高中數(shù)學精編資源2/2《空間向量運算的坐標表示》題型突破重難點突破1.空間向量的坐標表示設(shè)Ax1yAB這表明一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.2.空間直角坐標系中的對稱問題對稱問題常利用對稱的定義求解:一般地,點P(x,y,z)關(guān)于坐標平面Oxy,Oyz,Ozx的對稱點的坐標分別為xy-z,-xyz,x-yz;關(guān)于x軸、y軸、z3.空間向量運算的坐標表示空間向量運算的坐標表示與平面向量運算的坐標表示完全一致.設(shè)a=aaaλa當b≠0時,a//b4.空間向量的模的公式與夾角公式(1)空間向量的模的公式設(shè)a=a1a(2)空間向量的夾角公式設(shè)a=a1a注意:(1)當cosab=1時,a與(2)當cosab=-1時,a與(3)當cosab=0時5.空間兩點間的距離公式的應用設(shè)P1則P1求解距離問題的關(guān)鍵是準確確定點的坐標,正確使用空間兩點間的距離公式.若是在具體的立體幾何問題中,則需建立適當?shù)目臻g直角坐標系,結(jié)合具體的圖形特征,利用空間兩點的距離公式求解.6.利用坐標法求解立體幾何問題時的三個步驟:(1)在立體幾何圖形中建立空間直角坐標系;(2)依題意確定各相應點的坐標;(3)通過坐標運算得到答案.典型例題剖析題型1空間向量運算的坐標表示例1已知A,B,C三點的坐標分別是2-12,45-1,(1)OP=(2)AP=解析:利用向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標求出AB,AC,然后進行坐標運算得到OP,AP,答案:因為A,B,C三點的坐標分別是2-12,所以AB=(1)OP=12AB-AC=1(2)設(shè)點P的坐標為xyz,則AP=(x-2,y+1由(1)知,AP=則x-2=3,y+1=3所以點P的坐標為51變式訓練1已知空間三點A-202,B(-1,1,2),C-30答案:因為A-2所以AB=-11所以2AB+3AC題型2空間向量的平行與垂直例2已知A100,B010解析:由已知條件DB//AC,DC//AB,轉(zhuǎn)化為向量平行,用共線向量定理及空間向量平行的坐標表示,可求得點D的坐標.答案:設(shè)Dxyz,由DB//AC,可設(shè)DB=λ即-x1-y則-x=-λ,1-y=0,-z=2λ,解得x=λ,y=1,z=-2λ,所以DC=又DC//AB,所以DC//AB,設(shè)即-λ-1則-λ=-μ,解得λ=μ=-1.所以點D的坐標為-11變式訓練2如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱A答案:如圖所示,以CACBCC1為正交基底依題意得B010,A1于是A1所以A1所以A1故A1題型3用空間向量坐標運算解決夾角、距離問題例3如圖所示,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是D1D,BD的中點,G(1)求證:EF?B(2)求EF與C1G(3)求FH的長.解析:根據(jù)正方體的特殊性,可考慮建立空間直角坐標系,寫出相關(guān)點及向量的坐標,利用數(shù)量積、夾角、模的坐標表示公式即可.答案:(1)如圖所示,以D為坐標原點,建立空間直角坐標系Dxyz,易知E001因為EF=12所以EF?所以EF?B1C(2)由(1)易知C1所以C1所以cosEF即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為(3)由(1)知F1所以FH=所以|FH即FH的長為418變式訓練3如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90(1)求BN的長;(2)求BA1與B答案:如圖,以CACBC(1)依題意得B0所以|BN|=1-02+0-1(2)依題意得A1102所以BA又BA所以cosBA1CB1=B規(guī)律方法總結(jié)1.用坐標表示空間向量的步驟:2.(1)判斷空間向量垂直或平行的步驟:①向量化:將空間中的垂直或平行轉(zhuǎn)化為向量的