清單19銳角三角函數(shù)（3個考點梳理+17種題型解讀+提升訓練）【知識導圖】【知識清單】考點一銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)：如下圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，則∠A的銳角三角函數(shù)為(∠A可換成∠B)定義表達式取值范圍關系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)(倒數(shù))余切(選)(∠A為銳角)【正弦和余弦注意事項】1)sinA、cosA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結合，構造直角三角形)。2)sinA、cosA是一個比值（數(shù)值，無單位）。3)sinA、cosA的大小只與∠A的大小有關，而與直角三角形的邊長無關?！?°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值】三角函數(shù)30°45°60°1銳角三角函數(shù)的關系：1）sinA=cos（90°A）,即一個銳角的正弦值等于它余角的余弦值。cosA=sin（90°A）,即一個銳角的余弦值等于它余角的正切值。正弦、余弦的增減性：當0°≤≤90°時，sinα隨α的增大而增大，cosα隨α的增大而減小。正切的增減性：當0°<<90°時，tanα隨α的增大而增大，cot隨的增大而減小。【考試題型1】正弦、余弦、正切概念理解1．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，下列結論中正確的是（

A．sinA=BCAB B．cosA=BCAC2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB3．如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，AD垂直地面，垂足為點D，BC⊥AD，垂足為點C．設∠ABC=α，下列關系式正確的是（

）A．sinα=ABBC B．sinα=BCAB【考試題型2】求一個角的正弦、余弦、正切值1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，則sinB的值是（）A．512 B．125 C．5132．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=3，AB=5，則cosA

A．34 B．43 C．453．在RtΔABC中，∠C=90°，BC=1，AC=3，那么tanA．12 B．13 C．334．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四個選項，正確的是（

A．tanB=34 B．sinB=43【考試題型3】根據(jù)正弦、余弦、正切的定義求邊長1．在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，則A．5003 B．5035 C．60 D2．如圖，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=4A．4 B．8 C．83 D．3．如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，斜坡的傾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=25，則此斜坡的水平距離ACA．75m B．50m C．30m D．12m【考試題型4】與特殊角的三角函數(shù)值有關的計算1．計算8+|-2|×cos45°A．2 B．32 C．22+2．sin45°+22A．1 B．2 C．3 D．23．在△ABC中，若tanA=1，cosB=22，則下列判斷最確切的是（

A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般銳角三角形4．在△ABC中，2cosA-22+1-tanA．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形5．計算：(-2022)0【考試題型5】構造直角三角形求正弦、余弦、正切值1．如圖，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinA的值為（

A．12 B．55 C．10102．如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A，B，C均在格點上，則tanA的值是（

）A．55 B．105 C．2 D【考試題型6】已知角度比較三角函數(shù)值的大小1．如果0°<∠A<45°，那么sinA與cosA的差（A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定2．三角函數(shù)sin40°、cosA．tan50°>cos16°>C．cos16°>tan50°>3．在Rt△ABC中，各邊都擴大5倍，則∠A的三角函數(shù)值（

A．不變 B．擴大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定【考試題型7】根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍1．已知sinα>cosα，那么銳角αA．30°<α<45° B．0°<α<2．已知∠A為銳角，且tanA=3，則∠A的取值范圍是（

A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°3．銳角α滿足sinα>22，且tanA．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【考試題型8】利用同角的三角函數(shù)值求解1．在△ABC中，∠C=90°，tanA=2，則cosA．55 B．255 C．12．在△ABC中，∠C=90°，sinB=45A．43 B．34 C．353．已知tanα=512，α是銳角，則sinA．135 B．1213 C．513考點二解直角三角形解直角三角形概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之間的關系：1)勾股定理（a2+b2=c2）2)∠A+∠B=90°34)cosA=∠A所鄰的邊斜邊=bc5)tanA=解直角三角形常見類型及方法：【考試題型9】直角三角形中直接解直角三角形1．如圖，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，則邊AB的長為（

A．32 B．35 C．372．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，AC＝CD，⊙O的半徑為22，則△AOC的面積為（）A．3 B．2 C．23 D．43．如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE=3，則tan∠DBEA．12 B．2 C．52 D【考試題型10】構造直角三角形中直接解直角三角形1．如圖，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tanB=32，則

A．2+23 B．3+3 C．4 D2．已知在△ABC中，∠A=60°，AB=1+3，AC=2，則∠C=A．45° B．75° C．90° D．105°3．如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，BC=66，AD平分∠BAC交BC于點D，則線段AD的長為（

A．66 B．12 C．63 D【考試題型11】網格中解直角三角形1．如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cos∠APC的值為（）A．35 B．255 C．22．如圖，在4×3的網格圖中，點A、B、C、D都在小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則tan∠APC的值是

3．如圖，在4×4正方形網格中，點A，B，C為網格交點，(1)AD=；(2)sin∠BAD=【考試題型12】坐標系中解直角三角形1．在平面直角坐標系中，點O為坐標系的原點，直線y=kx-152交x軸于點A，交y軸于點B，（1）求直線AB的解析式；（2）在線段AB上有一點P，連接OP，設點P的橫坐標為t，△AOP的面積為S，求S關于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，在直線y=2x的第一象限上取一點D，連接AD，若S=15，∠AOP+∠BPO=2∠ADO，求點D的坐標．2．如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為0,3，點B在x軸上．(1)在坐標系中求作一點M，使得點M到點A，點B和原點O這三點的距離相等，在圖中保留作圖痕跡，不寫作法；(2)若函數(shù)y=kx的圖象經過點M，且sin∠OAB=【考試題型13】利用解直角三角形求不規(guī)則圖形邊長或面積1．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=7，BC=9，CD=3，則四邊形ABCD的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．542．在△ABC中，BC＝3＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，則△ABC的面積為（

）A．3-12 B．32＋1 C．3+123．如圖，一把帶有60°角的三角尺放在兩條平行線間，已知量得平行線間的距離為12cm，三角尺最短邊和平行線成45°角，則三角尺斜邊的長度為（）

A．12cm B．122cm C．24cm D．242cm考點三與解直角三角形有關的實際應用利用解直角三角形解決實際問題的一般步驟：1.將實際問題抽象為數(shù)學問題.畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題；2.根據(jù)條件的特點，適當選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；3.得到數(shù)學問題的答案；4.得到實際問題的答案.【考試題型14】仰角俯角問題1．如圖，在地面上的點A處測得樹頂B的仰角為α度，若AC=6米，則樹高BC為（）A．6sinα米 B．6tanα米 C．6tan2．如圖，已知直線DE為水平線，DE∥BC，從甲樓DC的樓頂D處觀測乙樓AB的樓頂A處的俯角是（A．∠ADC B．∠EDA C．∠DBC D．∠EDB3．如圖，在河流兩邊有甲、乙兩座山，現(xiàn)在從甲山A處的位置向乙山B處拉電線．已知甲山上A點到CD的垂直高度AC=120米；乙山BD的坡比為4:3，乙山上B點到河邊D的距離BD=650米，從B處看A處的俯角為25°．（A、B、(1)求乙山B處到河邊CD的垂直距離；(2)求河CD的寬度（結果保留整數(shù)）．4．小王是一名攝影愛好者，新入手一臺無人機用于航拍．在一次航拍時，數(shù)據(jù)顯示，從無人機A看建筑物頂部B的仰角為45°，看底部C的俯角為60°，無人機A到該建筑物BC的水平距離AD為10米，求該建筑物BC的高度．（結果保留根號）【考試題型15】方位角問題1．如圖，小明一家自駕到風景區(qū)C游玩，到達A地后，導航顯示車輛應沿北偏西45°方向行駛一段距離至B地，再沿北偏東60°方向行駛26千米到達風景區(qū)C，小明發(fā)現(xiàn)風景區(qū)C在A地的北偏東15°方向，那么A，B兩地的距離為2．“淄博燒烤”火了，許多游客紛紛從外地來到淄博吃燒烤．如圖，濟南的小本乘坐高鐵由濟南來淄博吃燒烤時，在距離鐵軌200米的B處，觀察他所乘坐的由濟南經過淄博開往青島的的“和諧號”動車．他觀察到，當“和諧號”動車車頭在A處時，恰好位于B處的北偏東60°方向上；10秒鐘后，動車車頭到達C處，恰好位于B處的西北方向上．小李根據(jù)所學知識求得，這時段動車的平均速度是米/秒．3．如圖，燈塔A周圍12海里內有暗礁．一漁船由東向西航行至B處，測得燈塔A在北偏西58°方向上，繼續(xù)航行8海里后到達C處，測得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向西航行，有沒有觸礁的危險？（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，【考試題型16】坡度坡比問題1．如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1:3，堤高BC=10m，則坡面AB的長度為2．在坡道兩旁種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為7m，若測得坡道的坡度為1:3.5，則相鄰兩樹間的坡道距離為m．【考試題型17】其它問標1．為了辦人民滿意的教育，某校大門口建造了供家長休息的涼亭（如圖1）．圖2是抽象出的平面幾何圖形，已知點D，A，E在同一水平線上，測得∠DAC=80°，∠BCA=110°，AC=2米，BC=2.2米．求涼亭最高點B到地面的距離BN的長．（sin80°≈0.985，cos80°≈0.174，tan80°≈5.671，3

2．圖①、圖②分別是某種型號跑步機的實物圖與示意圖．已知跑步機手柄AB與地面DE平行，踏板CD長為1.6m，CD與地面DE的夾角∠CDE=20°，支架AC長為1m，∠ACD=80°，求跑步機手柄AB所在直線與地面DE之間的距離．(結果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.3，cos20°≈0.9，tan20°≈0.4，sin80°≈0.3，cos80°≈0.17，tan80°

3．我國在人工智能技術研究領域處于世界領先地位，“中國制造”已向“中國智造”轉型，圖1是我國自行設計的一款智能手臂機器人，圖2是該型號手臂機器人處于工作狀態(tài)時的示意圖，OA是垂直于工作臺的移動基座，AB，BC為機械臂，OA=20cm，AB=100cm，BC=40cm，∠CBA=∠BAO=150°，過點C作直線CD垂直工作臺于點D，點A，B，C，D(1)求∠BCD的度數(shù)．(2)求機械臂端點C到工作臺的距離CD的長．（結果保留根號）【提升練習】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三邊都擴大5倍，則sinA的值（A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不能確定 D．不變2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=12，則

A．12 B．255 C．53．在Rt△ABC中，∠C=90°，則下列各式中，正確的是（

A．sinA=BCAB B．cosA=BCAB4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若3AB=5BC，則cosB的值是（

A．35 B．53 C．455．李紅同學遇到了這樣一道題：3tanα+20°=1，你猜想銳角αA．40° B．30° C．20° D．10°6．若cos∠1=0.8，則∠1的度數(shù)在（

）范圍內．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°7．已知在△ABC中，AB=122，AC=13，cosB=22，則A．7 B．8 C．8或17 D．7或178．如圖，在4×4正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則sinB的值為（

A．23 B．1313 C．2139．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，∠CDB=30°，AC=23A．32 B．1 C．3 D．10．如圖，在半徑為1的⊙O上任取一點A，連續(xù)以1為半徑在⊙O上截取AB=BC=CD，分別以A、D為圓心A到C的距離為半徑畫弧，兩弧交于E，以A為圓心O到E的距離為半徑畫弧，交⊙O于F．則△ACF面積是（）

A．2 B．3 C．3+22411．計算：(1)2cos(2)sin60°-112．在△ABC中，若sinA=32，cosB=12，∠A，13．如圖，在平面直角坐標系中，P(3,y)是第一象限內的點，且tanα=43，則【14．在杭州西湖風景游船處，如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m，此人以0.5m/s的速度收繩．10s后船移動到點D的位置，問船向岸邊移動了多少米？（假設繩子是直的，結果保留根號）

15．某“好人主題”公園圍繞好人主題向市民展示好人事跡，禮贊好人精神．如圖①，“點贊