PAGEPAGE46中考數(shù)學函數(shù)自變量取值范圍真題與分析函數(shù)是初中數(shù)學中一個十分重要的內容，為保證函數(shù)式有意義，或實際問題有意義，函數(shù)式中的自變量取值通常要受到一定的限制，這就是函數(shù)自變量的取值范圍。函數(shù)自變量的取值范圍是函數(shù)成立的先決條件，只有正確理解函數(shù)自變量的取值范圍，我們才能正確地解決函數(shù)問題。初中階段確定函數(shù)自變量的取值范圍大致可分為三種類型，從這三方面進行函數(shù)自變量取值范圍（1）函數(shù)關系式中函數(shù)自變量的取值范圍；（2）實際問題中函數(shù)自變量的取值范圍；（3）幾何問題中函數(shù)自變量的取值范圍。一、函數(shù)關系式中函數(shù)自變量的取值范圍：初中階段，在一般的函數(shù)關系中自變量的取值范圍主要考慮以下四種情況：（1）函數(shù)關系式為整式形式：自變量取值范圍為任意實數(shù)；（2）函數(shù)關系式為分式形式：分母≠0；（3）函數(shù)關系式含算術平方根：被開方數(shù)≥0；（4）函數(shù)關系式含0指數(shù)：底數(shù)≠0。典型例題：例1：函數(shù)的自變量x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為【】A．B．C．D．【答案】D?！究键c】函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件，在數(shù)軸上表示不等式的解集?！痉治觥扛鶕?jù)二次根式有意義的條件，計算出的取值范圍，再在數(shù)軸上表示即可，不等式的解集在數(shù)軸上表示的方法：＞，≥向右畫；＜，≤向左畫，在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示。根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的條件，要使在實數(shù)范圍內有意義，必須。故在數(shù)軸上表示為：。故選D。例2：函數(shù)y=中自變量x的取值范圍是【】A．x=2B．x≠2C．x＞2D．x＜【答案】B。【考點】函數(shù)自變量的取值范圍，分式有意義的條件。【分析】求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)分式分母不為0的條件，要使在實數(shù)范圍內有意義，必須。故選B。例3：函數(shù)中自變量x的取值范圍是【】A．x＞﹣2B．x≥2C．x≠﹣2D．【答案】A?！究键c】函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式和分式有意義的條件?！痉治觥壳蠛瘮?shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)和分式分母不為0的條件，要使在實數(shù)范圍內有意義，必須。故選A。例5：函數(shù)的圖像在【】A.第一象限B.第一、三象限C.第二象限D.第二、四象限【答案】A?！究键c】函數(shù)的圖象，函數(shù)的定義域和值域，平面直角坐標系中各象限點的特征?！痉治觥俊吆瘮?shù)的定義域為，∴，∴根據(jù)面直角坐標系中各象限點的特征知圖像在第一象限，故選A。練習題：1.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是【】A．B. C.D.2.函數(shù)的自變量x的取值范圍是【】A.x＞3B.x≥3C.x≠3D.x＜－33.使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是【】A.B.C.且D.一切實數(shù)4.函數(shù)中自變量x的取值范圍是▲．5.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是▲．二、實際問題中函數(shù)自變量的取值范圍：在實際問題中確定自變量的取值范圍，主要考慮兩個因素：（1）自變量自身表示的意義，如時間、路程、用油量等不能為負數(shù)；（2）問題中的限制條件，此時多用不等式或不等式組來確定自變量的取值范圍。典型例題：例1：某工廠生產一種產品，當生產數(shù)量至少為10噸，但不超過50噸時，每噸的成本y（萬元/噸）與生產數(shù)量x（噸）的函數(shù)關系式如圖所示．（1）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（2）當生產這種產品的總成本為280萬元時，求該產品的生產數(shù)量．（注：總成本=每噸的成本×生產數(shù)量）【答案】解：（1）利用圖象設y關于x的函數(shù)解析式為y=kx+b，將（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：?！鄖關于x的函數(shù)解析式為y=x+11（10≤x≤50）。（2）當生產這種產品的總成本為280萬元時，x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合題意舍去）?！嘣摦a品的生產數(shù)量為40噸?！究键c】一次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法，直線上點的坐標與方程的關系，解二元一次方程組和一元二次方程?！痉治觥浚?）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可，根據(jù)當生產數(shù)量至少為10噸，但不超過50噸時，得出x的定義域。（2）根據(jù)總成本=每噸的成本×生產數(shù)量，利用（1）中所求得出即可。例2：某私營服裝廠根據(jù)2011年市場分析，決定2012年調整服裝制作方案，準備每周（按120工時計算）制作西服、休閑服、襯衣共360件，且襯衣至少60件。已知每件服裝的收入和所需工時如下表：服裝名稱西服休閑服襯衣工時/件收入（百元）/件321設每周制作西服x件，休閑服y件，襯衣z件。請你分別從件數(shù)和工時數(shù)兩個方面用含有x,y的代數(shù)式表示襯衣的件數(shù)z。求y與x之間的函數(shù)關系式。問每周制作西服、休閑服、襯衣各多少件時，才能使總收入最高？最高總收入是多少？【答案】解：（1）從件數(shù)方面：z=360－x－y，從工時數(shù)方面：由x+y+z=120整理得：z=480－2x－y。（2）由（1）得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x。（3）由題意得總收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720由題意得，解得30≤x≤120。由一次函數(shù)的性質可知，當x=30的時候，s最大，即當每周生產西服30件，休閑服270件，襯衣60件時，總收入最高，最高總收入是690百元。【考點】一次函數(shù)和一元一次不等式組的應用?！痉治觥浚?）根據(jù)題目中的已知條件分別從件數(shù)和工時數(shù)兩個方面用含x，y的關系式表示z。（2）由（1）整理得：y=360－3x。（3）由題意得s=3x+2y+z，化為一個自變量，得到關于x的一次函數(shù)。由題意得，解得30≤x≤120，從而根據(jù)一次函數(shù)的性質作答。例3：某科技開發(fā)公司研制出一種新型產品，每件產品的成本為2400元，銷售單價定為3000元．在該產品的試銷期間，為了促銷，鼓勵商家購買該新型產品，公司決定商家一次購買這種新型產品不超過10件時，每件按3000元銷售；若一次購買該種產品超過10件時，每多購買一件，所購買的全部產品的銷售單價均降低10元，但銷售單價均不低于2600元．(1)商家一次購買這種產品多少件時，銷售單價恰好為2600元?(2)設商家一次購買這種產品x件，開發(fā)公司所獲的利潤為y元，求y(元)與x(件)之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍．(3)該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當商家一次購買產品的件數(shù)超過某一數(shù)量時，會出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多，公司所獲的利潤反而減少這一情況.為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲的利潤越大，公司應將最低銷售單價調整為多少元?(其它銷售條件不變)【答案】解：（1）設件數(shù)為x，依題意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。答：商家一次購買這種產品50件時，銷售單價恰好為2600元。（2）當0≤x≤10時，y=（3000－2400）x=600x；當10＜x≤50時，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；當x＞50時，y=（2600－2400）x=200x?！?。（3）由y=－10x2+700x可知拋物線開口向下，當時，利潤y有最大值，此時，銷售單價為3000－10（x－10）=2750元，答：公司應將最低銷售單價調整為2750元?！究键c】二次函數(shù)的應用?！痉治觥浚?）設件數(shù)為x，則銷售單價為3000-10（x-10）元，根據(jù)銷售單價恰好為2600元，列方程求解。（2）由利潤y=銷售單價×件數(shù)，及銷售單價均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三種情況列出函數(shù)關系式。（3）由（2）的函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的性質求利潤的最大值，并求出最大值時x的值，確定銷售單價。例4：某商品的進價為每件50元，售價為每件60元，每個月可賣出200件。如果每件商品的售價上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于72元）。設每件商品的售價上漲x元（x為整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元，（1）求y與x的函數(shù)關系式，并直接寫出x的取值范圍；（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大月利潤是多少元？【答案】解：（1）設每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），則每件商品的利潤為：（60－50＋x）元，總銷量為：（200-10x）件，商品利潤為：y=（60－50＋x）（200－10x）=－10x2＋100x＋2000?！咴蹆r為每件60元，每件售價不能高于72元，∴0＜x≤12。（2）∵y=－10x2＋100x＋2000=－10（x－5）2+2250，∴當x=5時，最大月利潤y=2250。答：每件商品的售價定為5元時，每個月可獲得最大利潤，最大月利潤是2250元?！究键c】二次函數(shù)的應用，二次函數(shù)的最值?！痉治觥浚?）根據(jù)題意，得出每件商品的利潤以及商品總的銷量，即可得出y與x的函數(shù)關系式。（2）根據(jù)題意利用配方法得出二次函數(shù)的頂點形式（或用公式法），從而得出當x=5時得出y的最大值。例5：某商店經(jīng)營兒童益智玩具，已知成批購進時的單價是20元.調查發(fā)現(xiàn)：銷售單價是30元時，月銷售量是230件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價不能高于40元.設每件玩具的銷售單價上漲了x元時（x為正整數(shù)），月銷售利潤為y元.（1）求y與x的函數(shù)關系式并直接寫出自變量x的取值范圍.（2）每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2520元？（3）每件玩具的售價定為多少元時可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？【答案】解：（1）依題意得自變量x的取值范圍是：0＜x≤10且x為正整數(shù)。（2）當y=2520時，得，解得x1=2,x2=11（不合題意，舍去）。當x=2時，30+x=32?！嗝考婢叩氖蹆r定為32元時，月銷售利潤恰為2520元。（3）∵a=-10＜0∴當x=6.5時，y有最大值為2722.5。∵0＜x≤10且x為正整數(shù)，∴當x=6時，30+x=36,y=2720，當x=7時，30+x=37,y=2720?！嗝考婢叩氖蹆r定為36元或37元時，每個月可獲得最大利潤。最大的月利潤是2720元?！究键c】二次函數(shù)的應用，二次函數(shù)的最值，解一元二次方程。【分析】（1）根據(jù)銷售利潤=銷售量×銷售單價即可得y與x的函數(shù)關系式。因為x為正整數(shù)，所以x＞0；因為每件玩具售價不能高于40元，所以x≤40－30=10。故自變量x的取值范圍是：0＜x≤10且x為正整數(shù)。（2）求出函數(shù)值等于2520時自變量x的值即可。（3）將函數(shù)式化為頂點式即可求。例6：國務院總理溫家寶2011年11月16日主持召開國務院常務會議，會議決定建立青海三江源國家生態(tài)保護綜合實驗區(qū)?，F(xiàn)要把228噸物資從某地運往青海甲、乙兩地，用大、小兩種貨車共18輛，恰好能一次性運完這批物資。已知這兩種貨車的載重量分別為16噸/運往地車型甲地（元/輛）乙地（元/輛）大貨車720800小貨車500650（1）求這兩種貨車各用多少輛？（2）如果安排9輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設前往甲地的大貨車為a輛，前往甲、乙兩地的總運費為w元，求出w與a的函數(shù)關系式（寫出自變量的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，若運往甲地的物資不少于120噸，請你設計出使總運費最少的貨車調配方案，并求出最少總運費?！敬鸢浮拷猓海?）設大貨車用x輛，則小貨車用（18－x）輛，根據(jù)題意得16x＋10（18－x）=228，解得x=8，∴18－x=18－8=10。答：大貨車用8輛，小貨車用10輛。（2）w=720a＋800（8－a）+500（9－a）+650[10－（9－a）]=70a＋11550，∴w=70a＋11550（0≤a≤8且為整數(shù)）。（3）由16a＋10（9－a）≥120，解得a≥5。又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且為整數(shù)?！遷=70a+11550，k=70＞0，w隨a的增大而增大，∴當a=5時，w最小，最小值為W=70×5+11550=11900。答：使總運費最少的調配方案是：5輛大貨車、4輛小貨車前往甲地；3輛大貨車、6輛小貨車前往乙地．最少運費為11900元?！究键c】一元一次方程和一次函數(shù)的應用【分析】（1）設大貨車用x輛，則小貨車用18－x輛，根據(jù)運輸228噸物資，列方程求解。（2）設前往甲地的大貨車為a輛，則前往乙地的大貨車為（8－a）輛，前往甲地的小貨車為（9－a）輛，前往乙地的小貨車為[10－（9－a）]輛，根據(jù)表格所給運費，求出w與a的函數(shù)關系式。（3）結合已知條件，求a的取值范圍，由（2）的函數(shù)關系式求使總運費最少的貨車調配方案。例7：南寧市某生態(tài)示范村種植基地計劃用90畝～120畝的土地種植一批葡萄，原計劃總產量要達到36萬斤．（1）列出原計劃種植畝數(shù)y（畝）與平均每畝產量x（萬斤）之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）為了滿足市場需求，現(xiàn)決定改良葡萄品種．改良后平均每畝產量是原計劃的1.5倍，總產量比原計劃增加了9萬斤，種植畝數(shù)減少了20畝，原計劃和改良后的平均每畝產量各是多少萬斤？【答案】解：（1）由題意知：xy=36，∴（）。（2）根據(jù)題意得：，解得：x=0.3。經(jīng)檢驗：x=0.3是原方程的根。1.5x=0.45。答：改良前畝產0.3萬斤，改良后畝產0.45萬斤?！究键c】反比例函數(shù)和分式方程的應用【分析】（1）直接根據(jù)畝產量、畝數(shù)及總產量之間的關系得到函數(shù)關系式即可。（2）根據(jù)題意列出后求解即可。例8：煤炭是攀枝花的主要礦產資源之一，煤炭生產企業(yè)需要對煤炭運送到用煤單位所產生的費用進行核算并納入企業(yè)生產計劃．某煤礦現(xiàn)有1000噸煤炭要全部運往A．B兩廠，通過了解獲得A．B兩廠的有關信息如下表（表中運費欄“元/t?km”表示：每噸煤炭運送一千米所需的費用）：廠別運費（元/t?km）路程（km）需求量（t）A0.45200不超過600Ba（a為常數(shù)）150不超過800（1）寫出總運費y（元）與運往A廠的煤炭量x（t）之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）請你運用函數(shù)有關知識，為該煤礦設計總運費最少的運送方案，并求出最少的總運費（可用含a的代數(shù)式表示）例9：小丁每天從某報社以每份0.5元買進報紙200分，然后以每份1元賣給讀者，報紙賣不完，當天可退回報社，但報社只按每份0.2元退給小丁，如果小丁平均每天賣出報紙x份，純收入為y元．（1）求y與x之間的函數(shù)關系式（要求寫出自變量x的取值范圍）；（2）如果每月以30天計算，小丁每天至少要買多少份報紙才能保證每月收入不低于2000元？【答案】解：（1）y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）=0.8x﹣60（0≤x≤200）。（2）根據(jù)題意得：30（0.8x﹣60）≥2000，解得x≥?！嘈《∶刻熘辽僖I159份報紙才能保證每月收入不低于2000元?！究键c】一次函數(shù)和一元一次不等式的應用?！痉治觥浚?）因為小丁每天從某市報社以每份0.5元買出報紙200份，然后以每份1元賣給讀者，報紙賣不完，當天可退回報社，但報社只按每份0.2元退給小丁，所以如果小丁平均每天賣出報紙x份，純收入為y元，則y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）即y=0.8x﹣60，其中0≤x≤200且x為整數(shù)。（2）因為每月以30天計，根據(jù)題意可得30（0.8x﹣60）≥2000，解之求解即可。練習題：1.周六上午8：O0小明從家出發(fā)，乘車1小時到郊外某基地參加社會實踐活動，在基地活動2.2小時后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/時的平均速度步行返回．同時爸爸開車從家出發(fā)沿同一路線接他，在離家28千米處與小明相遇。接到小明后保持車速不變，立即按原路返回．設小明離開家的時間為x小時，小名離家的路程y(干米)與x(小時(1)小明去基地乘車的平均速度是________千米/小時，爸爸開車的平均速度應是________千米/小時；(2)求線段CD所表示的函斂關系式；(3)問小明能否在12：00前回到家？若能，請說明理由：若不能，請算出12：00時他離家的路程，2.甲、乙兩人分別乘不同的沖鋒舟同時從A地逆流而上前往B地，甲所乘沖鋒舟在靜水中的速度為EQ\F(11,12)km/min，甲到達B地立即返回；乙所乘沖鋒舟在靜水中的速度為EQ\F(7,12)km/min．已知A、B兩地的距離為20km，水流速度為EQ\F(1,12)km/min，甲、乙乘沖鋒舟行駛的距離y(km)與所用時間x(min)之間的函數(shù)圖象如圖所示．求甲所乘沖鋒舟在行駛的整個過程中，y與x(min)之間的函數(shù)關系式；(2)甲、乙兩人同時出發(fā)后，經(jīng)過多長時間相遇？3.某商業(yè)集團新進了40臺空調機，60臺電冰箱，計劃調配給下屬的甲、乙兩個連鎖店銷售，其中70臺給甲連鎖店，30臺給乙連鎖店．兩個連鎖店銷售這兩種電器每臺的利潤（元）如下表：空調機電冰箱甲連鎖店200170乙連鎖店160150設集團調配給甲連鎖店臺空調機，集團賣出這100臺電器的總利潤為（元）．（1）求關于的函數(shù)關系式，并求出的取值范圍；（2）為了促銷，集團決定僅對甲連鎖店的空調機每臺讓利元銷售，其他的銷售利潤不變，并且讓利后每臺空調機的利潤仍然高于甲連鎖店銷售的每臺電冰箱的利潤，問該集團應該如何設計調配方案，使總利潤達到最大？4.汶川災后重建工作受到全社會的廣泛關注，全國各省對口支援四川省受災市縣。我省援建劍閣縣，建筑物資先用火車源源不斷的運往距離劍閣縣180千米的漢中市火車站，再由汽車運往劍閣縣。甲車在駛往劍閣縣的途中突發(fā)故障，司機馬上通報劍閣縣總部并立即檢查和維修。劍閣縣總部在接到通知后第12分鐘時，立即派出乙車前往接應。經(jīng)過搶修，甲車在乙車出發(fā)第8分鐘時修復并繼續(xù)按原速行駛，兩車在途中相遇。為了確保物資能準時運到，隨行人員將物資全部轉移到乙車上（裝卸貨物時間和乙車掉頭時間忽略不計），乙車按原速原路返回，并按預計時間準時到達劍閣縣。下圖是甲、乙兩車離劍閣縣的距離y（千米）與時間x（1）請直接在坐標系中的()內填上數(shù)據(jù)。（2）求直線CD的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍。（3）求乙車的行駛速度。5.我市一家電子計算器專賣店每只進價13元，售價20元，多買優(yōu)惠；凡是一次買10只以上的，每多買1只，所買的全部計算器每只就降低0.10元，例如，某人買20只計算器，于是每只降價0.10×（20﹣10）=1（元），因此，所買的全部20只計算器都按照每只19元計算，但是最低價為每只16元．（1）求一次至少買多少只，才能以最低價購買？（2）寫出該專賣店當一次銷售時，所獲利潤（元）與（只）之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）若店主一次賣的只數(shù)在10至50只之間，問一次賣多少只獲得的利潤最大？其最大利潤為多少？6.A市有某種型號的農用車50輛，B市有40輛，現(xiàn)要將這些農用車全部調往C、D兩縣，C縣需要該種農用車42輛，D縣需要48輛，從A市運往C、D兩縣農用車的費用分別為每輛300元和150元，從B市運往C、D兩縣農用車的費用分別為每輛200元和250元．（1）設從A市運往C縣的農用車為x輛，此次調運總費為y元，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）若此次調運的總費用不超過16000元，有哪幾種調運方案？哪種方案的費用最??？并求出最小費用？三、幾何問題中函數(shù)自變量的取值范圍：幾何問題中的函數(shù)關系式，除使函數(shù)式有意義外，還需考慮幾何圖形的構成條件及運動范圍，如在三角形中“兩邊之和大于第三邊”。典型例題：例1：將一根長為16厘米的細鐵絲剪成兩段．并把每段鐵絲圍成圓，設所得兩圓半徑分別為和.（1）求與的關系式，并寫出的取值范圍；（2）將兩圓的面積和S表示成的函數(shù)關系式，求S的最小值．【答案】解：（1）由題意，有2πr1+2πr2=16π，則r1+r2=8?！遰1＞0，r2＞0，∴0＜r1＜8?！鄏1與r2的關系式為r1+r2=8，r1的取值范圍是0＜r1＜8厘米。（2）∵r1+r2=8，∴r2=8﹣r1。又∵，∴當r1=4厘米時，S有最小值32π平方厘米。【考點】二次函數(shù)的應用。119281【分析】（1）由圓的周長公式表示出半徑分別為r1和r2的圓的周長，再根據(jù)這兩個圓的周長之和等于16π厘米列出關系式即可。（2）先由（1）可得r2=8﹣r1，再根據(jù)圓的面積公式即可得到兩圓的面積和S表示成r1的函數(shù)關系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質即可求出S的最小值。例2：如圖，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒（A．B．C．D四個頂點正好重合于上底面上一點）．已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=BF=x（cm）．（1）若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的體積V；（2）某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應取何值？【答案】解：（1）根據(jù)題意，知這個正方體的底面邊長a=x，EF=a=2x，∴x+2x+x=24，解得：x=6。則a=6，∴V=a3=（6）3=432（cm3）；（2）設包裝盒的底面邊長為acm，高為hcm，則a=x，，∴S=4ah+a2=。∵0＜x＜12，∴當x=8時，S取得最大值384cm2?！究键c】二次函數(shù)的應用?！痉治觥浚?）根據(jù)已知得出這個正方體的底面邊長a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出這個包裝盒的體積V。（2）利用已知表示出包裝盒的表面，從而利用函數(shù)最值求出即可。例3：如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）當BC=1時，求線段OD的長；（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；（3）設BD=x，△DOE的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域．【答案】解：（1）∵點O是圓心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。又∵OB=2，∴。（2）存在，DE是不變的。如圖，連接AB，則?！逥和E是中點，∴DE=。（3）∵BD=x，∴。∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900?！唷?+∠3=45°。過D作DF⊥OE，垂足為點F。∴DF=OF=。由△BOD∽△EDF，得，即，解得EF=x?！郞E=?！唷＠?：如圖，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射線l過點D且與x軸平行，點P、Q分別是l和x軸正半軸上動點，滿足∠PQO=60°．（1）①點B的坐標是；②∠CAO=度；③當點Q與點A重合時，點P的坐標為；（直接寫出答案）（2）設OA的中心為N，PQ與線段AC相交于點M，是否存在點P，使△AMN為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標為m；若不存在，請說明理由．（3）設點P的橫坐標為x，△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數(shù)關系式和相應的自變量x的取值范圍．【答案】解：（1）①（6，2）。②30。③（3，3）。（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。（3）當0≤x≤3時，如圖1，OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由題意可知直線l∥BC∥OA，可得，∴EF=（3+x），此時重疊部分是梯形，其面積為：當3＜x≤5時，如圖2，當5＜x≤9時，如圖3，當x＞9時，如圖4，。綜上所述，S與x的函數(shù)關系式為：?！究键c】矩形的性質，梯形的性質，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質，解直角三角形?！痉治觥浚?）①由四邊形OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質，即可求得點B的坐標：∵四邊形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，∵A（6，0）、C（0，2），∴點B的坐標為：（6，2）。②由正切函數(shù)，即可求得∠CAO的度數(shù)：∵，∴∠CAO=30°。③由三角函數(shù)的性質，即可求得點P的坐標；如圖：當點Q與點A重合時，過點P作PE⊥OA于E，∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3?！唷！郞E=OA﹣AE=6﹣3=3，∴點P的坐標為（3，3）。（2）分別從MN=AN，AM=AN與AM=MN去分析求解即可求得答案：情況①：MN=AN=3，則∠AMN=∠MAN=30°，∴∠MNO=60°?！摺螾QO=60°，即∠MQO=60°，∴點N與Q重合?！帱cP與D重合?！啻藭rm=0。情況②，如圖AM=AN，作MJ⊥x軸、PI⊥x軸。MJ=MQ?sin60°=AQ?sin600又，∴，解得：m=3﹣。情況③AM=NM，此時M的橫坐標是4.5，過點P作PK⊥OA于K，過點M作MG⊥OA于G，∴MG=?！唷！郖G=3﹣0.5=2.5，AG=AN=1.5?！郞K=2?！鄊=2。綜上所述，點P的橫坐標為m=0或m=3﹣或m=2。（3）分別從當0≤x≤3時，當3＜x≤5時，當5＜x≤9時，當x＞9時去分析求解即可求得答案。例5：如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC、AC．（1）求AB和OC的長；（2）點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作直線l平行BC，交AC于點D．設AE的長為m，△ADE的面積為s，求s關于m的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，連接CE，求△CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積（結果保留π）．【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）?！郃B=9，OC=9。（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：?！鄐=m2（0＜m＜9）。（3）∵S△AEC=AE?OC=m，S△AED=s=m2，∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+?！唷鰿DE的最大面積為，此時，AE=m=，BE=AB﹣AE=。又，過E作EF⊥BC于F，則Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：?！唷！嘁訣點為圓心，與BC相切的圓的面積S⊙E=π?EF2=?！究键c】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，相似三角形的判定和性質，二次函數(shù)的最值，勾股定理，直線與圓相切的性質?！痉治觥浚?）已知拋物線的解析式，當x=0，可確定C點坐標；當y=0時，可確定A、B點的坐標，從而確定AB、OC的長。（2）直線l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它們的面積比等于相似比的平方，由此得到關于s、m的函數(shù)關系式；根據(jù)題目條件：點E與點A、B不重合，可確定m的取值范圍。（3）①首先用m列出△AEC的面積表達式，△AEC、△AED的面積差即為△CDE的面積，由此可得關于S△CDE關于m的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質可得到S△CDE的最大面積以及此時m的值。②過E做BC的垂線EF，這個垂線段的長即為與BC相切的⊙E的半徑，可根據(jù)相似三角形△BEF、△BCO得到的相關比例線段求得該半徑的值，由此得解。例6：如圖1，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AD=4cm，AB=dcm。動點E、F分別從點D、B出發(fā)，點E以1cm/s的速度沿邊DA向點A移動，點F以1cm/s的速度沿邊BC向點C移動，點F移動到點C時，兩點同時停止移動。以EF為邊作正方形EFGH，點F出發(fā)xs時，正方形EFGH的面積為ycm2。已知y與x的函數(shù)圖象是拋物線的一部分，如圖2所示。請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）自變量x的取值范圍是▲；（2）d=▲，m=▲，n=▲；（3）F出發(fā)多少秒時，正方形EFGH的面積為16cm2？【答案】解：（1）0≤x≤4。（2）3，2，25．（3）過點E作EI⊥BC垂足為點I。則四邊形DEIC為矩形。∴EI=DC=3，CI=DE=x。∵BF=x，∴IF=4－2x。在Rt△EFI中，。∵y是以EF為邊長的正方形EFGH的面積，∴。當y=16時，，解得，?！郌出發(fā)或秒時，正方形EFGH的面積為16cm2?！究键c】動點問題，矩形的判定和性質，平行線間垂直線段的性質，勾股定理，解一元二次方程?！痉治觥浚?）自變量x的取值范圍是點F從點C到點B的運動時間，由時間=距離÷速度，即可求。（2）由圖2知，正方形EFGH的面積的最小值是9，而正方形EFGH的面積最小時，根據(jù)地兩平行線間垂直線段最短的性質，得d=AB=EF=3。當正方形EFGH的面積最小時，由BF=DE和EF∥AB得，E、F分別為AD、BC的中點，即m=2。當正方形EFGH的面積最大時，EF等于矩形ABCD的對角線，根據(jù)勾股定理，它為5，即n=25。（3）求出正方形EFGH的面積y關于x的函數(shù)關系式，即可求得F出發(fā)或秒時，正方形EFGH的面積為16cm2。例7：如圖，在OABC中，點A在x軸上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．動點P從點O出發(fā)，以1cm／s的速度沿線段OA→AB運動；動點Q同時從點O出發(fā)，以acm／s的速度沿線段OC→CB運動，其中一點先到達終點B時，另一點也隨之停止運動．設運動時間為t秒．(1)填空：點C的坐標是(______，______)，對角線OB的長度是_______cm；(2)當a=1時，設△OPQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，并直接寫出當t為何值時，S的值最大?(3)當點P在OA邊上，點Q在CB邊上時，線段PQ與對角線OB交于點M.若以O、M、P為頂點的三角形與△OAB相似，求a與t的函數(shù)關系式，并直接寫出t的取值范圍．【答案】解：（1）C(2，2)，OB=4cm。（2）①當0<t≤4時，過點Q作QD⊥x軸于點D(如圖1)，則QD=t。∴S=OP·QD=t2。②當4<t≤8時，作QE⊥x軸于點E(如圖2)，則QE=2?！郤=DP·QE=t。③當8<t<12時，延長QP交x軸于點F，過點P作PH⊥AF于點H(如圖3)。易證△PBQ與△PAF均為等邊三角形，∴OF=OA+AP=t，AP=t－8?！郟H=(t－8)?！?t·2－t·(t－8)=－t2+3t。綜上所述，。∵①②中S隨t的增加而增加，③中，S隨t的增加而減小，∴當t=8時，S最大。（3）①當△OPM∽△OAB時(如圖4)，則PQ∥AB?！郈Q=OP?！郺t－4=t，即a=1+。t的取值范圍是0<t≤8。②當△OPM∽△OBA時(如圖5)，則，即。∴OM=。又∵QB∥OP，∴△BQM～△OPM?！啵?。整理得t－at=2，即a=1－，t的取值范圍是6≤t≤8。綜上所述：a=1+(0<t≤8)或a=1－(6≤t≤8)?！究键c】動點問題，平行四邊形的性質，矩形的判定和性質，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質，相似三角形的判定和性質。【分析】（1）如圖，過點C、B分別作x的垂線于點M、N，則在Rt△COM中，由∠AOC=60o，OC=4，應用銳角三角函數(shù)定義，可求得OM=2，CM=2，∴C(2，2)。由CMNB是矩形和OA=8得BM=2，ON=10，在Rt△OBN中，由勾股定理，得OB=4。（2）分0<t≤4，4<t≤8和8<t<12分別討論，得到函數(shù)關系式后根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質求出S最大時t的值。（3）分△OPM∽△OAB和△OPM∽△OBA兩種情況討論即可。例8：如圖，矩形ABCD的兩邊長AB=18cm，AD=4cm，點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1cm的速度勻速運動．設運動時間為x秒，△PBQ的面積為y（cm2）.（1）求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；（2）求△PBQ的面積的最大值.【答案】解：（1）∵，PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，∴y=（18－2x）x，即y=－x2＋9x（0<x≤4）。（2）由（1）知：y=－x2＋9x=?！弋?<x≤時，y隨x的增大而增大，而0<x≤4，∴當x=4時，?！唷鱌BQ的最大面積是20cm2?！究键c】矩形的性質，二次函數(shù)的最值。【分析】（1）分別表示出PB、BQ的長，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解。（2）把函數(shù)關系式整理成頂點式解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答。例9：如圖，在平面直角坐標系O中，矩形AOCD的頂點A的坐標是（0,4），現(xiàn)有兩動點P、Q，點P從點O出發(fā)沿線段OC（不包括端點O，C）以每秒2個單位長度的速度，勻速向點C運動，點Q從點C出發(fā)沿線段CD（不包括端點C，D）以每秒1個單位長度的速度勻速向點D運動.點P，Q同時出發(fā)，同時停止，設運動時間為t秒，當t=2秒時PQ=.（1）求點D的坐標，并直接寫出t的取值范圍；（2）連接AQ并延長交軸于點E,把AE沿AD翻折交CD延長線于點F,連接EF，則△AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關系式；若不變化，求出S的值.（3）在（2）的條件下，t為何值時，四邊形APQF是梯形？【答案】解：（1）由題意可知，當t=2（秒）時，OP=4，CQ=2，在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC==4，∴OC=OP+PC=4+4=8。又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）。t的取值范圍為：0＜t＜4。（2）結論：△AEF的面積S不變化?！逜OCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC?！?，即，解得CE=。由翻折變換的性質可知：DF=DQ=4－t，則CF=CD+DF=8－t。S=S梯形AOCF＋S△FCE－S△AOE=（OA+CF）?OC+CF?CE－OA?OE=[4＋（8－t）]×8+（8－t）?－×4×（8＋）?；喌茫篠=32為定值。所以△AEF的面積S不變化，S=32。（3）若四邊形APQF是梯形，因為AP與CF不平行，所以只有PQ∥AF。由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF?！郈P：AD=CQ：DF，即8－2t：8=t：4－t，化簡得t2－12t＋16=0，解得：t1=6+2，t2=。由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+2不符合題意，舍去。∴當t=秒時，四邊形APQF是梯形?！究键c】動點和翻折問題，矩形的性質，勾股定理，翻折對稱的性質，相似三角形的判定和性質，梯形的性質，解一元二次方程?！痉治觥浚?）由勾股定理可求PC而得點C的坐標，根據(jù)矩形的性質可得點D的坐標。點P到達終點所需時間為8÷2=4秒，點Q到達終點所需時間為4÷1=4秒，由題意可知，t的取值范圍為：0＜t＜4。（2）根據(jù)相似三角形和翻折對稱的性質，求出S關于t的函數(shù)關系式，由于關系式為常數(shù)，所以△AEF的面積S不變化，S=32。（3）根據(jù)梯形的性質，應用相似三角形即可求解。例10：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動，動點Q從點B同時出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點A運動．當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，以AP為一邊向上作正方形APDE，過點Q作QF∥BC，交AC于點F．設點P的運動時間為ts，正方形和梯形重合部分的面積為Scm2．（1）當t=s時，點P與點Q重合；（2）當t=s時，點D在QF上；（3）當點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，求S與t之間的函數(shù)關系式．【答案】解：（1）1。（2）。（3）當P、Q重合時，由（1）知，此時t=1；當D點在BC上時，如答圖2所示，此時AP=BQ=t，BP=t，又∵BP=2－t，∴t=2－t，解得t=。進一步分析可知此時點E與點F重合。當點P到達B點時，此時t=2。因此當P點在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，其運動過程可分析如下：①當1＜t≤時，如答圖3所示，此時重合部分為梯形PDGQ。此時AP=BQ=t，∴AQ=2－t，PQ=AP－AQ=2t－2。易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG?！郋F=AF－AE=2（2－t）－t=4－3t，EG=EF=2－t?！郉G=DE－EG=t－（2－t）=t－2。。②當＜t＜2時，如答圖4所示，此時重合部分為一個多邊形。此時AP=BQ=t，∴AQ=PB=2－t。易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN。∴AF=4－2t，PM=4－2t。又DM=DP－PM=t－（4－2t）=3t－4，∴DN=（3t－4）。綜上所述，當點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，S與t之間的函數(shù)關系式為：?！究键c】動點問題，正方形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質?！痉治觥浚?）當點P與點Q重合時，此時AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，由此得t+t=2，解得t=1（s）。（2）當點D在QF上時，如答圖1所示，此時AP=BQ=t．∵QF∥BC，APDE為正方形，∴△PQD∽△ABC?！郉P：PQ=AC：AB=2，則PQ=DP=AP=t。由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+t+t=2，解得：t=。（3）當點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，運動過程可以劃分為兩個階段：①當1＜t≤時，如答圖3所示，此時重合部分為梯形PDGQ．先計算梯形各邊長，然后利用梯形面積公式求出S。②當＜t＜2時，如答圖4所示，此時重合部分為一個多邊形．面積S由關系式“”求出。練習題：1.如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，直線y=2x+4交x軸于點A，交y軸于點B，四邊形ABCO是平行四邊形，直線y=－x+m經(jīng)過點C，交x軸于點D．（1）求m的值；（2）點P(0，t)是線段OB上的一個動點(點P不與0，B兩點重合)，過點P作x軸的平行線，分別交AB，0c，DC于點E，F(xiàn)，G．設線段EG的長為d，求d與t之間的函數(shù)關系式(直接寫出自變量t的取值范圍)；（3）在（2）的條件下，點H是線段OB上一點，連接BG交OC于點M，當以OG為直徑的圓經(jīng)過點M時，恰好使∠BFH=∠ABO．求此時t的值及點H的坐標．2.如圖1，在直角坐標系中，已知點A（0，2）、點B（－2，0），過點B和線段OA的中點C作直線BC，以線段BC為邊向上作正方形BCDE.（1）填空：點D的坐標為（），點E的坐標為（）.（2）若拋物線經(jīng)過A、D、E三點，求該拋物線的解析式.（3）若正方形和拋物線均以每秒個單位長度的速度沿射線BC同時向上平移，直至正方形的頂點E落在y軸上時，正方形和拋物線均停止運動.①在運動過程中，設正方形落在y軸右側部分的面積為s，求s關于平移時間t（秒）的函數(shù)關系式，并寫出相應自變量t的取值范圍.②運動停止時，求拋物線的頂點坐標.3.已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E為BC邊上一點，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側．（1）當正方形的頂點F恰好落在對角線AC上時，求BE的長；（2）將（1）問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形B′EFG，當點E與點C重合時停止平移．設平移的距離為t，正方形B′EFG的邊EF與AC交于點M，連接B′D，B′M，DM，是否存在這樣的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）在（2）問的平移過程中，設正方形B′EFG與△A