第06講角平分線思維導(dǎo)圖核心考點聚焦1.角平分線的性質(zhì)定理2.角平分線的判定定理3.角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用4.作角平分線（尺規(guī)作圖）1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.定理的作用：①證明兩條線段相等；②用于幾何作圖問題；2.角平分線的判定定理：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上.定理的作用：用于證明兩個角相等或證明一條射線是一個角的角平分線.3.三角形的三條角平分線交點：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.作用：①用于證明三角形內(nèi)的線段相等；②用于實際中的幾何作圖問題.三角形的三條角平分線的交點位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個內(nèi)角角平分線的交點一定在三角形的內(nèi)部.4.運用角平分線的性質(zhì)時應(yīng)注意以下三個問題：（1）這里的距離指的是點到角的兩邊的垂線段的長；（2）該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，不需要再用全等三角形的性質(zhì)；（3）使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線、有兩個垂直.5.尺規(guī)作圖畫角平分線（題設(shè)中有關(guān)作圖痕跡，要能識別角平分線的作法）（1）以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA、OB于C、D兩點；（2）分別以C、D為圓心，大于CD長為半徑畫弧，兩弧交于點P；（3）過點P作射線OP，射線OP即為所求.1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.2.角平分線的判定定理：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上.考點剖析考點一、角平分線的性質(zhì)定理例題：如圖，平分，交的延長線于點E，且．(1)求證：；(2)若，，求線段的長度．【解析】（1）證明：過點D作于點F，∵平分，，，∴，，∴在和中，，∴，∴，∵∴；（2）設(shè)，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，解得，即．【變式訓(xùn)練】1．已知：如圖，在中，，是的角平分線，，垂足為點E，．(1)求的度數(shù)；(2)如果，，求四邊形的周長．【解析】（1），且，，，是的角平分線，，，,．（2）是的角平分線，且，，，在和中，，，，，，，四邊形的周長為：．2．如圖，E是的平分線上一點，于C，于D，連接交于點F，若．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求線段的長．【解析】（1）證明：∵點E是的平分線上一點，，，垂足分別是C，D，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形；（2）∵是等邊三角形，是的平分線，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．考點二、角平分線的判定定理例題：如圖，，兩點分別在射線，上，點在的內(nèi)部且，，，垂足分別為，，且．(1)求證：平分；(2)如果，，求的長．【解析】（1）證明：由題意得：，，，在和中，，，，，，平分．（2）在和中，，，，設(shè)，，，，，，．【變式訓(xùn)練】1．如圖，于E，于F，若．

(1)求證：平分；(2)寫出與之間的等量關(guān)系，并說明理由．【解析】（1）證明：∵，，∴，∴與均為直角三角形，∵在與中，∵，∴,∴，∴平分；（2），理由如下：∵，平分，∴，∵，∴，在與中，∵，∴，∴，∴．2．如圖，P是上一點，于點D，于點E．F，G分別是上的點．．

(1)求證：是的平分線；(2)若，，．求的長．【解析】（1）證明：在和中，，∴，∴，∵于點D，于點E，∴是的平分線（2）∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴∵，∴．考點三、角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用例題：三條公路將三個村莊連成一個如圖的三角形區(qū)域，如果在這個區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿(mào)市場應(yīng)建的位置是（

）A．三條高的交點 B．三條中線的交點C．三條角平分線的交點 D．三邊垂直平分線的交點【答案】C【解析】在這個區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場應(yīng)建在的角平分線的交點處，故選C．【變式訓(xùn)練】1．如圖是三條兩兩相交的筆直公路，某物流公司現(xiàn)要修建一個貨物中轉(zhuǎn)站，使它到三條公路的距離相等，這個貨物中轉(zhuǎn)站可選的位置有（

）

A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【解析】如圖所示，

分別作直線交點處的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得點共個點，故選．考點四、作角平分線（尺規(guī)作圖）例題：已知：如圖，在中，，．

(1)求作的平分線，交于點P．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，求的角度？【解析】（1）以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧交，于兩點，再分別以兩點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧交于一點，連接點與該點所在直線交于點P，如圖所示：即為所求；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴，∵平分，∴．【變式訓(xùn)練】1．如圖所示，某縣計劃在張村、李村之間建一座定點醫(yī)療站P，張、李兩村坐落在兩相交公路內(nèi)（如圖所示）．醫(yī)療站必須滿足下列條件：①使其到兩公路距離相等；②到張、李兩村的距離也相等．請你通過作圖確定點P的位置．【解析】如圖所示，點P即為所要求作的點．過關(guān)檢測一、選擇題1．如圖，在中，，是的垂直平分線，恰好平分．若，則的長是（）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】是的垂直平分線，，，，，，恰好平分，，，，，，，故選B．2．在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，在平分線上的是（

）A．點 B．點 C．點 D．點【答案】B【解析】如圖，根據(jù)正方形網(wǎng)格的大小可得為等腰三角形，正好為其高線，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”，即可確定點Q在平分線上．故選B．3．如圖，在中，∠B=90°，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，與邊AB、AC分別相交于點M、N，再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點E．連接AE并延長與邊BC交于點D．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵根據(jù)尺規(guī)作圖可知，是角平分線，∴，∵在中，，∠B=90°，∴，∴，∴故選A4．如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（

）A．的三條中線的交點 B．三條角平分線的交點C．三條高所在直線的交點 D．三邊的中垂線的交點【答案】B【解析】∵角平分線上的點到角兩邊的距離相等，∴三條角平分線的交點到三邊的距離相等，∴涼亭的位置應(yīng)選在三條角平分線的交點，故選B．5．如圖，，，，垂足分別為，，與交于點．下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①；②；③點在的平分線上.

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】∵，，垂足分別為，，∴，∵，∴（①正確）,∴，∴，∵，，∴，又，∴（②正確）,∴，連接，

∵，∴，∴，即點D在的平分線上（③正確）,所以，正確的結(jié)論有3個，故選D．二、填空題6．如圖，在中，是角平分線，若，則點到的距離為．【答案】5【解析】如圖，過點D作于點E，∵是的角平分線，，∴，∵，∴，即點D到的距離．故答案為：5．7．如圖所示，已知的周長是10，、分別平分和，于，且，則的面積是．

【答案】5【解析】連接，過點O作于G，于H，

∵的周長是10，∴，∵分別平分和，，∴∴，故答案為：5．8．如圖，，以點B為圓心，小于DB長為半徑作圓弧，分別交BA，BD于點E，F(xiàn)，再分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩弧交于點G，作射線BG交CD于點H．若，則的大小為度．

【答案】30【解析】由作圖可知：平分，∴，∵，∴，，∴，∴；故答案為：30．9．如圖，在中，邊的垂直平分線與的平分線交于點．交的延長線于點，交于點．，．則的長是．【答案】7【解析】如圖，連接，，垂直平分，，平分，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，，，故答案為：．10．對于平面直角坐標(biāo)系中的點P與圖形M，N給出如下定義：點P到圖形M上的各點的最小距離為m，點P到圖形N上各點的最小距離為n，當(dāng)時，稱點P為圖形M與圖形N的“等長點”．如：點，，中，點O就是點E與點F的“等長點”，已知點，，，連接，若點P既是點O與點A的“等長點”，也是線段與線段的“等長點”，則點P的坐標(biāo)為．【答案】或【解析】如下圖，由圖可知，直線垂直平分，因此直線上的點是點O與點A的“等長點”，由圖可知，是直線與的角平分線的交點，是直線與的角平分線的交點，因此或到線段與線段距離相等，是線段與線段的“等長點”，故點P的坐標(biāo)為或．故答案為：或．三、解答題11．如圖，已知中，點D在的平分線上，且點D到點B、C的距離相等.(1)請在圖中作出點D的位置（保留作圖痕跡）；(2)過點D作于點M，，交的延長線于點N．求證：【解析】（1）以點A為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫圓，交和于點E和點F，再分別以點E和點F為圓心，大于長為半徑畫圓，兩圓交點為一點G，連接并延長，此時為的平分線;分別以B,C為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于P,Q兩點，則PQ為BC的垂直平分線，交的延長線于一點D，此時點D即為所求，如圖所示：；（2）證明：如圖所示：，由（1）可得為的平分線，∵，，∴，∵點D到點B、C的距離相等，∴，在和中，，∴，∴．12．如圖，已知的平分線與的垂直平分線相交于點，，垂足分別為．(1)求證：．(2)若．求的長．【解析】（1）∵平分，，∴，∵，∴，∴；（2）連接，

∵垂直平分，∴，又，∴，∴，∵，∵，∴，∴．13．如圖，四邊形中，，連接，．(1)如圖（1），若，證明：．(2)如圖（2），平分，證明：．【解析】（1）證明：∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴；（2）證明：如圖（2），作于F，∵平分，，，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴．14．如圖，的外角的平分線與的外角的平分線相交于點.(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：點到三邊，，所在直線的距離相等.【解析】（1）∵，∴，∵，，∴，∵外角的平分線與的外角的平分線相交于點，∴，∴.（2）證明：過點P作，，，如圖，∵外角的平分線與的外角的平分線相交于點，∴，∴，∴點到三邊，，所在直線的距離相等.15．如圖，、都是等邊三角形，與交點C，(1)如圖1，求證；(2)如圖2，求證：平分；(3)如圖2，若，，，求的長．【解析】（1）證明：如圖1，∵、都是等邊三角形，∴，，，∴，即，∴，∴；（2）如圖2，過A作于M，于N，∵，∴，∴，∵，∴，而，，∴A在的平分線上，即平分；（3）如圖，記，的交點為，∵，∴，而，∴，∴，∵平分，∴，而，，∴，∴，∵，，∴，，∵，，，∴，∴，∴．16．如圖，中，點D在邊延長線上，，的平分線交于點E，過點E作，垂足為H，且．(1)求的度數(shù)；(2)求證：平分；(3)若，，且，求的面積．【解析】（1）∵，∴，∵，，∴，∴．（2）證明：如圖，過點作于點，作于點，∵平分，，，由（1）可知，，即平分，，，，，又點在的內(nèi)部，平分．（3）由（2）得：，設(shè)，∵，∴，∴，即，∴，又∵，∴，，∵，∴的面積為．17．已知：如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)，按的路徑，以的速度運動，設(shè)運動的時間為秒．

(1)當(dāng)時，求的面積；(2)為何值時，線段是的平分線？(3)請利用備用圖2繼續(xù)探索，當(dāng)為______時，是以為腰的等腰三角形．(直接寫出結(jié)果)【解析】（1）當(dāng)時，則，所以的面積；（2）過作，如圖1：，，，，，，∵為的平分線，∴，，，在中，,,解得；（3）如圖：因為是以為腰