指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)第四章第二課時對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)4.4對數(shù)函數(shù)欄目索引課前自主預(yù)習(xí)課堂互動探究隨堂本課小結(jié)課前自主預(yù)習(xí)答案A

解析因?yàn)閥＝1.3x是增函數(shù)，－0.1>－0.2,所以1.3－0.1>1.3－0.2.3．若函數(shù)f(x)＝log2(ax＋1)在[0,1]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(0，＋∞)4．函數(shù)f(x)＝log2(1＋2x)的單調(diào)增區(qū)間是________．5．已知函數(shù)f(x)＝lg(x－1)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域和值域；(2)證明f(x)是增函數(shù)．(1)解

由x－1>0，得x>1.所以函數(shù)f(x)的定義域是(1，＋∞)，值域?yàn)镽.課堂互動探究探究一利用單調(diào)性比較大小[方法總結(jié)]對數(shù)值比較大小的常用方法(1)如果同底，可直接利用單調(diào)性求解．(2)如果不同底，一種方法是化為同底的，另一種方法是尋找中間量．(3)如果不同底但同真數(shù)，可利用圖象的高低與底數(shù)的大小關(guān)系來解決，或利用換底公式化為同底再進(jìn)行比較．(4)若底數(shù)和真數(shù)都不相同，則常借助中間量1,0，－1等進(jìn)行比較．(5)如果底數(shù)為字母，那么要分類討論，進(jìn)行分類討論時，要做到不重不漏．[跟蹤訓(xùn)練1]

比較下列各組數(shù)的大小：(1)loga2.7，loga2.8；(2)log34，log65；(3)log0.37，log97.解(1)當(dāng)a＞1時，由函數(shù)y＝loga

x的單調(diào)性可知loga2.7＜loga2.8；當(dāng)0＜a＜1時，同理可得loga2.7＞loga2.8.(2)log34＞log33＝1，log65＜log66＝1，∴l(xiāng)og34＞log65.(3)log0.37＜log0.31＝0，log97＞log91＝0，∴l(xiāng)og0.37＜log97.探究二利用單調(diào)性解簡單的對數(shù)不等式問題[方法總結(jié)]常見的對數(shù)不等式有三種類型(1)形如loga

x＞loga

b的不等式，借助y＝loga

x的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．(2)形如loga

x＞b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助y＝loga

x的單調(diào)性求解．(3)形如loga

x＞logb

x的不等式，可利用圖象求解．[跟蹤訓(xùn)練2]

解不等式：loga(x－4)＞loga(x－2)．

(1)下列函數(shù)中，既是單調(diào)函數(shù)，又是奇函數(shù)的是(

)A．y＝x－1

B．y＝3|x|C．y＝log3x

D．y＝log23x答案D

解析y＝x－1在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)；y＝3|x|為偶函數(shù)；y＝log3x既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A，B，C均不正確．又∵log23－x＝log2(3x)－1＝－log23x，log23x的定義域?yàn)镽，∴函數(shù)y＝log23x為奇函數(shù)．令3x＝t，則y＝log2t.∵y＝log2t與y＝3x在R上都是增函數(shù)，∴y＝log23x在R上為增函數(shù)．探究三對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(2)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．①求f(x)的定義域和值域；②判斷并證明f(x)的單調(diào)性．解

①由a>1，a－ax>0，即a>ax，得x<1.故f(x)的定義域?yàn)?－∞，1)．由0<a－ax<a，可知loga(a－ax)<logaa＝1.故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，1)．②f(x)在(－∞，1)上為減函數(shù)，證明如下：任取1>x1>x2，又∵a>1，∴ax1>ax2，∴a－ax1<a－ax2，∴l(xiāng)oga(a－ax1)<loga(a－ax2)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(－∞，1)上為減函數(shù)．[方法總結(jié)]解決對數(shù)函數(shù)綜合問題的方法對數(shù)函數(shù)常與函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值以及不等式等問題綜合，求解中通常會涉及對數(shù)運(yùn)算．解決此類綜合問題，首先要將所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合涉及的知識點(diǎn)，明確各知識點(diǎn)的應(yīng)用思路、化簡方向，與所求目標(biāo)建立聯(lián)系，從而找到解決問題的思路．[跟蹤訓(xùn)練3]

已知函數(shù)f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a＞0，且a≠1)，設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)．求函數(shù)h(x)的定義域，判斷h(x)的奇偶性，并說明理由．解∵f(x)＝loga(1＋x)的定義域?yàn)閧x|x＞－1}，g(x)＝loga(1－x)的定義域?yàn)閧x|x＜1}，∴h(x)＝f(x)－g(x)的定義域?yàn)閧x|x＞－1}∩{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．∵h(yuǎn)(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(huán)(x)，∴h(x)為奇函數(shù)．1．比較兩個對數(shù)式大小的方法有以下幾種(1)單調(diào)性法；

(2)中間量法：比較不同底數(shù)對數(shù)的大小，常借助中間值0進(jìn)行比較．利用口訣：“同大異小”，判斷對數(shù)的符號．對于對數(shù)logax，a和x均與1比較大小，當(dāng)a和x都同大于(小于)1時，logax大于0，否則logax小于0.(3)分類討論：比較同底數(shù)(不是具體的數(shù)值)的對數(shù)大小，構(gòu)造對數(shù)函數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小．隨堂本課小結(jié)2．兩類對數(shù)不等式的解法(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．①當(dāng)0＜a＜1時，可轉(zhuǎn)化為f(x)＞g(x)＞0；②當(dāng)a＞1時，可轉(zhuǎn)化為0＜f(x)＜g(x)．(2)形如logaf(x)＜b的不等式可變形為logaf(x)＜b＝logaab.①當(dāng)0＜a＜1時，可轉(zhuǎn)化為f(x)＞ab；②當(dāng)a＞1時，可轉(zhuǎn)化為0＜f(x)＜ab.若a>1，則y＝logaf(x)的單調(diào)性與y＝f(x)的單調(diào)性相同，若0<a<1，則y＝logaf(x)的單調(diào)性與y＝f(x)的單調(diào)性相反．另外應(yīng)注意單調(diào)區(qū)間必須包含于原函數(shù)的定義域．3．形如y＝logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)性首先要確保f(x)>0，當(dāng)a>1時，y＝logaf(x)的單調(diào)性在f(x)>0的前提下與y＝

f(x)的單調(diào)性一致．