專題33基本不等式中常見的方法求最值一、題型選講題型一、消參法消參法就是對應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個參數(shù)表示另一個參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！例1、【2020年高考江蘇】已知，則的最小值是▲．例2、.【江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月調(diào)研】已知，且，則的最小值為_______________.例3、(2017蘇北四市期末）.若實數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))，則eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值為________．題型二、雙換元若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運用兩個分式的分母為兩個參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個參數(shù)的不等關(guān)系例4、【江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（三)】已知，，且，則的最小值是______.例5、（2013徐州、宿遷三檢）若，且，則的最小值為．題型三、“1”的代換1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達(dá)到運用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價變形。例6、（2020屆山東省泰安市高三上期末）若，則的最小值為（）A．6 B． C．3 D．例7、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）如圖，在△中，點是線段上兩個動點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．例8、（2020·全國高三專題練習(xí)（理））已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為__________．題型四、齊次化齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉(zhuǎn)化為運用基本不等式進(jìn)行求解。例9、【2020屆江蘇南通市高三基地學(xué)校第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知為正實數(shù)，則的最小值為______.例10、.【2020屆江蘇省啟東市高三下學(xué)期期初考】若實數(shù)滿足：，則的最小值為____.二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、【2019年高考浙江卷】若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2、（2020屆山東省濟(jì)寧市高三上期末）已知奇函數(shù)在R上單調(diào),若正實數(shù)滿足則的最小值是()A．1 B． C．9 D．183、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（）A．10 B．12 C．16 D．94、【2020年高考天津】已知，且，則的最小值為_________．5、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）函數(shù)的最小值是__________.6、（2020屆浙江省溫州市高三4月二模）已知實數(shù)滿足則的最大值為________.7、（2020屆浙江省之江教育評價聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）若實數(shù)滿足，且，則的最大值為______.8、（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）若正實數(shù)滿足，則的最小值為______．專題33基本不等式中常見的方法求最值一、題型選講題型一、消參法消參法就是對應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個參數(shù)表示另一個參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！例1、【2020年高考江蘇】已知，則的最小值是▲．【答案】【解析】∵∴且∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.∴的最小值為.故答案為：.例2、.【江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月調(diào)研】已知，且，則的最小值為_______________.【答案】10【解析】因為,所以,所以,因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng),解得,此時,所以的最小值為:10.故答案為10例3、(2017蘇北四市期末）.若實數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))，則eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值為________．【答案】.8【解析】、解法1因為實數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))，所以y＝eq\f(3,x)－3(y＞3)，所以eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)＝y(tǒng)＋3＋eq\f(1,y－3)＝y(tǒng)－3＋eq\f(1,y－3)＋6≥2eq\r(y－3·\f(1,y－3))＋6＝8，當(dāng)且僅當(dāng)y－3＝eq\f(1,y－3)，即y＝4時取等號，此時x＝eq\f(3,7)，所以eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值為8.解法2因為實數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))，所以y＝eq\f(3,x)－3(y＞3)，y－3＝eq\f(3,x)－6＞0，所以eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)＝eq\f(3,x)＋eq\f(1,\f(3,x)－6)＝eq\f(3,x)－6＋eq\f(1,\f(3,x)－6)＋6≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)－6))·\f(1,\f(3,x)－6))＋6＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3,x)－6＝eq\f(1,\f(3,x)－6)，即x＝eq\f(3,7)時取等號，此時y＝4，所以eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值為8.題型二、雙換元若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運用兩個分式的分母為兩個參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個參數(shù)的不等關(guān)系例4、【江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（三)】已知，，且，則的最小值是______.【答案】【解析】設(shè)，則，∵，，∴又當(dāng)時，，在題目要求范圍內(nèi)，即故答案為：例5、（2013徐州、宿遷三檢）若，且，則的最小值為．【答案】：【解析】、所以，因為所以題型三、“1”的代換1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達(dá)到運用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價變形。例6、（2020屆山東省泰安市高三上期末）若，則的最小值為（）A．6 B． C．3 D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，且，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且即時，等號成立；故選：C．例7、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）如圖，在△中，點是線段上兩個動點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖可知x，y均為正，設(shè)，共線，，，則，，則的最小值為，故選D.例8、（2020·全國高三專題練習(xí)（理））已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為__________．【答案】【解析】由題意可知直線過圓心，即當(dāng)且僅當(dāng)時，又即時等號成立，故的最小值為9.故答案為：9題型四、齊次化齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉(zhuǎn)化為運用基本不等式進(jìn)行求解。例9、【2020屆江蘇南通市高三基地學(xué)校第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】已知為正實數(shù)，則的最小值為______.【答案】.【解析】解：令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故答案為：.例10、.【2020屆江蘇省啟東市高三下學(xué)期期初考】若實數(shù)滿足：，則的最小值為____.【答案】【解析】由題意得：，令，則，，設(shè)，可得：，令，可得，其中舍去，可得當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；可得當(dāng)時，原式有最小值，代入可得：，故可得的最小值為，故答案為：.二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、【2019年高考浙江卷】若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則當(dāng)時，有，解得，充分性成立；當(dāng)時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.2、（2020屆山東省濟(jì)寧市高三上期末）已知奇函數(shù)在R上單調(diào),若正實數(shù)滿足則的最小值是()A．1 B． C．9 D．18【答案】A【解析】奇函數(shù)在R上單調(diào)，則故即當(dāng)即時等號成立故選：3、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（）A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，轉(zhuǎn)化成求的最小值，

，所以．

故選：D．4、【2020年高考天津】已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【解析】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時取等號，結(jié)合,解得，或時，等號成立.故答案為：5、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）函數(shù)的最小值是__________.【答案】【解析】由于，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值為.故填：.6、（2020屆浙江省溫州市高三4月二模）已知實數(shù)滿足則的最大值為________.【答案】【解析】根據(jù)柯西不等式：，故，當(dāng)，即，時等號成立.故答