專題8.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】 4【題型2圓錐曲線的弦長問題】 4【題型3圓錐曲線的中點弦問題】 6【題型4圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】 7【題型5圓錐曲線中的最值問題】 8【題型6圓錐曲線中的向量問題】 10【題型7圓錐曲線中的探索性問題】 111、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法(2)掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式(3)能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點弦、中點弦問題2022年新高考全國I卷：第22題，12分2022年新高考全國Ⅱ卷：第22題，12分2023年新高考I卷：第22題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第21題，12分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第20題，12分2024年新高考I卷：第16題，15分2024年新高考Ⅱ卷：第10題，6分2024年新高考Ⅱ卷：第19題，17分圓錐曲線是高考的熱點內(nèi)容，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是每年高考必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，本節(jié)內(nèi)容主要以解答題的形式考查，考查方向主要有兩個方面：一是平面解析幾何通性通法的研究；二是圓錐曲線中的弦長、面積、最值、定點、定值或定直線等問題的求解；有時會與向量、數(shù)列等知識結(jié)合考查，其思維要求高，計算量較大，需要靈活求解.【知識點1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】1．直線與圓錐曲線的位置判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交；直線與圓錐曲線相切；直線與圓錐曲線相離.特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點.②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點.【知識點2圓錐曲線中的弦長問題】1．橢圓的弦長問題(1)定義：直線與橢圓的交點間的線段叫作橢圓的弦.

(2)弦長公式：設(shè)直線l:y=kx+m交橢圓+=1(a>b>0)于，兩點，則或.2．雙曲線的弦長問題①弦長公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長d.

②解決此類問題時要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時，利用韋達(dá)定理、點差法的解題過程中，并沒有條件確定直線與圓錐曲線一定會相交，因此，最后要代回去檢驗.

④雙曲線的通徑：

過焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點在x軸上還是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.3．拋物線的弦長問題設(shè)直線與拋物線交于A,B兩點，則

|AB|==或

|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).【知識點3圓錐曲線中的中點弦與焦點弦問題】1．橢圓的“中點弦問題”(1)解決橢圓中點弦問題的兩種方法

①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決.

②點差法：利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.設(shè)，，代入橢圓方程+=1(a>b>0)，得，

①-②可得+=0，

設(shè)線段AB的中點為，當(dāng)時，有+=0.

因為為弦AB的中點，從而轉(zhuǎn)化為中點與直線AB的斜率之間的關(guān)系，這就是處理弦中點軌跡問題的常用方法.(2)弦的中點與直線的斜率的關(guān)系

線段AB是橢圓+=1(a>b>0)的一條弦，當(dāng)弦AB所在直線的斜率存在時，弦AB的中點M的坐標(biāo)為，則弦AB所在直線的斜率為，即.2．雙曲線的“中點弦問題”“設(shè)而不求”法解決中點弦問題：①過橢圓內(nèi)一點作直線，與橢圓交于兩點，使這點為弦的中點，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的這類問題中，則不能確定.要注意檢驗.

②在解決此類問題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.常用的解題技巧是如何應(yīng)用直線方程將轉(zhuǎn)化為能用韋達(dá)定理直接代換的.垂直關(guān)系有時用向量的數(shù)量關(guān)系來刻畫，要注意轉(zhuǎn)化.3．拋物線的焦點弦問題拋物線=2px(p>0)上一點A與焦點F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦點弦，則焦點弦長為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標(biāo)).設(shè)過拋物線焦點的弦的端點為A,B，則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的弦長公式為：標(biāo)準(zhǔn)方程弦長公式y(tǒng)2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)【知識點4圓錐曲線中最值問題的解題策略】1.處理圓錐曲線最值問題的求解方法圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.【知識點5圓錐曲線中的探索性問題的解題策略】1.圓錐曲線中的探索性問題此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對參數(shù)的討論.【方法技巧與總結(jié)】1．已知M，N是橢圓C：+=1(a>b>0)上的兩點，點O為坐標(biāo)原點，且P是M，N的中點，則.2．若曲線為雙曲線，其余條件不變，則.3．若曲線為拋物線，P為弦MN的中點：(開口向右)，(開口向左)，(開口向上)，(開口向下).【題型1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】【例1】（2024·山東·模擬預(yù)測）已知直線l：y=kx+1，橢圓C：x24+y2=1，則“k=0”是“l(fā)與C相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【變式1-1】（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知雙曲線E:x24?y25A．4條 B．3條 C．2條 D．1條【變式1-2】（2024·江蘇宿遷·三模）已知拋物線C:x2=y，點M(m,1)，則“m>1”是“過M且與CA．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-3】（2024·上?！つM預(yù)測）已知直線l與橢圓Γ，點F1,F2分別為橢圓Γ:x22+y2=1的左右焦點，直線F1M⊥l，A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要【題型2圓錐曲線的弦長問題】【例2】（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知雙曲線E:x2a2?(1)求雙曲線E的離心率；(2)設(shè)直線y=12x?12與雙曲線E交于點P【變式2-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若傾斜角為π4的直線l與C相交于兩個不同的點A,B，求AB【變式2-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)M,N分別是雙曲線C左、右兩支上的動點，A為雙曲線C的左頂點，若直線AM,AN的斜率分別為k1,k2，且【變式2-3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知橢圓C1:x2a2+y2(1)求橢圓C1(2)若橢圓C1的焦距長為2，直線l過點B．設(shè)l與拋物線C2相交于不同的兩點M、N，且△OMN的面積為24，求線段【題型3圓錐曲線的中點弦問題】【例3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的方程；(2)過點F?43,0作斜率為32的直線交橢圓C【變式3-1】（2024·廣東·二模）已知雙曲線C:x2a2?(1)求雙曲線C的方程；(2)若A,B為雙曲線C上的兩點且不關(guān)于原點對稱，直線l:y=13x過AB【變式3-2】（2024·陜西西安·三模）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l:y=kx+2交橢圓C于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標(biāo)為?23【變式3-3】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點，拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為F(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線l交C于M，N兩點，且MN的中點為2,1，求直線【題型4圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】【例4】（2024·河北·模擬預(yù)測）已知直線l過橢圓C:x2a2+y2(1)求C的離心率；(2)設(shè)點P(3,1)，求△ABP的面積．【變式4-1】（2024·山東濟(jì)南·二模）已知點B4,3是雙曲線T:x2a2?y2(1)求雙曲線T的方程及點A的坐標(biāo)；(2)過A且斜率非負(fù)的直線與T的左?右支分別交于N,M.過N做NP垂直于x軸交T于P（當(dāng)N位于左頂點時認(rèn)為N與P重合）.C為圓E:(x?1)2+(y+2)2【變式4-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知點A4,4，B，C，D均在拋物線W：x2=2pyp>0上，A，C關(guān)于y軸對稱，直線AB，AD關(guān)于直線AC對稱，點D在直線AC的上方，直線AD交y軸于點(1)求△ABE面積的最大值；(2)記四邊形BCDE的面積為S1，△ABE的面積為S2，若S1【變式4-3】（2024·陜西寶雞·三模）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）和圓C：x2+y2=1，C經(jīng)過E的右焦點(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)D，A是橢圓E的左、右頂點，過F的直線l交E于M，N兩點（其中M點在x軸上方），求△MAF與△DNF的面積之比的取值范圍.【題型5圓錐曲線中的最值問題】【例5】（2024·新疆·二模）已知橢圓C:x2a2+y2b2(1)求C的方程；(2)設(shè)過點R1,13的直線l與C交于M，N兩點，若動點P滿足PM=λMR，PN=?λNR【變式5-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知P14,1為拋物線C：y2=2pxp>0上的一點，直線x=my+n交C于A，(1)求C的準(zhǔn)線方程；(2)求mn?【變式5-2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知橢圓C：x26+y22=1的左右焦點分別是F(1)求E的方程：(2)若E上任意一點H（異于頂點），作直線HF1交C于A,B，作直線HF2交C于【變式5-3】（2024·安徽·三模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，動直線l:y=kx+m與(1)求C的方程；(2)若點O到l的距離為1,C的左?右頂點分別為A1,A2，記直線A1【題型6圓錐曲線中的向量問題】【例6】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）橢圓C的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在y軸上，離心率e=22，橢圓上的點到焦點的最短距離為1?e，直線l與y軸交于點P(0,m)（m≠0），與橢圓C交于相異兩點A、B，且(1)求橢圓方程；(2)求m的取值范圍．【變式6-1】（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右頂點分別為A，B，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)(1)求雙曲線E的方程；(2)當(dāng)直線l過點4,0時，求AP?【變式6-2】（2024·福建廈門·二模）已知A?2,0，B2,0，P為平面上的一個動點.設(shè)直線AP,BP的斜率分別為k1，k2，且滿足k1(1)求Γ的軌跡方程；(2)直線PA，PB分別交動直線x=t于點C,D，過點C作PB的垂線交x軸于點H.HC?【變式6-3】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率是雙曲線x2(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)過點Q0,2的動直線l與橢圓C相交于兩個不同點A,B時，設(shè)AQ=λQB【題型7圓錐曲線中的探索性問題】【例7】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知雙曲線E：x2a2?y(1)求雙曲線E的方程；(2)是否存在過點F2的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A，B兩點，且使得∠F1【變式7-1】（2024·上海長寧·二模）已知橢圓Γ:(1)求Γ的離心率e；(2)設(shè)點N1,0，點M在Γ上，求MN(3)點T2,1，點P在直線x+y=3上，過點P且與OT平行的直線l與Γ交于A,B兩點；試探究：是否存在常數(shù)λ，使得PA【變式7-2】（2024·全國·二模）橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b≥3)的離心率為223，左、右頂點分別為A，B，過點M(3,0)(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線AP與直線x=t的交點為N，是否存在定實數(shù)t，使Q，B，N三點共線?若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.【變式7-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點P0,1的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于點A,B．問：在y軸上是否存在定點Q，使直線AQ與BQ的斜率之和為定值？若存在，求出點Q一、單選題1．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知直線kx+y+2k=0與橢圓x23+y2A．2 B．12 C．±2 D．2．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）已知橢圓x24+y2A．y=12x B．y=?2x C．y=?3．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，F(xiàn)A⊥FB，F(xiàn)A=2A．±1 B．±2 C．±34．（2024·北京海淀·三模）已知拋物線y2=4x的焦點為F、點M在拋物線上，MN垂直y軸于點N，若MF=6，則△MNFA．8 B．45 C．55 5．（2024·河南信陽·三模）已知橢圓y29+x2=1，P為橢圓上任意一點，過點P分別作與直線l1:y=3x和l2:y=?3x平行的直線，分別交l2A．1 B．2 C．3 D．46．（2024·黑龍江·二模）雙曲線C:x2a2?y2b2=1的左、右頂點分別為A1，A2，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2A．32 B．43 C．527．（2024·陜西商洛·三模）已知拋物線E:y2=2pxp>0的焦點為F，過F的直線交E于A，B兩點，點P滿足OP=λOF0<λ<1，其中O為坐標(biāo)原點，直線AP交E于另一點C，直線BP交E于另一點D，記△PAB，△PCD的面積分別為SA．λ B．2λ C．λ2 D．8．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）如圖，拋物線E：y2=2pxp>0的焦點為F，過點Mp,0的直線l1，l2與E分別相交于Ax1,y1，Bx2,y2和

A．p=4B．yC．若AD，BC的斜率分別為k1，k2D．若△FAB的面積為22，則△FCD的面積為二、多選題9．（2024·廣東茂名·二模）已知雙曲線C:4x2?y2A．若k=2，則l與C僅有一個公共點B．若k=22，則l與CC．若l與C有兩個公共點，則2<k<2D．若l與C沒有公共點，則k>210．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知A?2,0，B2,0，C1,0，動點M滿足MA與MB的斜率之積為?34，動點M的軌跡記為Γ，過點C的直線交Γ于P，Q兩點，且P，QA．M的軌跡方程為xB．MC的最小值為1C．若O為坐標(biāo)原點，則△OPQ面積的最大值為3D．若線段PQ的垂直平分線交x軸于點D，則R點的橫坐標(biāo)是D點的橫坐標(biāo)的4倍11．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知橢圓x22+y2=1,O為原點，過第一象限內(nèi)橢圓外一點Px0,y0A．直線AB過定點 B．k1C．x0?y0的最大值為2三、填空題12．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=6x的焦點為F，過點F的直線l與拋物線C交于M，N兩點，若|MN|=54，則直線l的斜率為13．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,A,B為C上的兩點．若直線FA的斜率為12，且FA?FB=0，延長AF,BF分別交C于P,Q14．（2024·