當時，無最大值C．當時，有最小值 D．當時，有最大值【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求解即可．【詳解】解：畫出函數(shù)圖象如圖：

由圖可知：當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大，當時，，當時，即：，∴，∴，當?shù)闹翟叫。叫?，無限接近0，但不等于0，即沒有最小值，當時，，當時，，當時，，時，，當，時，的值最大，為，綜上：當時，有最大值，無最小值，故選項A，B錯誤；當時，，當時，即：，∴當越小時，的值越大，即沒有最大值，當時，，當時，；當時，，當時，和的函數(shù)值相同時，的值最小，綜上：當，有最小值，無最大值；故選項C正確，D錯誤．故選C．12．（2024·湖北武漢·二模）如圖，在平面直角坐標系中，畫出了函數(shù)的部分圖象，若關于x的方程有3個不相等的實數(shù)根，則k的值為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關鍵，補全函數(shù)圖象，分和兩種情況分別利用數(shù)形結(jié)合進行解答即可.【詳解】解：由函數(shù)可知，和時的函數(shù)圖象關于y軸對稱，補全函數(shù)圖象如圖所示，當時，當直線與函數(shù)的圖象有三個交點時，則，即有兩個相等的實數(shù)根，即，解得或，由圖象可知，不合題意，舍去，即，當時，當直線與函數(shù)的圖象有三個交點時，則，即有兩個相等的實數(shù)根，即，解得或，由圖象可知，不合題意，舍去，即，綜上可知，k的值為或，故選：D13．（19-20九年級上·湖北黃石·期中）已知函數(shù)，若使y＝k成立的x值恰好有三個，則k的值為．【答案】3【分析】首先在坐標系中畫出已知函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三個的k值．【詳解】函數(shù)的圖象如圖：根據(jù)圖象知道當y=3時，對應成立的x有恰好有三個，∴k=3．故答案為3．【點睛】本題主要考查了利用二次函數(shù)的圖象解決交點問題，解題的關鍵是把解方程的問題轉(zhuǎn)換為根據(jù)函數(shù)圖象找交點的問題．14．（18-19九年級上·湖北武漢·階段練習）在平面直角坐標系中兩點P（x，y），Q（x，y′），其中y′＝，則稱Q點是P點的可控點．若P（x，y）滿足y＝－x2＋16，其中（－5≤x≤a）時，可控點Q（x，y′）滿足－16≤y′≤16，則a的取值范圍為．【答案】【分析】本題先理解定義，依據(jù)題意畫出函數(shù)圖象即可求解．【詳解】依題意，圖象上的點P的“可控變點”必在函數(shù)的圖象上（如圖），當時，，當時，，∵，∴，∵，當，代入，解得：，當，代入，解得：，∵時，可控點Q（，）滿足，∴實數(shù)的取值范圍為，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象應用問題，解決此類問題：首先根據(jù)題意，大致畫出函數(shù)圖象，依據(jù)圖象確定數(shù)值的取值范圍．15．（22-23九年級上·吉林白城·階段練習）已知函數(shù)(1)點P（2，2）在此函數(shù)的圖象上．①求n的值．②求此函數(shù)的圖象與y軸的交點．(2)當n=1時，此函數(shù)的最大值為．【答案】(1)①n=2；②（0，1）(2)1【分析】（1）①根據(jù)點P的橫坐標比1大，將點P代入即可求得n的值．②根據(jù)當圖象與y軸有交點時，x值為0；將x=0代入求出y值，即可得出交點坐標．（2）當n=1分別代入兩個函數(shù)表達式中，求出各自表達式的最大值，最后兩者取最大值即可．【詳解】（1）①解：∵在點P（2，2）中，x≥1∴將點P（2，2）代入函數(shù)中得解得②解：求此函數(shù)的圖象與y軸的交點，即求當時，函數(shù)圖象與y軸的交點．∵當時，函數(shù)表達式為∴當，∴此函數(shù)的圖象與y軸的交點為(0，1)．（2）解：當n=1時，函數(shù)表達式為當時，將函數(shù)表達式轉(zhuǎn)為頂點式為．∴函數(shù)對稱軸為，在右側(cè)，函數(shù)圖象隨x的增大而減?。喈攛=1時，函數(shù)有最大值，最大值為，解得．∴當時，函數(shù)有最大值1．當時，將函數(shù)表達式轉(zhuǎn)為頂點式為．∴函數(shù)對稱軸為．∴當，函數(shù)有最大值，最大值為，解得．∴當n=1時，此函數(shù)的最大值為1．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)x值的取值判斷函數(shù)表達式和用頂點式求函數(shù)最大值是解本題的關鍵．考點四二次函數(shù)背景下的最值討論問題16．（2023·遼寧大連·模擬預測）已知二次函數(shù)，當且時，的最小值為，最大值為，則的值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，由題意可得，，則的最小值為為負數(shù)，最大值為為正數(shù)．最大值為分兩種情況：①結(jié)合拋物線頂點縱坐標的取值范圍，求出，結(jié)合圖象最小值只能由時求出；②結(jié)合拋物線頂點縱坐標的取值范圍，圖象最大值只能由求出，最小值只能由求出．【詳解】解：二次函數(shù)的大致圖象如下：

①當時，當時，取最小值，即，解得：．當時，取最大值，即，解得：或均不合題意，舍去；②當時，當時，取最小值，即，解得：．當時，取最大值，即，解得：，或時，取最小值，時，取最大值，，，，，此種情形不合題意，所以．故選：B．17．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知二次函數(shù)，當時，二次函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則a的值為（

）A．1或 B．2或 C．2或 D．或【答案】D【分析】依據(jù)題意，由，故拋物線的對稱軸是直線，拋物線開口向下，又當時，二次函數(shù)的最大值為，最小值為，若，進而分類討論計算可以得解．【詳解】解：由題意，∵，∴拋物線的對稱軸是直線，拋物線開口向下．①當時，即，∵時，y隨x的增大而增大，∴當時，取最小值為；當時，取最大值為；又∵，∴∴，不合題意．②當時，∵時，y隨x的增大而減小，∴當時，取最大值為；當時，取最小值為；又∵，∴，∴，不合題意．③當時，即.∴當時，取最大值為若當時，取最小值為；∴，∴（舍去）或．當時，取最小值為；∴，∴，∴（舍去）或．綜上，或．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，一元二次方程的解法，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．18．（2024·山東濟南·二模）拋物線，將其圖象在軸下方的部分沿軸翻折，其余部分保持不變，組成圖形是上的任意一點，當時，的最大值記為，則取得最小值時，的值為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．根據(jù)題意，結(jié)合所給選項畫出正確的圖形是解決本題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象的開口向上，圖象過原點，結(jié)合的取值范圍和所給選項，畫出相關圖形，得到時，的最大值，比較后得到取得最小值時，的值為多少．【詳解】解：①當時，對稱軸在軸的左側(cè)或者軸．所給選項無，所以以對稱軸在軸左側(cè)為例，畫出圖形．由圖象可得：當時，∴當取的最小值時，最小，即②當時，對稱軸在軸的右側(cè)．當時，．當時，圖象的最高點為頂點．．或不合題意，舍去．取得最小值時，的值為．故選：C．19．（2024·浙江·一模）已知一次函數(shù)，當時，，若的最小值為2，則m的值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)性質(zhì)是解答本題的關鍵．先分析和時導出，根據(jù)最小值可得最小值為，通過配方得到，再根據(jù)確定的取值．【詳解】解：當時，，，當，，，當時，，，當，，，的最小值為2，最小值為，，當時，取得最小值，即，，由題意知，所以，當時，，，不符合題意舍去，當時，，滿足題意，故選：D20．（2024·福建福州·模擬預測）已知拋物線過點，兩點，若，時，y的最大值為，則t的值是（

）A． B．0 C．1 D．4【答案】C【分析】根據(jù)拋物線過點，兩點，可以求得該拋物線的對稱軸，然后再根據(jù)，時，y的最大值為即可求得的值．【詳解】解：∵拋物線過點，兩點，，解得：，∴拋物線即為，它的開口向下，對稱軸是直線，當時，有最大值，若，則，∵當時，y的最大值為，∴，即，解得：，∵，．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．21．（2024·陜西寶雞·二模）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)），當時，函數(shù)的最大值與最小值的差為9，則a的值為（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)題意可知二次函數(shù)，故該函數(shù)的對稱軸為直線，函數(shù)的最大值為，然后根據(jù)對稱軸所在的位置進行分類討論計算即可；準確了解當時，函數(shù)的最值會發(fā)生變化，從而結(jié)合方程解決問題是關鍵．【詳解】解：二次函數(shù)，該函數(shù)的對稱軸為直線，函數(shù)的最大值為，當時，時，函數(shù)有最大值；時，函數(shù)有最小值；∵當時，函數(shù)的最大值與最小值的差為9，解得（舍去）；當時，時，函數(shù)有最大值；時，函數(shù)有最小值；∵當時，函數(shù)的最大值與最小值的差為9，解得（舍去）；當時，時，函數(shù)有最小值；函數(shù)有最大值；解得；當時，時，函數(shù)有最小值；函數(shù)有最大值；解得；故選：．22．（21-22九年級上·湖北荊州·期中）已知二次函數(shù)，當時有最小值10，則m的值為．【答案】或7/7或-1【分析】對對稱軸的位置進行分類討論，再根據(jù)最小值求出m的值即可．【詳解】解：當m<2時，二次函數(shù)在x=2時取得最小值，所以，解得，（舍）；當時，二次函數(shù)在x=m時取得最小值，∴所以，該方程無解；當m>4時，二次函數(shù)在x=4時取得最小值，所以，解得，（舍）；故答案為：或7．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些知識點是解題關鍵，同時注意分類討論思想的使用．23．（21-22九年級上·湖南長沙·期末）二次函數(shù)y＝-(x-1)2+5，當m≤x≤n且mn＜0時，y的最小值為5m，最大值為5n，則m+n的值為．【答案】-3【分析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，據(jù)此得最小值為5m為負數(shù)，最大值為5n為正數(shù)．將最大值為5n分兩種情況，①頂點縱坐標取到最大值，結(jié)合圖象最小值只能由x=m時求出．②頂點縱坐標取不到最大值，結(jié)合圖象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．【詳解】二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+5的大致圖象如下：①當m≤0≤x≤n＜1時，當x=m時y取最小值，即5m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣4，當x=n時y取最大值，即5n=﹣（n﹣1）2+5，解得：n=-4或n=1（均不合題意，舍去）；②當m≤0≤x≤1≤n時，當x=m時y取最小值，即5m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣4，當x=1時y取最大值，即5n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=1，或x=n時y取最小值，x=1時y取最大值，5m=-（n-1）2+5，n=1，∴m=1，∵m＜0，∴此種情形不合題意，所以m+n=﹣4+1=-3．故答案為：-3．【點睛】本題考查二次函數(shù)的最值，一定要考慮二次函數(shù)的頂點坐標是否在自變量的取值范圍內(nèi)，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵．24．（2024·江蘇南京·二模）已知二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸的公共點為，．(1)當時，求的值；(2)當，且時，求的取值范圍；(3)線段長的最小值為．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的最值，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．（1）把代入得，可得，即可求解；（2）把代入得，把代入得，分類討論，利用數(shù)形結(jié)合思想即可解決；（3）先表示出，再由一元二次方程根于系數(shù)的關系即可求解．【詳解】（1）解：把代入得，∵圖像與x軸的公共點為，，∴．∵，∴；（2）解：把代入得，

把代入得，當時，則，∴．當時，則，∴．綜上所述，m的范圍是：或；（3）解：把代入得，∴，∵，∴，故答案為：．考點五二次函數(shù)圖象的變換問題25．（2024·四川南充·二模）如圖，將拋物線在軸下方的圖象沿軸翻折到軸上方，原拋物線軸上方的圖象與翻折得到圖象組成一個新函數(shù)的圖象，若直線與新函數(shù)的圖象有三個交點，則的取值范圍是．【答案】或者【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，如圖所示，過點A的直線與新圖象有三個公共點，將直線向下平移到恰在點E處相切，此時與新圖象也有三個公共點，準確畫出圖形，問題隨之得解．【詳解】解：如圖所示，過點A的直線與新圖象有三個公共點，將直線向上平移到恰在點E處相切，此時與新圖象也有三個公共點，令，解得：，，∴，，∵將拋物線在軸下方的圖象沿軸翻折到軸上方，∴翻折之后的二次函數(shù)的解析式為：，將一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立得：，整理得：，令，解得：，當一次函數(shù)過點A時，將代入得：，解得：，∴若直線與這個新圖象有3個交點，則b的取值范圍為：或者，故答案為：或者．26．（2024·遼寧大連·三模）如圖，在平面直角坐標系中，將拋物線：繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，向右平移4個單位，向上平移2個單位得到．點為的頂點，作直線．點為平面內(nèi)一動點，將點向上平移兩個單位長度得到點，過點作y軸的垂線交直線于點，以、為邊構(gòu)造矩形．設、、的圖象為．當矩形與圖象有三個公共點時，的取值范圍為．【答案】或或【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點，二次函數(shù)圖象的平移等知識；利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分情況利用數(shù)形結(jié)合的方法分析求解即可．【詳解】解：由題意知，的解析式為，的解析式為；①當B與原點重合時，，此時矩形不存在；②當Q在與y軸的交點上時，矩形與圖象G有三個公共點，如圖：當時，，即；故當時，矩形與圖象G有三個公共點；③時，矩形與圖象G只有兩個公共點，如下圖所示；④由②中可知，當時，矩形與圖象G有四個公共點；⑤如圖，當點D在上時，矩形與圖象G有三個公共點；設直線的解析式為，把點A坐標代入得，即；∵點Q向上平移兩個單位長度得到點B，，∴點D的縱坐標為，即，把點D坐標代入，得：，解得：（舍去），；即點Q的縱坐標為，故；⑥當時，矩形與圖象G只有三個公共點，如圖；⑦當時，矩形與圖象G只有兩個公共點，如圖；綜上，當或或時，矩形與圖象G有三個公共點．27．（2024·四川廣元·三模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與其關于直線對稱的圖象交于四點，則四邊形的面積為．

【答案】【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，四邊形的面積，聯(lián)立函數(shù)解析式求出坐標，可求出，連接，設，由點關于直線對稱，可得，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得，，即可求解，由軸對稱的性質(zhì)對稱坐標的關系是解題的關鍵．【詳解】解：由，解得或，∴，，∴，連接，

設，∵點關于直線對稱，∴，，把、代入得，，得，，整理得，，即，∴，把代入得，，整理得，，解得，，∴，，∴，∵，∴，故答案為：．28．（2024·陜西商洛·三模）如圖，拋物線與軸交于，，與軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)將拋物線先向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到新的拋物線，在的對稱軸上有一點，坐標平面內(nèi)有一點，使得以，，，為頂點且以為邊的四邊形是矩形，求滿足條件的點的坐標．【答案】(1)(2)點的坐標為或【分析】（1）將點，代入得到關于、的二元一次方程組，求解即可；（2）分兩種情況，分別根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)、平移和矩形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，，∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達式為；（2）∵將拋物線先向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到新的拋物線，∴，∴拋物線的對稱軸為直線，∵拋物線與軸交于點，∴，∵，，∴，，①如圖，當為矩形一邊，且點在軸的下方，過作軸，∴，∴，∴，∴，∵在的對稱軸直線上，，∴，，∴，∴，∴點，∴點向右平移個單位，向下平移個單位可得到點，∴點向右平移個單位，向下平移個單位可得到；②當為矩形一邊，且點在軸的上方，的對稱軸直線與軸交于點，∴，，∵在的對稱軸直線上，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點向左平移個單位，向上平移個單位可得到點，∴點向左平移個單位，向上平移個單位可得到點；綜上所述，點的坐標為或時，以，為頂點，且以為邊的四邊形是矩形．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)及圖像的平移，平移的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，兩點間距離等知識點，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解題的關鍵．29．（2024·河南焦作·二模）已知拋物線的頂點為D．(1)若拋物線經(jīng)過原點，求a的值及頂點D的坐