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習(xí)題課一、重積分計(jì)算的基本方法二、重積分計(jì)算的基本技巧三、重積分的應(yīng)用

第7章重積分的計(jì)算及應(yīng)用一、重積分計(jì)算的基本方法1.選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量分離.2.選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法(從內(nèi)到外:

面、線、點(diǎn))3.掌握確定積分限的方法—累次積分法例1.計(jì)算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:

利用極坐標(biāo)原式二、重積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法利用對(duì)稱性1.交換積分順序的方法2.利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算3.消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)4.利用擴(kuò)展積分域進(jìn)行計(jì)算則提示:如圖,由對(duì)稱性知在上是關(guān)于y的奇函數(shù)在上是關(guān)于

x

的偶函數(shù)A例2.例3.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個(gè)的另一邊長(zhǎng)度應(yīng)為多少?提示:

建立坐標(biāo)系如圖.由已知可知由此解得問(wèn)接上去的均勻矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圓心上,例4.

計(jì)算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對(duì)稱性.圍成.(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對(duì)稱性,得例5.計(jì)算二重積分在第一象限部分.解:(1)兩部分,則其中D為圓域把D分成作輔助線(2)提示:兩部分說(shuō)明:若不用對(duì)稱性,需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào).作輔助線將D分成例6.求拋物線所圍區(qū)域

D的面積A.解:如圖所示注:則也可利用上述方法簡(jiǎn)化計(jì)算.上可積,例7.交換積

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