天津市寶坻區(qū)高中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.22．如圖，過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線(xiàn)的方程為（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x3．如圖，A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，O為平面ABC外一點(diǎn)，且平面ABC中的小方格均為單位正方形，，，則（）A.1 B.C.2 D.4．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．以橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.6．雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為雙曲線(xiàn)C的右支上一點(diǎn)．以O(shè)為圓心a為半徑的圓與相切于點(diǎn)M，且，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為（）A. B.C. D.7．已知直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，P為C的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，若的面積為36，則等于（）A.36 B.24C.12 D.68．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是（）A. B.C. D.9．已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（）.A.1 B.C. D.10．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀(guān)，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美．平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)：就是一條形狀優(yōu)美的曲線(xiàn)，對(duì)于此曲線(xiàn)，給出如下結(jié)論：①曲線(xiàn)圍成的圖形的面積是；②曲線(xiàn)上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過(guò)；③若是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則的最小值是其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.11．已知是雙曲線(xiàn)：的右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，并交軸于點(diǎn)．若，則的離心率為（）A. B.C.2 D.12．直線(xiàn)與直線(xiàn)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．為和的等差中項(xiàng)，則_____________.14．將4名志愿者分配到3個(gè)不同的北京冬奧場(chǎng)館參加接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為_(kāi)_______．（用數(shù)字作答）15．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為，焦距為，則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______16．已知等差數(shù)列中，，，則______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.18．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求在區(qū)間上的最值.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值.21．（12分）已知橢圓與直線(xiàn)相切，點(diǎn)G為橢圓上任意一點(diǎn)，，，且的最大值為3（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓C交于不同兩點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，求的取值范圍22．（10分）如圖，四棱錐中，平面、底面為菱形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）設(shè)，菱形的面積為，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性即可求得答案.【詳解】由題意，正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，則與關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，于是.故選：A.2、C【解析】過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，利用拋物線(xiàn)的定義和平行線(xiàn)的性質(zhì)、直角三角形求解【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由拋物線(xiàn)定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，從而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此拋物線(xiàn)的方程為y2＝3x，故選：C.3、B【解析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算，將向量表示為，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算可得答案,【詳解】因?yàn)椋?，故選：B.4、D【解析】由題意，即在區(qū)間上有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，令，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】解：由題意，即在區(qū)間上有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，時(shí)，，且，所以，即，所以的范圍故選：D5、B【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得雙曲線(xiàn)的a，b，c，再求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵橢圓的方程為＋＝1，∴橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)為，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴雙曲線(xiàn)方程為，故選：B.6、A【解析】連接、，利用中位線(xiàn)定理和雙曲線(xiàn)定義構(gòu)建參數(shù)關(guān)系，即求得漸近線(xiàn)方程.【詳解】如圖，連接、，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，∴，且，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，得，∴，∵與以原點(diǎn)為圓心a為半徑的圓相切，∴，可得，中，，即得，，解得，即，得.由此得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的定義的應(yīng)用和漸近線(xiàn)的求法，屬于中檔題.7、C【解析】設(shè)拋物線(xiàn)方程為，根據(jù)題意由求解.【詳解】設(shè)拋物線(xiàn)方程為：，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，所以，又P為C的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離為p，所以，解得，所以，故選：C8、A【解析】將化成，即可求出的最小值【詳解】由可化為，所以，解得，因此最小值是故選：A9、D【解析】利用向量的數(shù)量積為0可求的值.【詳解】因與互相垂直，故，故即，故.故選：D.10、C【解析】結(jié)合已知條件寫(xiě)出曲線(xiàn)的解析式，進(jìn)而作出圖像，對(duì)于①，通過(guò)圖像可知，所求面積為四個(gè)半圓和一個(gè)正方形面積之和，結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可；對(duì)于②，根據(jù)圖像求出曲線(xiàn)上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值即可判斷；對(duì)于③，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，然后利用圓上一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為圓心到直線(xiàn)的距離減去半徑即可求解.【詳解】當(dāng)且時(shí)，曲線(xiàn)的方程可化為：；當(dāng)且時(shí)，曲線(xiàn)的方程可化為：；當(dāng)且時(shí)，曲線(xiàn)的方程可化為：；當(dāng)且時(shí)，曲線(xiàn)的方程可化為：，曲線(xiàn)的圖像如下圖所示：由上圖可知，曲線(xiàn)所圍成的面積為四個(gè)半圓的面積與邊長(zhǎng)為的正方形的面積之和，從而曲線(xiàn)所圍成的面積，故①正確；由曲線(xiàn)的圖像可知，曲線(xiàn)上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為兩個(gè)半徑與正方形的邊長(zhǎng)之和，即，故②錯(cuò)誤；因?yàn)榈街本€(xiàn)的距離為，所以，當(dāng)最小時(shí)，易知在曲線(xiàn)的第一象限內(nèi)的圖像上，因?yàn)榍€(xiàn)的第一象限內(nèi)的圖像是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而，即，故③正確，故選：C.11、A【解析】由條件建立a，b，c的關(guān)系，由此可求離心率的值.【詳解】設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴離心率，故選：A.12、A【解析】根據(jù)直線(xiàn)與直線(xiàn)的垂直，列方程，求出，再判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：若，則，解得或，即或，所以”是“充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)一般式中直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的系數(shù)關(guān)系，考查充分性和必要性的判斷，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用等差中項(xiàng)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由等差中項(xiàng)的定義可得.故答案為：.14、36【解析】先將4人分成2、1、1三組，再安排給3個(gè)不同的場(chǎng)館，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得.【詳解】將4人分到3個(gè)不同的體育場(chǎng)館，要求每個(gè)場(chǎng)館至少分配1人，則必須且只能有1個(gè)場(chǎng)館分得2人，其余的2個(gè)場(chǎng)館各1人，可先將4人分為2、1、1的三組，有種分組方法，再將分好的3組對(duì)應(yīng)3個(gè)場(chǎng)館，有種方法，則共有種分配方案.故答案為：3615、【解析】根據(jù)漸近線(xiàn)方程、焦距可得，，再根據(jù)雙曲線(xiàn)參數(shù)關(guān)系、焦點(diǎn)的位置寫(xiě)出雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程.詳解】由題設(shè)，可知：，，∴由，可得，，又焦點(diǎn)在軸上，∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.16、【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得到方程，求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，所以，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】設(shè)出，由直線(xiàn)的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點(diǎn)軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長(zhǎng)公式求得，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡(jiǎn)后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出值，則直線(xiàn)方程可求.試題解析：（1）設(shè)，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時(shí).所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時(shí)取等號(hào)，滿(mǎn)足所以的面積最大時(shí)直線(xiàn)的方程為：或.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線(xiàn)求最值，屬于難題.解決圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線(xiàn)中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.18、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】(1)用線(xiàn)線(xiàn)平行證明線(xiàn)面平行，∴在平面PCD內(nèi)作BE的平行線(xiàn)即可；(2)求二面角的大小，可以用空間向量進(jìn)行求解，根據(jù)已知條件，以AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB，AD，OP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系﹒【小問(wèn)1詳解】如圖，取PD中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)C﹒∵E是AP中點(diǎn)，∴EFAD，由題知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四邊形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小問(wèn)2詳解】取AD中點(diǎn)O，連接OP，OB，∵是以為斜邊等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD兩兩垂直，故以O(shè)原點(diǎn)，OB、OD、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖：設(shè)|BC|＝1，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，則，設(shè)平面BED的法向量為，平面PBD的法向量為則，取，，取設(shè)二面角的大小為θ，則cosθ＝﹒19、（1）（2）最小值為0，最大值為4【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得切線(xiàn)方程.（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最值.【小問(wèn)1詳解】，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.【小問(wèn)2詳解】，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.20、（1）2（2）當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值；當(dāng)時(shí)，極大值為，極小值為.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，可得：.，，得或，列出函數(shù)單調(diào)性表格，即可最大值；（2），令，得或，分別討論和，即可求得的極值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以.令，得或，列表如下：-2-11+0-0+極大值極小值由于，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2.（2），令，得或.當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值.當(dāng)時(shí)，列表如下：+0-0+極大值極小值函數(shù)的極大值為，極小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和極值，解題關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的方法和極值定義，考查分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意，得到，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，得到，根據(jù)其最小值，求出，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，求出的面積的最值，得到；得出點(diǎn)的軌跡為橢圓，且點(diǎn)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，記，則，得到，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)求出最值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意知，所以：，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，，則由得，，點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離，對(duì)用均值不等式，則：當(dāng)且僅當(dāng)即，①，S取得最大值．此時(shí)，，，即，代入①式整理得，即點(diǎn)M的軌跡為橢圓且點(diǎn)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，即記，則于是：，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，，且，故的取值范圍為22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則，利用線(xiàn)面平行的判定定理，即可得證；（2）根據(jù)題意，求得菱形的邊長(zhǎng)，取中點(diǎn)，可證，如圖建系，求得點(diǎn)坐標(biāo)及坐標(biāo)，即可求得平面的法向量，根據(jù)平面PAD，可求得面的法向量，利用空