PAGE11-第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關系【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.四個基本事實 基本事實1:過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面.符號:A,B,C三點不共線?存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事實2:如果一條直線上的兩個點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內.符號:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α.基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.符號:P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l.基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線平行.符號:a∥b,b∥c?a∥c.2.基本事實的三個推論推論1:經過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面.推論2:經過兩條相交直線,有且只有一個平面.推論3:經過兩條平行直線,有且只有一個平面.3.空間點、直線、平面之間的位置關系項目直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關系圖形語言符號語言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l其他關系圖形語言-符號語言a,b是異面直線a?α-【微點撥】(1)直線在平面外分直線與平面平行和直線與平面相交兩種情況.(2)兩條直線沒有公共點分直線與直線平行和直線與直線異面兩種情況.4.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.5.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經過空間任意一點O分別作直線a'∥a,b'∥b,把a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍:0,【基礎小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號14231.(多維辨析)(多選題)下列結論錯誤的是()A.如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合B.經過兩條相交直線,有且只有一個平面C.兩兩相交的三條直線共面D.若a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,且a?α,b?β,則a,b是異面直線【解析】選ACD.A中的兩個平面可能相交;B正確;C中的三條直線相交于一點時可能不共面;D中的兩條直線可能是平行直線.2.(易錯題)若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內的所有直線與l異面B.α內不存在與l平行的直線C.α內存在唯一的直線與l平行D.α內的直線與l都相交【解析】選B.由題意知,直線l與平面α相交,則直線l與平面α內的直線只有相交和異面兩種位置關系,因而只有選項B是正確的.3.(多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則()A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°【解析】選ABD.如圖,連接AD1,在正方形A1ADD1中,AD1⊥DA1,因為AD1∥BC1,所以BC1⊥DA1,所以直線BC1與DA1所成的角為90°,故A正確.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1,又BC1?平面BCC1B1,所以CD⊥BC1,連接B1C,則B1C⊥BC1,因為CD∩B1C=C,CD,B1C?平面DCB1A1,所以BC1⊥平面DCB1A1,又CA1?平面DCB1A1,所以BC1⊥CA1,所以直線BC1與CA1所成的角為90°,故B正確.連接A1C1,交B1D1于點O,則易得OC1⊥平面BB1D1D,連接OB,因為OB?平面BB1D1D,所以OC1⊥OB,∠OBC1為直線BC1與平面BB1D1D所成的角.設正方體的棱長為a,則易得BC1=2a,OC1=2a2,所以在Rt△BOC1中,OC1=12BC∠OBC1=30°,故C錯誤.因為C1C⊥平面ABCD,所以∠CBC1為直線BC1與平面ABCD所成的角,易得∠CBC1=45°,故D正確.4.(必修二P134例1變形式)如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則(1)當AC,BD滿足條件________時,四邊形EFGH為菱形;

(2)當AC,BD滿足條件________時,四邊形EFGH為正方形.

【解析】(1)因為四邊形EFGH為菱形,所以EF=EH,因為EF=12AC,EH=12BD,所以AC(2)因為四邊形EFGH為正方形,所以EF=EH且EF⊥EH.因為EF∥AC,EH∥BD,且EF=12AC,EH=12所以AC=BD且AC⊥BD.答案:(1)AC=BD(2)AC=BD且AC⊥BD【核心考點·分類突破】考點一空間位置關系的判斷[例1](1)(多選題)下列選項正確的是()A.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內B.過空間中任意三點有且僅有一個平面C.若空間兩條直線不相交,則這兩條直線平行D.若直線l?平面α,直線m⊥平面α,則m⊥l【解析】選AD.對于選項A,可設l1與l2相交,這兩條直線確定的平面為α;若l3與l1相交于B,則交點B在平面α內,同理,l3與l2的交點A也在平面α內,所以AB?α,即l3?α,選項A正確.對于選項B,若三點共線,則過這三個點的平面有無數個,選項B錯誤.對于選項C,空間中兩條直線可能相交、平行或異面,選項C錯誤.對于選項D,若直線m⊥平面α,則m垂直于平面α內所有直線.因為直線l?平面α,所以直線m⊥直線l,選項D正確.(2)如圖,G,N,M,H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH與MN是異面直線的圖形有________.(填序號)

【解析】題圖①中,直線GH∥MN;題圖②中,G,H,N三點共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;題圖③中,連接MG,則GM∥HN,因此GH與MN共面;題圖④中,G,M,N共面,但H?平面GMN,因此GH與MN異面,所以題圖②④中GH與MN異面.答案:②④【解題技法】1.點、線共面的判斷方法(1)納入平面法:要證明“點共面”或“線共面”,可先由部分點或直線確定一個平面,再證其余點或直線也在這個平面內.(2)輔助平面法:先證明有關的點、線確定平面α,再證明其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合.(3)證明四點共面常通過證明四點組成的四邊形為平行四邊形或梯形來解決.2.兩直線位置關系的判斷【微提醒】平面外一點與平面內一點的連線與平面內不經過該點的直線是異面直線.【對點訓練】1.已知異面直線a,b分別在平面α,β內,且α∩β=c,那么直線c一定()A.與a,b都相交B.只能與a,b中的一條相交C.至少與a,b中的一條相交D.與a,b都平行【解析】選C.由題意易知,c與a,b都可相交,也可只與其中一條相交,故A,B均錯誤;若c與a,b都不相交,則c與a,b都平行,根據基本事實4,知a∥b,與a,b為異面直線矛盾,D錯誤.2.設a,b,c是空間中的三條直線,下面給出四個命題:①若a∥b,b∥c,則a∥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;③若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;④若a?平面α,b?平面β,則a,b一定是異面直線.上述命題中錯誤的是__________(寫出所有錯誤命題的序號).

【解析】由基本事實4知①正確;當a⊥b,b⊥c時,a與c可以相交、平行或異面,故②錯誤;當a與b相交,b與c相交時,a與c可以相交、平行,也可以異面,故③錯誤;a?α,b?β,并不能說明a與b不同在任何一個平面內,故④錯誤.答案:②③④考點二基本事實及其應用[例2]如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是B1C1和C1D1的中點.求證:(1)E,F,D,B四點共面;(2)BE,DF,CC1三線共點.【證明】(1)如圖,連接EF,BD,B1D1,因為EF是△B1C1D1的中位線,所以EF∥B1D1,因為BB1與DD1平行且相等,所以四邊形BDD1B1是平行四邊形,所以BD∥B1D1,所以EF∥BD,所以E,F,D,B四點共面;(2)因為EF∥BD,且EF≠BD,所以直線BE和DF相交,延長BE,DF,設它們相交于點P,因為P∈直線BE,直線BE?平面BB1C1C,所以P∈平面BB1C1C,因為P∈直線DF,直線DF?平面CDD1C1,所以P∈平面CDD1C1,因為平面BB1C1C∩平面CDD1C1=CC1,所以P∈CC1,所以BE,DF,CC1三線共點.【解題技法】1.證明空間點共線問題的方法(1)一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點,再根據基本事實3證明這些點都在這兩個平面的交線上.(2)選擇其中兩點確定一條直線,然后證明其余點也在該直線上.2.共面、共點問題(1)先確定一個平面,然后再證其余的線(或點)在這個平面內;(2)利用確定平面的定理,如由點構造平行直線、構造相交直線等.【對點訓練】1.如圖,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C?l,直線AB∩l=M,過A,B,C三點的平面記作γ,則γ與β的交線必經過()A.點AB.點BC.點C但不過點MD.點C和點M【解析】選D.因為AB?γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根據基本事實3可知,M在γ與β的交線上.同理可知,點C也在γ與β的交線上.所以γ與β的交線必經過點C和點M.2.已知空間四邊形ABCD(如圖所示),E,F分別是AB,AD的中點,G,H分別是BC,CD上的點,且CG=13BC,CH=13DC.(1)E,F,G,H四點共面;(2)三直線FH,EG,AC共點.【證明】(1)連接EF,GH,因為E,F分別是AB,AD的中點,所以EF∥BD.又因為CG=13BC,CH=13所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四點共面.(2)易知FH與直線AC不平行,但共面,所以設FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因為平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以FH,EG,AC共點.考點三異面直線所成的角[例3](1)如圖所示,圓柱O1O2的底面半徑為1,高為2,AB是一條母線,BD是圓O1的直徑,C是上底面圓周上一點,∠CBD=30°,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為()A.33535 BC.3714 D【解析】選C.連接AO2,設AO2的延長線交下底面圓周上的點為E,連接CE,易知∠CAE(或其補角)即為異面直線AC與BD所成的角,連接CD(圖略),在Rt△BCD中,∠BCD=90°,BD=2,∠CBD=30°,得BC=3,CD=1.又AB=DE=AE=BD=2,AC=AB2+BC2=7,CE=DC2+DE2=5,所以在△CAE中即異面直線AC與BD所成角的余弦值為37(2)(2023·武漢模擬)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分別為AC,BC的中點,則異面直線C1D與B1E所成角的余弦值為()A.33 B.C.1010 D.【解析】選D.設AB=2,取A1B1的中點F,連接C1F,DF,DE,則B1F=12A1B1因為D,E分別為AC,BC的中點,所以DE∥AB,DE=12AB因為A1B1∥AB,A1B1=AB,所以DE∥B1F,B1F=DE,所以四邊形DEB1F為平行四邊形,所以DF∥B1E,所以∠C1DF為異面直線C1D與B1E所成的角或補角.因為AB⊥BC,AB=BC=AA1=2,D,E分別為AC,BC的中點,所以DF=B1E=12+2C1F=12+22=5,C1D=所以cos∠C1DF=12C1DDF【解題技法】求異面直線所成角的方法(1)求異面直線所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;補形平移.(2)求異面直線所成角的三步:一作、二證、三求.①一作:根據定義作平行線,作出異面直線所成的角;②二證:證明作出的角是異面直線所成的角;③三求:解三角形,求出所作的角.如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補角才是要求的角.【對點訓練】1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點,則直線PB與AD1所成的角為()A.π2 B.π3 C.π4 【解析】選D.如圖,連接A1C1,BC1,因為AD1∥BC1,所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角.設正方體的棱長為2,則PB=6,PC1=2,BC1=22,則PB2+PC12=BC12,在Rt△因為sin∠PBC1=PC1BC1所以直線PB與AD1所成的角為π62.如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE=14SB,則異面直線SC與OE所成角的正切值為(A.222 B.53 C.1316 【解析】選D.如圖,過點S作SF∥OE,交AB于點F,連接CF,則∠CSF(或其補角)為異面直線SC與OE所成的角.因為SE=14SB,所以SE=1又OB=3,所以OF=13OB=1因為SO⊥OC,SO=OC=3,所以SC=32.因為SO⊥OF,所以SF=SO2+因為