第五章平行四邊形4多邊形的內(nèi)角和與外角和知識(shí)點(diǎn)1多邊形的內(nèi)角和定理基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.(2024陜西安康白河期末)第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日

至10月8日在杭州舉行,共產(chǎn)生金牌481枚,銀牌480枚,銅牌63

1枚,獎(jiǎng)牌取名“湖山”,以良渚文化中的禮器玉琮為表征,將

八邊形和圓形獎(jiǎng)?wù)氯跒橐惑w,別具一格,具有很高的辨識(shí)度.

八邊形的內(nèi)角和是

(

)C解析八邊形的內(nèi)角和是(8-2)×180°=1080°.故選C.A.720°B.900°

C.1080°D.1260°2.(2024山東德州臨邑開(kāi)學(xué)考試)如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等

于720°,則它的邊數(shù)為

(

)A.3B.4C.6D.5C解析設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n,則(n-2)·180°=720°,解得n=6.

故選C.3.(2023北京西城期末)圖1是一把木工經(jīng)常使用的六角尺,它

能提供常用的幾種測(cè)量角度.在圖2的六角尺示意圖中,x的值

為

(

)

圖1圖2A.135B.120C.112.5D.112C解析根據(jù)題意得x+x+9+126+120+2x-120+135=(6-2)×180,

∴x=112.5,故選C.4.(2022山東煙臺(tái)海陽(yáng)期末)小東在計(jì)算多邊形的內(nèi)角和時(shí)不

小心多加了一個(gè)內(nèi)角,得到的和為1350°,則這個(gè)多邊形的邊

數(shù)是

(

)A.7B.8C.9D.10C解析設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,多加的內(nèi)角的度數(shù)為α,則(n

-2)·180°=1350°-α,∴n-2=

,∵0°<α<180°,∴

<n-2<

,∴6

<n-2<7

,∵n為正整數(shù),∴n-2=7,∴n=9,∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9.5.(新獨(dú)家原創(chuàng))由多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引多邊形的對(duì)角線可以

把多邊形分成10個(gè)三角形,則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為

.

1800°解析設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,則n-2=10,所以n=12,十二邊

形的內(nèi)角和=(12-2)×180°=1800°.知識(shí)點(diǎn)2多邊形外角的定義、外角和定理6.(方程思想)(2024天津河北外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期末)若一個(gè)正n邊形

的內(nèi)角和為720°,則它的每個(gè)外角的度數(shù)是

(

)A.36°B.45°C.72°D.60°D解析由題意得(n-2)×180°=720°,解得n=6,∵正六邊形的外

角和為360°,∴每個(gè)外角的度數(shù)為360°÷6=60°,故選D.7.(2024湖北荊門期末)如圖,五邊形ABCDE的一個(gè)內(nèi)角∠

BAE=120°,則∠1+∠2+∠3+∠4等于

(

)A.100°B.180°C.280°D.300°D解析由題圖可得,與∠BAE相鄰的外角的度數(shù)為180°-120°

=60°,則∠1+∠2+∠3+∠4=360°-60°=300°,故選D.8.(新考法)(2023河南商丘睢陽(yáng)期末)科技館為某機(jī)器人編寫

了一段程序,如果機(jī)器人在平地上按照如圖所示的步驟行走,

那么該機(jī)器人所走的總路程為

(

)

A.12米B.16米C.18米D.24米D解析根據(jù)題意得,機(jī)器人走過(guò)的路線是正多邊形,∵在回到

點(diǎn)A處前,每一次都向前走2米,向左轉(zhuǎn)30°,∴正多邊形的邊數(shù)

=360°÷30°=12,∴總路程為12×2=24(米).故選D.9.(2024河南駐馬店平輿期末)A和B分別是兩個(gè)多邊形,閱讀

A和B的對(duì)話,完成下列各小題.

(1)嘉嘉說(shuō):“因?yàn)锽的邊數(shù)比A多,所以B的外角和比A的

大.”判斷嘉嘉的說(shuō)法是否正確,并說(shuō)明理由.(2)設(shè)A的邊數(shù)為n(n>3).①若n=7,求x的值.②淇淇說(shuō):“無(wú)論n取何值,x的值始終不變.”請(qǐng)用列方程的

方法說(shuō)明理由.解析

(1)嘉嘉的說(shuō)法不正確.理由:多邊形的外角和始終為360°,與多邊形的邊數(shù)無(wú)關(guān).(2)①由題意得180(7+x-2)-180×(7-2)=360,解得x=2,故x的值為2.②由題意得180(n+x-2)-180(n-2)=360,整理得180x=360,解得x=2.∴無(wú)論n取何值,x的值始終不變.10.(易錯(cuò)題)(1)在一個(gè)各個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形中,每個(gè)內(nèi)角都比與其相

鄰?fù)饨堑?倍大20°,求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和.(2)若將一個(gè)正九邊形剪去一個(gè)角,則剩下多邊形的內(nèi)角和是

多少?解析本題(2)問(wèn)容易漏解,當(dāng)剪去的角的位置不同時(shí),出現(xiàn)

的多邊形的邊數(shù)也是不同的,因此內(nèi)角和也會(huì)不同.(1)易知這個(gè)多邊形各個(gè)外角都相等,不妨設(shè)每個(gè)外角為α°,則

與其相鄰的內(nèi)角為(3α+20)°,由題意,得3α+20+α=180,解得α=40,故這個(gè)多邊形的每個(gè)外角為40°.∵多邊形的外角和為360°,∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為360°÷40°=9,∴這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為(9-2)×180°=1260°.(2)將一個(gè)正九邊形剪去一個(gè)角后,邊可能增加了1條,可能減

少了1條,也可能不變.當(dāng)截線為經(jīng)過(guò)2個(gè)頂點(diǎn)的直線時(shí),多邊形的邊減少了1條,此時(shí)內(nèi)角和=(9-1-2)×180°=1080°;當(dāng)截線為只經(jīng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)和一條邊(不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn))的直線時(shí),

多邊形的邊數(shù)不變,此時(shí)內(nèi)角和=(9-2)×180°=1260°;當(dāng)截線為經(jīng)過(guò)相鄰2條邊的直線時(shí)(不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)),多邊形的邊

增加了1條,此時(shí)內(nèi)角和=(9+1-2)×180°=1440°.綜上,將一個(gè)正九邊形剪去一個(gè)角后,剩下多邊形的內(nèi)角和是1080°或1260°或1440°.能力提升全練11.(情境題·生命安全與健康)(2022山東臨沂中考,6,★☆☆)

某一水塘邊的警示牌如圖所示,牌面是五邊形,這個(gè)五邊形的

內(nèi)角和是

(

)

A.900°B.720°C.540°D.360°C解析

(5-2)×180°=540°,故選C.12.(2022山東煙臺(tái)中考,5,★☆☆)一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角和

與它相鄰的外角的度數(shù)比為3∶1,則這個(gè)正多邊形是

(

)A.正方形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形C解析∵一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角和與它相鄰的外角的度數(shù)

比為3∶1,∴設(shè)這個(gè)外角是x°,則與它相鄰的內(nèi)角是3x°,根據(jù)

題意得x+3x=180,解得x=45,這個(gè)多邊形的邊數(shù)為360°÷45°=

8,故選C.13.(2023山東煙臺(tái)萊陽(yáng)期末,10,★★☆)如圖,六邊形ABCDEF

中,CD∥AF,∠D=∠A,AB⊥BC,∠C=120°,∠E=80°,則∠F的

度數(shù)為

(

)

A.120°B.125°C.130°D.140°C解析如圖,延長(zhǎng)CB交FA的延長(zhǎng)線于G,

∵CD∥AF,∴∠C+∠G=180°,∵∠C=120°,∴∠G=60°,∵AB⊥BC,∴∠ABG=∠ABC=90°,∴∠BAG=180°-60°-90°=30°,∴∠BAF=180°-30°=150°,∴∠D=∠BAF=150°,∵∠C+∠D+∠E+∠F+∠BAF+∠ABC=(6-2)×180°=720°,∴∠F=720°-120°-150°-80°-150°-90°=130°.故選C.素養(yǎng)探究全練14.(推理能力)(2023廣東珠海香洲月考)(1)如圖1,已知△ABC為直角三角形,∠C=90°,若沿圖中虛線

剪去∠C,則∠1+∠2等于

°.(2)如圖2,已知△ABC中,∠A=40°,剪去∠A后得到四邊形,求

∠1+∠2的度數(shù).(3)如圖2,請(qǐng)你歸納猜想∠1+∠2與∠A的數(shù)量關(guān)系:

,并說(shuō)明理由.(4)如圖3,若沒(méi)有剪掉∠A,而是把它折成如圖3所示的形狀,

試探究∠1+∠2與∠A的關(guān)系,并說(shuō)明理由.圖1圖2圖3解析

(1)∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∵四邊形的內(nèi)角和為360°,∴∠1+∠2+∠A+∠B=360°,∴∠1+∠2=270°.(2)∵∠A=40°,∴∠B+∠C=140°.∵四邊形的內(nèi)角和為360°,∴∠1+∠2+∠B+∠C=360°,∴∠1+∠2=220°.(3)∠1+∠2與∠A的數(shù)量關(guān)系是∠1+∠2=180°+∠A.理由:∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B+∠C=180°-∠A,∵四邊形的內(nèi)角和為360°,∴∠1+∠2+∠B+∠C=360°,∴∠1+∠2=180°+∠A.(4)∠1+∠2=2∠BAC.理由:如圖,連接AA',

∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∠APQ