2023-2024學(xué)年浙江省寧波市奉化實驗中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標(biāo)志，在這四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是A． B． C． D．2．（3分）已知，下列式子不一定成立的是A． B． C． D．3．（3分）下列命題中，逆命題是真命題的是A．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 B．若，那么 C．對頂角相等 D．若，那么4．（3分）等腰三角形的底角等于，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)是A． B． C． D．5．（3分）若不等式組的解集為，則的取值范圍為A． B． C． D．6．（3分）如圖，中，為中點，在上，且．若，，則的長度是A．5 B．5.5 C．6 D．6.57．（3分）如圖，在中，，平分，過點作，垂足為點，連接，若，，則的面積為A．1 B． C． D．8．（3分）若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解共有4個，則的取值范圍是A． B． C． D．9．（3分）如圖，在中，，，，點是線段上一動點，點在線段上，當(dāng)時，的最小值為A． B． C． D．10．（3分）將一個等腰三角形紙板沿垂線段，進(jìn)行剪切，得到三角形①②③，再按如圖2方式拼放，其中與共線．若，則的長為A． B． C． D．7二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）請用不等式表示“的4倍與3的和不大于2”：．12．（4分）直角三角形兩直角邊長分別為和，則斜邊上的中線長為．13．（4分）把一些書分給幾名同學(xué)，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同學(xué)分5本，那么最后一人就分不到3本，那么這些書共有本．14．（4分）如圖，在中，的中垂線交于，的中垂線交于，若，則．15．（4分）如圖，點在中，，，，，則圖中陰影部分的面積為．16．（4分）如圖，在中，，點在內(nèi)，平分，連接，把沿折疊，落在處，交于，恰有．若，，則．三、解答題（本題有8小題，第17～19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題10分，第24題12分，共66分）17．（6分）（1）解不等式：；（2）解不等式組，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．18．（6分）如圖，在的方格紙中，已知格點，請按要求畫格點三角形（頂點均在小方格的頂點上）．（1）在圖1中畫一個，使點在上，點在上；（2）在圖2中畫一個等腰三角形，使點在上，點在上．19．（6分）如圖，在中，是邊上的高．（1）若是邊上的中線，，，求的長；（2）若是的平分線，，，求的大?。?0．（8分）如圖，是等邊三角形，點是邊上一點，以為邊向上作等邊，連結(jié)．（1）求證：．（2）若，，求的長．22．（10分）某學(xué)校為改善辦學(xué)條件，計劃采購、兩種型號的空調(diào)，已知采購3臺型空調(diào)和2臺型空調(diào)，共需費(fèi)用21000元；4臺型空調(diào)比5臺型空調(diào)的費(fèi)用多5000元．（1）求型空調(diào)和型空調(diào)每臺各需多少元；（2）若學(xué)校計劃采購、兩種型號空調(diào)共30臺，且型空調(diào)的臺數(shù)不少于型空調(diào)的一半，兩種型號空調(diào)的采購總費(fèi)用不超過115000元，該校共有哪幾種采購方案？（3）在（2）的條件下，直接寫出采用哪一種采購方案可使總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？23．（10分）如圖，已知在△中，，，，若動點從點開始，按的路徑運(yùn)動，且速度為每秒2個單位長度，設(shè)出發(fā)的時間為秒．（1）出發(fā)2秒后，求的長．（2）出發(fā)幾秒鐘后，恰好平分△的周長．（3）當(dāng)為何值時，△為等腰三角形？24．（12分）在四邊形中，和有公共頂點，且．（1）如圖1，是邊上的一點．若．求證：．（2）如圖1，是邊上的一點．若，連接、，交點為，求的度數(shù)．（3）如圖2，、、三點不在一條線上，且，滿足，，求的面積．

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市奉化實驗中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標(biāo)志，在這四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：選項、、的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．選項的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）已知，下列式子不一定成立的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可進(jìn)行解答．【解答】解：、不等式兩邊同時減去一個相同的數(shù)，不等號的方向不變，故成立，不符合題意；、不等式兩邊同時乘以一個相同的負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，故成立，不符合題意；、，，；故成立，不符合題意；、，，，故不成立，符合題意；故選：．【點評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式的基本性質(zhì)．不等式性質(zhì)1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．不等式性質(zhì)2：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．不等式性質(zhì)3：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．3．（3分）下列命題中，逆命題是真命題的是A．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 B．若，那么 C．對頂角相等 D．若，那么【分析】根據(jù)逆命題的概念分別寫出各個命題的逆命題，判斷即可．【解答】解：、兩直線平行，內(nèi)錯角相等的逆命題是內(nèi)錯角相等，兩直線平行，是真命題，符合題意；、若，那么的逆命題是若，那么，是假命題，不符合題意；、對頂角相等的逆命題是兩個相等的角是對頂角，是假命題，不符合題意；、若，那么的逆命題是若，那么，是假命題，不符合題意；故選：．【點評】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．4．（3分）等腰三角形的底角等于，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可確定．【解答】解：等腰三角形的底角等于，，等腰三角形的頂角為，故選：．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（3分）若不等式組的解集為，則的取值范圍為A． B． C． D．【分析】先解不等式，然后根據(jù)解集為，可得結(jié)論．【解答】解：，不等式組的解集為，．故選：．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，要遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．6．（3分）如圖，中，為中點，在上，且．若，，則的長度是A．5 B．5.5 C．6 D．6.5【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求出長，根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】解：，，，為中點，，，由勾股定理得：，故選：．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線和勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．7．（3分）如圖，在中，，平分，過點作，垂足為點，連接，若，，則的面積為A．1 B． C． D．【分析】延長交于點，可以算出，的長度，從而利用面積比得到的面積，而的面積又是面積的一半，從而求解．【解答】解：延長交于點，在中，，，，平分，且，，，，，，，．故選：．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形面積的計算，證明是解決問題的關(guān)鍵．8．（3分）若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解共有4個，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】首先確定不等式組的解集，先利用含的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于的不等式，從而求出的范圍．【解答】解：由得，，，故原不等式組的解集為：，不等式組的正整數(shù)解有4個，其整數(shù)解應(yīng)為：3、4、5、6，的取值范圍是．故選：．【點評】本題考查解一元一次不等式組的整數(shù)解，列出關(guān)于的不等式組，再借助數(shù)軸做出正確的取舍．9．（3分）如圖，在中，，，，點是線段上一動點，點在線段上，當(dāng)時，的最小值為A． B． C． D．【分析】作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，則的最小值為的長，過點作于點，在△中，，，可求，在中，，所以的最小值為．【解答】解：作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，，，的最小值為的長，過點作于點，，，，，，，在△中，，，，，，，在中，，的最小值為，故選：．【點評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，靈活應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（3分）將一個等腰三角形紙板沿垂線段，進(jìn)行剪切，得到三角形①②③，再按如圖2方式拼放，其中與共線．若，則的長為A． B． C． D．7【分析】設(shè)為，為，為，圖2中的余角為，根據(jù)題意和圖形可得，設(shè)為，則，根據(jù)上式列出方程即可解答．【解答】解：如圖，設(shè)為，為，為，圖2中的余角為，為等腰三角形，，，，，，結(jié)合兩圖，可得，設(shè)為，根據(jù)勾股定理得，，解得：，，故選：．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，結(jié)合兩圖得到等量關(guān)系式是解題關(guān)鍵．二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）請用不等式表示“的4倍與3的和不大于2”：．【分析】根據(jù)“的4倍與3的和不大于2”，可得出關(guān)于的一元一次不等式，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：．故答案為：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．12．（4分）直角三角形兩直角邊長分別為和，則斜邊上的中線長為．【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊長，根據(jù)直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)解答．【解答】解：由勾股定理得，斜邊長為：，則斜邊上的中線長為：，故答案為：．【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．13．（4分）把一些書分給幾名同學(xué)，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同學(xué)分5本，那么最后一人就分不到3本，那么這些書共有26本．【分析】設(shè)共有名學(xué)生，根據(jù)每人分3本，那么余8本，可得圖書共有本，再由每名同學(xué)分5本，那么最后一人就分不到3本，可得出不等式，解出即可．【解答】解：設(shè)共有名學(xué)生，則圖書共有本，由題意得：，解得：，為非負(fù)整數(shù)，．這些書共有：（本．故答案為：26．【點評】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題意，列出不等式組即可求解．14．（4分）如圖，在中，的中垂線交于，的中垂線交于，若，則20．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，求出，代入求出即可．【解答】解：，，的中垂線交于，的中垂線交于，，，，，，，，故答案為：20．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點，能根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出和是解此題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖，點在中，，，，，則圖中陰影部分的面積為．【分析】根據(jù)勾股定理和，，，可以先求出的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷的形狀，從而可以求出陰影部分的面積．【解答】解：，，，，，，是直角三角形，，陰影．故答案為：．【點評】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是求出的長．16．（4分）如圖，在中，，點在內(nèi)，平分，連接，把沿折疊，落在處，交于，恰有．若，，則．【分析】延長，交于點，由等腰三角形的性質(zhì)可得出，，，證明是等腰直角三角形，可求出，則根據(jù)三角形面積求出的值，即可得解．【解答】解：延長，交于點，，平分，，，，，，，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，是等腰直角三角形，，在中，，，，，．．故答案為：．【點評】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題有8小題，第17～19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題10分，第24題12分，共66分）17．（6分）（1）解不等式：；（2）解不等式組，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】（1）按照去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化1計算即可．（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，再表示在數(shù)軸上即可．【解答】解：（1）去括號得：，移項、合并同類項得：，系數(shù)化1得：．（2），解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組的解集為．解集在數(shù)軸上表示如圖所示．【點評】本題考查解一元一次不等式組、解一元一次不等式、在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確求出每一個不等式的解集是解答此題的關(guān)鍵．18．（6分）如圖，在的方格紙中，已知格點，請按要求畫格點三角形（頂點均在小方格的頂點上）．（1）在圖1中畫一個，使點在上，點在上；（2）在圖2中畫一個等腰三角形，使點在上，點在上．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的定義畫出圖形；（2）根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形．【解答】解：（1）如圖1中，即為所求；（2）如圖2中，即為所求（答案不唯一）．【點評】本題考查作圖0應(yīng)用與設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．19．（6分）如圖，在中，是邊上的高．（1）若是邊上的中線，，，求的長；（2）若是的平分線，，，求的大?。痉治觥浚?）三角形的面積知道了，高知道了，根據(jù)三角形的面積公式，求出底邊長，再根據(jù)中線性質(zhì)求出的長度．（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再由角平分線性質(zhì)求出的度數(shù)，三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系可求出的度數(shù)，在直角三角形中進(jìn)而求出的大?。窘獯稹拷猓海?），，，是邊上的中線，；（2），，，是的平分線，，是的一個外角，，在直角三角形中．【點評】本題考查了三角形面積、三角形內(nèi)角和、外角和內(nèi)角的關(guān)系，三角形中線、三角形角平分線、高，關(guān)鍵要掌握這些要素之間的關(guān)系進(jìn)行相關(guān)的計算．20．（8分）如圖，是等邊三角形，點是邊上一點，以為邊向上作等邊，連結(jié)．（1）求證：．（2）若，，求的長．【分析】（1）由和都是等邊三角形，得，，，則，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“”證明；（2）由，得，則．【解答】（1）證明：和都是等邊三角形，，，，，在和中，，．（2）解：，，，，，的長是2．【點評】此題重點考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地找到全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角并且證明是解題的關(guān)鍵．22．（10分）某學(xué)校為改善辦學(xué)條件，計劃采購、兩種型號的空調(diào)，已知采購3臺型空調(diào)和2臺型空調(diào)，共需費(fèi)用21000元；4臺型空調(diào)比5臺型空調(diào)的費(fèi)用多5000元．（1）求型空調(diào)和型空調(diào)每臺各需多少元；（2）若學(xué)校計劃采購、兩種型號空調(diào)共30臺，且型空調(diào)的臺數(shù)不少于型空調(diào)的一半，兩種型號空調(diào)的采購總費(fèi)用不超過115000元，該校共有哪幾種采購方案？（3）在（2）的條件下，直接寫出采用哪一種采購方案可使總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？【分析】（1）根據(jù)“采購3臺型空調(diào)和2臺型空調(diào)，共需費(fèi)用21000元；4臺型空調(diào)比5臺型空調(diào)的費(fèi)用多5000元”可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題；（2）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式組，從而可以求得有幾種采購方案；（3）根據(jù)題意和（2）中的結(jié)果，可以解答本題．【解答】解：（1）設(shè)型空調(diào)每臺需元，型空調(diào)每臺需元．由題意可列：，解得．答：型空調(diào)每臺需5000元，型空調(diào)每臺需3000元．（2）設(shè)采購型空調(diào)臺，則采購型空調(diào)．由題意可列：，解得：．為正整數(shù)，，11，12．有三種采購方案：方案一：采購10臺型空調(diào)，20臺型空調(diào)；方案二：采購11臺型空調(diào)，19臺型空調(diào)；方案三：采購12臺型空調(diào)，18臺型空調(diào)；（3）設(shè)總費(fèi)用為元，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，費(fèi)用最低的方案是采購10臺型空調(diào)，20臺型空調(diào)；最低費(fèi)用是110000元．【點評】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用函數(shù)和不等式的思想解答．23．（10分）如圖，已知在△中，，，，若動點從點開始，按的路徑運(yùn)動，且速度為每秒2個單位長度，設(shè)出發(fā)的時間為秒．（1）出發(fā)2秒后，求的長．（2）出發(fā)幾秒鐘后，恰好平分△的周長．（