浙江省9+1高中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合、，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，，?故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】求出，再求.也可直接用復(fù)數(shù)模長性質(zhì)求解.【詳解】解法一：由題意，易得：，∴.解法二：∴.故選：D3.過原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得直線的方程，根據(jù)圓的方程，可得圓心為（0,1），半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，可得圓心（0,1）到直線的距離d，代入公式，即可求得答案.【詳解】由題意得：直線的斜率，且直線過原點(diǎn)，所以直線的方程為，圓的方程化為：，即圓心為（0,1），半徑，所以圓心（0,1）到直線的距離，所以直線被圓所截得弦長為.故選：B4.從2位男生，4位女生中安排3人到三個場館做志愿者，每個場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（）種.A.16 B.20 C.96 D.120【答案】C【解析】【分析】分一男兩女與兩男一女兩類討論.【詳解】若選一男兩女共有：；若選兩男一女共有：；因此共有96種，故選：C5.雷峰塔又名黃妃塔?西關(guān)磚塔，位于浙江省杭州市西湖區(qū)，地處西湖風(fēng)景區(qū)南岸夕照山（海拔46米）之上.是吳越國王錢俶為供奉佛螺髻發(fā)舍利?祈求國泰民安而建.始建于北宋太平興國二年（977年），歷代屢加重修.現(xiàn)存建筑以原雷峰塔為原型設(shè)計(jì)，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中國九大名塔之一，中國首座彩色銅雕寶塔.李華同學(xué)為測量塔高，在西湖邊相距的?兩處（海拔均約16米）各放置一架垂直于地面高為米的測角儀?（如圖所示）.在測角儀處測得兩個數(shù)據(jù)：塔頂仰角及塔頂與觀測儀點(diǎn)的視角在測角儀處測得塔頂與觀測儀點(diǎn)的視角，李華根據(jù)以上數(shù)據(jù)能估計(jì)雷鋒塔的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.70.5 B.71 C.71.5 D.72【答案】C【解析】【分析】在中由正弦定理求得，在直角中，，將平面畫成平面圖，以地平線為基準(zhǔn)，根據(jù)各個高度關(guān)系求MN的高度.【詳解】在中，，，所以，由正弦定理得，所以，在直角中，，將平面畫成平面圖如圖所示：由題意知：，，，.故選：C.6.已知中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則“”為“點(diǎn)為重心”（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】等價于等價于點(diǎn)為重心.【詳解】充分性：等價于：等價于：等價于：所以為的靠近的三等分點(diǎn)，所以點(diǎn)為重心；必要性：若點(diǎn)為重心，由重心性質(zhì)知，故故選：C7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，關(guān)于點(diǎn)對稱，求得，結(jié)合對稱性可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，令可得，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，關(guān)于點(diǎn)對稱，又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，則，則，、、的值都不確定.故選：D.8.已知，，，則（）A. B. C. D..【答案】A【解析】【分析】利用的單調(diào)性比較的大小關(guān)系，利用的單調(diào)性證明即可比較出的大小關(guān)系.【詳解】令，，由得，，由得，，所以在上為增函數(shù)，在為減函數(shù).因，所以，即，故.因?yàn)椋?，所以，所以，所以，而，所以．故選：A【點(diǎn)睛】比較數(shù)值大小的方法：①根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式構(gòu)造指對冪函數(shù)，利用它們的單調(diào)性比較大??；②采取與中間量比大小，通常與0，1，比較.③數(shù)值之間差距比較小時可以采用擴(kuò)大倍數(shù)，或次方后再比較大??；④對形式結(jié)構(gòu)從外觀上看不太統(tǒng)一的可以先變形后再構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系；⑤借助于函數(shù)不等式、切線不等式放縮比大小.二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知函數(shù)，其中，為實(shí)數(shù)，則下列條件能使函數(shù)僅有一個零點(diǎn)的是（）A.， B.， C.， D.，【答案】ACD【解析】【分析】將的值代入解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合圖象及零點(diǎn)存在性定理，判斷零點(diǎn)個數(shù).【詳解】由已知可得的定義域?yàn)?對于A、當(dāng)時，，則.當(dāng)或時，;當(dāng)時，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，在處取得極小值.因?yàn)榍覉D象連續(xù)不斷，故的圖象與軸有且只有一個交點(diǎn)，故此時有且只有一個零點(diǎn)，故該選項(xiàng)符合題意.對于B、當(dāng)時，，則.當(dāng)或時，;當(dāng)時，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，在處取得極小值.又因?yàn)?，且的圖象連續(xù)不斷，故的圖象與軸有且只有兩個交點(diǎn)，故此時有且只有兩個零點(diǎn)，故該選項(xiàng)不合題意.對于C、當(dāng)時，，則在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋业膱D象連續(xù)不斷，故的圖象與軸有且只有一個交點(diǎn)，故此時有且只有一個零點(diǎn)，故該選項(xiàng)符合題意.對于D、當(dāng)時，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，且的圖象連續(xù)不斷，故的圖象與軸有且只有一個交點(diǎn)，故此時有且只有一個零點(diǎn)，故該選項(xiàng)符合題意.故選:ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的值域?yàn)锽.點(diǎn)是函數(shù)的一個對稱中心C.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D.若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】利用輔助角公式可得出，利用正弦型函數(shù)的值域可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷B選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷CD選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對于A選項(xiàng)，函數(shù)的值域?yàn)?，A對；對于B選項(xiàng)，，故點(diǎn)是函數(shù)的一個對稱中心，B對；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時，，故函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，C錯；對于D選項(xiàng)，由題意且函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，且，所以，，則，解得，故的最大值為，D對.故選：ABD.11.已知袋子中有個紅球和個藍(lán)球，現(xiàn)從袋子中隨機(jī)摸球，則下列說法正確的是（）A.每次摸個球，摸出球觀察顏色后不放回，則第次摸到紅球的概率為B.每次摸個球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第次摸到紅球的條件下，第次摸到紅球的概率為C.每次摸出個球，摸出的球觀察顏色后放回，連續(xù)摸次后，摸到紅球的次數(shù)的方差為D.從中不放回摸個球，摸到紅球的個數(shù)的概率是【答案】AD【解析】【分析】利用全概率公式可判斷A選項(xiàng)；利用條件概率公式可判斷B選項(xiàng)；利用二項(xiàng)分布的方差可判斷C選項(xiàng)；利用超幾何分布的概率可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，記事件第一次摸紅球，事件第一次摸藍(lán)球，事件第二次摸紅球，則，A對；對于B選項(xiàng)，每次摸個球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第次摸到紅球的條件下，第次摸到紅球的概率為，B錯；對于C選項(xiàng)，由題意可知，則，C錯；對于D選項(xiàng)，從中不放回摸個球，摸到紅球的個數(shù)的概率是，D對.故選：AD.12.已知棱長為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，點(diǎn)為球面上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.球在正方體外部分的體積為B.若點(diǎn)在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動，則C.若點(diǎn)在平面下方，則直線與平面所成角的正弦值最大為D.若點(diǎn)??在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動，則最小值為【答案】BD【解析】【分析】對于A，結(jié)合球的體積和正方體體積公式或利用球缺的體積公式即可判斷；對于B，可取中點(diǎn)，可將利用向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合的范圍即可判斷；對于C，直線與平面所成角最大時直線正好與平面ABCD下方球相切，根據(jù)幾何關(guān)系即可求出所成角的最大正弦值，即可判斷；對于D，可將轉(zhuǎn)化為，再利用不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，即可判斷.【詳解】對于A，正方體的棱切球的半徑，如下圖所示，球在正方體外部的體積，或者可根據(jù)球在平面上方球缺部分的體積，為球缺的高，所以球在正方體外部的體積為，A選項(xiàng)錯誤；對于B，取中點(diǎn)，可知在球面上，可得，所以，點(diǎn)在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動，所以（當(dāng)為直徑時，），所以，B選項(xiàng)正確；對于C，若正方體上底面字母為，則直線與平面所成角的正弦值最大時，如上圖所示點(diǎn)位置，此時正弦值最大為1，若正方體下底面字母為，設(shè)平面的中心為,直線與平面所成角即為直線與平面所成角，則直線與平面所成角最大時，直線正好與平面下方球相切，過作平面下方球的切線，切點(diǎn)為，將正方體及其棱切球的截面畫出，如下圖所示，可得，，，，，所以，，，所以直線與平面所成角最大時為，，C選項(xiàng)錯誤；對于D，，記向量與向量的夾角為，，因?yàn)?，且，所以，令，所以上式可化為，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，即時等號成立，根據(jù)題意可知此條件顯然成立，D選項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用向量方法解決立體幾何問題，應(yīng)樹立“基底”意識，利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算，要理解空間向量概念、性質(zhì)、運(yùn)算，注意和平面向量類比.三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.的展開式的中間一項(xiàng)的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)可求得所求項(xiàng)的系數(shù).【詳解】由二項(xiàng)式展開式可知，的展開式的中間一項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.14.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】由題意可得，，由基本不等式性質(zhì)可得的最小值.【詳解】解：由，可得，可得，故的最小值為【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式，注意靈活運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)行求解.15.我們知道用平面截正方體可以得到不同形狀的截面，若棱長為的正方體被某平面截得的多邊形為正六邊形，以該正六邊形為底，此正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐的最大體積是___________.【答案】##【解析】【分析】計(jì)算出正六邊形的面積，以及棱錐高的最大值，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】在棱長為的正方體中，、、、、、分別為對應(yīng)棱的中點(diǎn)，由正方體的幾何性質(zhì)可知，六邊形為正六邊形，且其邊長為，正六邊形的面積為.以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，，，，，，，，，、平面，平面，當(dāng)棱錐的頂點(diǎn)為點(diǎn)或時，棱錐的高最大，且該棱錐高的最大值為，因此，此正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐的最大體積是.故答案為：.16.已知橢圓上兩點(diǎn)，（為長半軸長），點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，點(diǎn)是線段中點(diǎn)，、、軸恰好圍成以為頂點(diǎn)的等腰三角形，則橢圓的離心率為___________.【答案】【解析】【分析】、、軸恰好圍成以為頂點(diǎn)的等腰三角形可知，即可找到的關(guān)系求出離心率.【詳解】由題意知，由??軸恰好圍成以為頂點(diǎn)的等腰三角形可知，所以整理得，故故答案為：四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）仿照與的關(guān)系，由求，再求，注意討論是否符合；（2）先裂項(xiàng)求和，再證明不等式.【小問1詳解】當(dāng)時，相減得當(dāng)時，符合上式所以.當(dāng)時，當(dāng)時，符合上式.故【小問2詳解】由（1）知：所以18.已知的內(nèi)角、、所對的邊長分別為、、，且，若，，求：（1）求的值；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合余弦定理求出的值，再利用誘導(dǎo)公式可求得的值；（2）解法一：根據(jù)結(jié)合余弦定理可得出，利用基本不等式可求得的最大值；解法二：由向量線性運(yùn)算可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【小問1詳解】解：由已知和正弦定理得，由余弦定理可得，所以.【小問2詳解】解：法一：，則，由得，即，又中，從而，即，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故的最大值為.法二：由所以，，即，即，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故的最大值為.19.已知棱長均為2的平行六面體，，頂點(diǎn)的投影為棱中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）等積轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到面距離等于到面距離，可在等邊中求?。唬?）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解.【小問1詳解】如圖，由底面為菱形，，得正，從而有，又平面，平面，得，又故平面，由已知得，平行六面體知：到面距離等于長因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以為正三角形，故也為正三角形，所以【小問2詳解】由底面為菱形，，得正，從而有，以為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，從而，設(shè)平面的法向量為，則，令，，平面平面，其一個法向量為.所以所以平面與平面所成角的余弦值為20.直播電商帶貨的模式近年來發(fā)展勢頭迅猛，我國直播電商模式不僅規(guī)模上實(shí)現(xiàn)增長，在影響力上也發(fā)展成為重要的電商消費(fèi)模式，包括直播活躍程度、覆蓋商品類型、主播類型等都實(shí)現(xiàn)延展.每年的“雙十一”購物節(jié)成為各直播電商里關(guān)注的節(jié)點(diǎn).某直播公司為增加銷售額，準(zhǔn)備采取新舉措，將原本單一的直播團(tuán)隊(duì)拆分為甲?乙兩個直播團(tuán)隊(duì)，相互競爭.該公司記錄了新舉措實(shí)施前天的全公司的日均總銷售額和新舉措實(shí)施后天的日均總銷售額的天數(shù)頻數(shù)分布表，如表所示：新舉措實(shí)施前天全公司的日均總銷售額日均總銷售額（萬元）天數(shù)新舉措實(shí)施后天全公司的日均總銷售額日均總銷售額（萬元）天數(shù)（1）將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整.并回答：在犯錯誤的概率不超過的前提下，能否判斷公司銷售額提高與采取新措施有關(guān)；日均總銷售額小于萬元的天數(shù)日均總銷售額不小于萬元的天數(shù)總計(jì)新舉措實(shí)施前天新舉措實(shí)施后天總計(jì)（2）后期該公司還打算對甲、乙兩個直播團(tuán)隊(duì)的表現(xiàn)進(jìn)行如下考核：選定某周周一至周五的天時間，兩隊(duì)進(jìn)行當(dāng)天銷售額的比較，若甲團(tuán)隊(duì)的銷售額超過萬元且乙團(tuán)隊(duì)的銷售額未超過萬元，則甲團(tuán)隊(duì)得分，乙團(tuán)隊(duì)得分；若乙團(tuán)隊(duì)的銷售額超過萬元且甲團(tuán)隊(duì)的銷售額未超過萬元，則乙團(tuán)隊(duì)得分，甲團(tuán)隊(duì)得分；若兩團(tuán)隊(duì)的銷售額都超過萬元或都未超過萬元，則兩團(tuán)隊(duì)均得分.根據(jù)以往數(shù)據(jù)，甲、乙兩團(tuán)隊(duì)某天銷售額超過萬元的概率分別為和，某一天的考核中甲團(tuán)隊(duì)的得分記為.（i）若，，求的分布列；（ii）若甲、乙兩團(tuán)隊(duì)在考核開始時都賦予分，兩隊(duì)銷售額比較次算一輪，若經(jīng)過輪比較，甲團(tuán)隊(duì)得分的數(shù)學(xué)期望超過分，求的取值范圍（用表示）.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，在犯錯誤的概率不超過的前提下，能判斷公司銷售額提高與采取新措施有關(guān)（2）（i）答案見解析；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，計(jì)算出觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）分析可知隨機(jī)變量的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列.（i）將，代入可得出隨機(jī)變量的分布列；（ii）計(jì)算出的值，利用期望的性質(zhì)可得出，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的不等式，結(jié)合概率的范圍可得出結(jié)果.【小問1詳解】解：列聯(lián)表如下：日均總銷售額小于萬元的天數(shù)日均總銷售額不小于萬元的天數(shù)總計(jì)新舉措實(shí)施前天新舉措實(shí)施后天總計(jì)因?yàn)?，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下，能判斷公司銷售額提高與采取新措施有關(guān).【小問2詳解】解：的所有可能取值為、、，，，，（i）將已知值，代入，得隨機(jī)變量的分布列如下表所示：（ii）由上可知，，又概率，故.21.過雙曲線上一點(diǎn)作兩漸近線的垂線，垂足為、，且.（1）求雙曲線方程；（2）過點(diǎn)的直線與雙曲線右支交于、兩點(diǎn)，連接、，直線與、分別交于、，.（i）若，求的值；（ii）求的最小值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由已知可得出，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出，再利用、、的關(guān)系求得的值，即可得出雙曲線的方程；（2）（i）設(shè)直線方程，則，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，分析可知，可得出，由可求得的值；（ii）由已知可得，令，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，即可得出的最小值.【小問1詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由已知得，雙曲線上一點(diǎn)到漸近線距離之積，即，又，，所以雙曲線方程為.【小問2詳解】