中考要不要“套路”（2）——再議破解2021年河南中考數學壓軸題之“套路”王

橋今天咱們再從“套路”的角度賞析一道2021年河南中考壓軸題。雖然這道題目不算很難，但是卻也很值得品味。不過，咱們今天仍然不說題目的情景設置如何推陳出新，體現我國古代燦爛的文化，咱們今天還從“套路”的角度說起。首先，命制這道題目本身就已經開始“套路”了！——建模?。纳钪械膶嶋H問題抽象出數學問題，建立數學模型，這本身就是最大的“套路”！不過，咱還談不上“學科素養(yǎng)”，咱們還是“應試”一點，從“應試”的角度看下這道題“套路”了嗎？例2、（2021河南中考第20題）在古代，智慧的勞動人民已經會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉動，將糧食磨碎，物理學上稱這種動力傳輸工具為“曲線連桿機構”．小明受此啟發(fā)設計了一個“雙連桿機構”，設計圖如圖1，兩個固定長度的“連桿”AP，BP的連接點P在?O上，當點P在?O上轉動時，帶動點A，B分別在射線OM，ON上滑動，OM⊥ON．當AP與?O相切時，點B恰好落在?O上，如圖2．請僅就圖2的情形解答下列問題．（1）求證：∠PAO＝2∠PBO；（2）若?O的半徑為5，AP＝20/3，求BP的長．【解析】（1）其實第（1）問比較簡單，咱們就直接上“套路”——口中念念有詞“遇切線，做半徑，造直角”......——關于輔助線的做法的“套路”，詳見《春季攻勢》第15——16講《輔助線秘籍》如圖，連接OP，則OP⊥AP，∴∠PAO+∠AOP=90°?！逴M⊥ON，則∠POA+∠POQ=90°，∴∠POQ=∠PAO?！逴P=OB，則∠POQ=2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO；（2）∵?O的半徑為5，AP＝20/3，首先，Rt△PAO可解，根據勾股定理，易求得AO=25/3。其實，△OPA三邊之比為3:4:5——這個“勾廣三、股修四、弦隅五”的基本圖形出現！接下來是求線段PB。老王曾經說過：初中數學半幾何，初中幾何半勾股！——不知道這句話算不算“套路”？老王還說過：知線段，求線段，造方程......老王又說過：構造方程法是最大的通法（之一）；最常見的就是三種構造方程的方式是：根據勾股定理構造方程；根據相似三角形的對應邊成比例構造方程；根據銳角三角函數（直角三角形的邊角關系）構造方程——這些肯定是“套路”中的“套路”了。——詳見《沖刺十招》第2招“無中生有話'構造’”或《春季攻勢》第3講“構造方程法”策略一：根據勾股定理構造方程只需把PB構造在直角三角形中。方法1：被動構造——遇直徑，造直角。不妨設NQ與⊙O交于點C，則易知BC=10，只需求出PC，即可根據勾股定理求出PB；方法2：主動構造——做垂直，造直角。不妨作PD⊥BQ于點D，只需求出PD和ND，即可根據勾股定理求出PB；策略二：根據相似三角形的對應邊成比例構造方程其實這道題目，能夠首先想到用“相似”構造方程，胸中肯定是事先有了許多“套路”的！作為老師，我們是肯定知道大名鼎鼎的“弦切角定理”的（其實，定理本身就是“套路”。但是，在“減負”的大旗下，補充這些“套路”是否有點“背道而馳”呢？）。方法3：延長AP交NQ于點E，則根據“弦切角定理”，則∠EPC=∠EBP，則易證△EPC∽△EBP，此時，只需求出PC的長以及兩個三角形的相似比，即可求出PB。策略三：根據銳角三角函數構造方程方法4：只需把PB構造在直角三角形中（因為初中僅僅學到解直角三角形），在此直角三角形中只需知道除PB外的任意一條邊和任意一個銳角的任意一個三角函數值，則PB可求。這又回到了策略一中的兩種構造直角三角形的“套路”了！正所謂：條條“套路”通羅馬，殊途同歸有“套路”！其實，勾股、相似和三角這三個最常用的“套路”工具在某種程度上本來就是相通的。難怪張景中院士能夠獨辟蹊徑的的提出了“下放三角，全局皆活”的教育數學的先進理念！最后咱們綜合一下：方法1、方法3和方法4的關鍵是求出PC的長。你是否又發(fā)現了一個被“減負”掉的“射影定理”模型？顯然△AEO∽△AOP∽△OEP，這三個三角形均是3:4:5的三角形，則易求得PE=15/4，EO=25/4，則EC=EO-CO=25/4-20/4=5/4，則PE:EC=15/4:5/4=3:1=PB:PC......正所謂：踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫！在Rt△PBC中，若設PC為x，PB為3x，BC=10，根據勾股定理構造方程：x2+(3x)2=102，解得x=√10，則PB=3x=3√10；方法2和方法4的關鍵是求出PD的長和BD的長。突然發(fā)現，這個△AOP∽△OPD，且為相似比為3:4:5的直角三角形。而PO=5，則易求得PD=3，DO=4（這才是命題人想讓你找出來的“套路”?。。?，則BD=9，至此即可根據勾股定理求出PB=3x=3√10；其實，如果你對于特的“12345模型”比較熟悉的話，這里還有個“套路”——“1/3+1/3=3/4”。由第（1）問我們已經證明了∠PAO＝2∠PBO；顯然，tan∠PAO=tan∠POD=3/4，則tan∠PBO=tan∠BPO=1/3，至此，你無論是求PC還是求PD，無論是用勾股用相似還是用銳角三角函數，問題就迎刃而解了！——關于“12345模型”，詳見《沙場秋點兵》（北師版）第10講：“銳角三角函數”。一切都是“套路”！至此，足以證明“2021年中考命題的指導原則是避免'套路’”可能真的是“空穴來風”！抓住特殊性，找出規(guī)律性，總結一般性——也許，無處不在的“套路”也正是數學的魅力之所在！模型教學研討會，是要強調“套路”的，但絕不僅僅是強調“套路”的！所以，某些大咖“當前的中考下，這種模型研討與中考導向是背道而馳的”的忠告其實也是略失偏頗的！歡迎參加第三屆“中考數學模型教學研討會”！這里有知名的命題人！這里有各路解題高手！單獨看待一個地區(qū)的中考，未免有點片面；聽聽這些游刃在全國中考之間的各路大神他們的見解和聲音也許對我們的教學才更有幫助！如果只為應付某個地區(qū)的中考而教學，也許只研究本地的中考就足夠了。但，我們究竟要教什么樣的數學？我們究竟要教會孩子們什么樣的數學？怎樣才能以不變應萬變？你真的認真的思考過了嗎？——因為老王有許多困惑，所以老王也想借助研討會的功能不斷的釋疑解惑，提升自己的能量。關于第三屆模型教學研討會——一、講師團隊（排名不分先后順序）1、徐方瞿：數學副教授，先后任上海市楊浦區(qū)教育學院數學教師、數學教研員、副院長，楊浦區(qū)人民政府副區(qū)長，歷任中國創(chuàng)造學會理事、上海創(chuàng)造學會副會長、上海創(chuàng)造工程研究所特約研究員、上海創(chuàng)造教育講師團團長，現為教育部民族教育發(fā)展中心特聘專家。首創(chuàng)的基本圖形分析法有效解決了幾何難教難學的問題，尤其是怎樣添加輔助線這一長期未能解決的難題。他帶領團隊研制的《幾何王》和《思維王》軟件獲得國家級軟件著作權，首創(chuàng)了思維過程可視化這一核心技術，將幾何問題的思維過程用信息技術形象地、一步一的步地在電腦上展示出來，實現了對學生的思維過程、思維能力、思維水平和思維品質的評價。2、易良斌：湖北省、浙江省特級教師，中國數學會會員，中國數學奧林匹克教練，中國教育學會中學數學專業(yè)委員會會員，中國數學教育發(fā)展研究中心會員，中國學習科學研究會研究員。長三角名師工作室常務理事，全國多家數學刊物特約編輯。浙江省雙名工程導師，杭州市名師工程初中數學實踐基地主持人，杭州師范大學碩士研究生導師，省級名師工作室主持人。在全國各地上示范課及專題講座500余場，全國60余家省級以上刊物發(fā)表教育教學研究及管理論文400余篇。出版《數學奧林匹克中心學習法》《課改新干線》《數學學習重難點手冊》《中學數學教與學——研究與引領》《中考數學復習微專題講座》《初中數學專題學習指導》等學習指導用書、教學專著10余部。60余項科研成果在各級學術交流活動及論文評選中獲獎。3、姚志敏：浙江省紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心資深教研員，浙江省正高級教師，浙江省特級教師，浙江省首屆優(yōu)秀教研員，浙江省名師網絡工作室導師，先后被聘為浙派名師培養(yǎng)工程導師，浙江師范大學名師培養(yǎng)工程導師，浙江師范大學和紹興文理學院教育碩士研究生導師，杭州與紹興等多地名師培養(yǎng)工程導師，近六年去全國19個省市講學或展示，在浙江省內及全國上示范課和作專題報告有500多場次，都深得好評！指導多名教師榮獲全國優(yōu)秀課一等獎，指導多名學生榮獲全國初中數學競賽一等獎，有30多篇教科研論發(fā)表在全國雜志及全國核心期刊上。4、包彥禹：全國優(yōu)質課獲獎教師，全國初中數學奧林匹克數學競賽優(yōu)秀輔導員，參加中考命題經歷。在數學文化、數學教育創(chuàng)新領域頗有研究，出品有多部數學電影，被媒體譽為“中國數學電影第一人”，現任浙江藍潤天使實驗外國語學校初中部學術校長5、談志國：江蘇青年名師，暢銷書《中考數學思維方法與解題策略》作者，知名公眾號《數學大思維》版主，2020全國一輪備考研討會主講嘉賓。對數學思想方法、數學思維、數學模型教學均有獨特的理解。多次獲教學基本功大賽一等獎，有多篇論文發(fā)表及獲獎，多次開設縣市級以上教師培訓講座。6、劉金鐘：一線教書匠，邢臺市最美教師，用鉛筆學數學的倡導者。致力于研究初中數學教學及中考命題，金太陽教育《中考備考》特聘專家。著有《鉛筆數學》、《初中數學教師手記》等著作，參編《試題研究》、《一戰(zhàn)成名·考前新方案》、《中考王》等書籍。7、吳曉東：河南省數學骨干教師，曉東初中數學名師工作室主持人。專注于幾何畫板研究，致力于中招壓軸題突破。三門峽市優(yōu)質課一等獎，三門峽市班主任崗位標兵。8、王橋：《中學生數理化》特約編輯，“有趣的數學”欄目專欄作者，播睿智教育創(chuàng)始人，“挑戰(zhàn)中考壓軸題名師團”發(fā)起人。主編《非常教案》《中考面對面》《中招亮劍》《沖刺十招》《沙場秋點兵》《春季攻勢》《中考專家》等多部教材教輔，《中學生數理化》《理科考試研究》等雜志發(fā)表論文200余篇9、王勇戰(zhàn)，中共黨員，中考資深研究專家，幾何畫板研應用專家；中國教育出版網特聘“研究員”；中國教育出版網華夏名師庫成員；“挑戰(zhàn)中考壓軸題鄭州教研基地”發(fā)起人兼理事長，挑戰(zhàn)中考壓軸題名師團核心成員，全國挑戰(zhàn)中考壓軸題講題大賽組委會成員、講題大賽主持人，全國中考數學二輪復習研討會金牌主持和專家組成員，全國模型教學研討會金牌主持和做客專家，多篇文章在《教育時報》（數學導刊）、《中學生數理化》等CN期刊發(fā)表，《三年中考兩年模擬》（河南版）作者，《初中同步學習導與練》（華師版）副主編，《中考專家》作者，《突圍》，中考信息《絕密情報》（河南版）作者等10、神秘數學大咖......二、會議議程：日期時間研討內容專家8月9日上午

8: