2025屆廣東省百校高二數(shù)學第一學期期末達標檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個數(shù)為（）①②③A.0 B.1C.2 D.32．定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對恒成立，其中為的導函數(shù)，則A.B.C.D.3．在等比數(shù)列中，，是方程的兩個實根，則（）A.-1 B.1C.-3 D.34．已知點，，若直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且它們的離心率之積為1，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.6．設等差數(shù)列的公差為d，且，則（）A.12 B.4C.6 D.87．已知四面體，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則（）A.1 B.2C.-1 D.-28．已知直線，，若，則實數(shù)（）A. B.C.1 D.29．已知分別是橢圓的左，右焦點，點M是橢圓C上的一點，且的面積為1，則橢圓C的短軸長為（）A.1 B.2C. D.410．《米老鼠和唐老鴨》這部動畫給我們的童年帶來了許多美好的回憶，令我們印象深刻.如圖所示，有人用3個圓構成米奇的簡筆畫形象.已知3個圓方程分別為：圓圓，圓若過原點的直線與圓、均相切，則截圓所得的弦長為（）A. B.C. D.11．過拋物線的焦點作直線l，交拋物線與A、B兩點，若線段中點的縱坐標為3，則等于（）A.10 B.8C.6 D.412．已知向量為平面的法向量，點在內，點在外，則點到平面的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，且，則_____________14．已知點，則線段的垂直平分線的一般式方程為__________.15．過點，且周長最小的圓的標準方程為______16．已知拋物線的頂點為O，焦點為F，動點B在C上，若點B，O，F(xiàn)構成一個斜三角形，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的兩焦點為、，P為橢圓上一點，且（1）求此橢圓的方程；（2）若點P在第二象限，，求的面積18．（12分）已知拋物線C的方程是.（1）求C的焦點坐標和準線方程；（2）直線l過拋物線C的焦點且傾斜角為，與拋物線C的交點為A，B，求的長度.19．（12分）若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點坐標分別為和，且該雙曲線經(jīng)過點P(3，1)（1）求雙曲線的方程；（2）若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且，求直線l的斜率20．（12分）已知函數(shù)（1）證明；（2）設，證明：若一定有零點，并判斷零點的個數(shù)21．（12分）某地區(qū)2021年清明節(jié)前后3天每天下雨的概率為50%，通過模擬實驗的方法來計算該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率．用隨機數(shù)x（，且）表示是否下雨：當時表示該地區(qū)下雨，當時，表示該地區(qū)不下雨，從隨機數(shù)表中隨機取得20組數(shù)如下：332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719（1）求出m的值，并根據(jù)上述數(shù)表求出該地區(qū)清明節(jié)前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）從2012年到2020年該地區(qū)清明節(jié)當天降雨量（單位：）如表：（其中降雨量為0表示沒有下雨）．時間2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年年份t123456789降雨量y292826272523242221經(jīng)研究表明：從2012年至2021年，該地區(qū)清明節(jié)有降雨的年份的降雨量y與年份t成線性回歸，求回歸直線方程，并計算如果該地區(qū)2021年（）清明節(jié)有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，，，22．（10分）某快遞公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）.（1）求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù)；（2）在這60天中包裹件數(shù)在和的兩組中，用分層抽樣的方法抽取30件，求在這兩組中應分別抽取多少件？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷【詳解】設的公差為，則，是等差數(shù)列，，是常數(shù)列，也是等差數(shù)列，若，則不是等差數(shù)列，故選：C2、D【解析】分別構造函數(shù)，，，，利用導數(shù)研究其單調性即可得出【詳解】令，，，，恒成立，，，，函數(shù)在上單調遞增，，令，，，，恒成立，，函數(shù)在上單調遞減，，．綜上可得：，故選：D【點睛】函數(shù)的性質是高考的重點內容,本題考查的是利用函數(shù)的單調性比較大小的問題,通過題目中給定的不等式,分別構造兩個不同的函數(shù)求導判出單調性從而比較函數(shù)值得大小關系．在討論函數(shù)的性質時，必須堅持定義域優(yōu)先的原則．對于函數(shù)實際應用問題，注意挖掘隱含在實際中的條件，避免忽略實際意義對定義域的影響3、B【解析】由韋達定理可知，結合等比中項的性質可求出.【詳解】解：在等比數(shù)列中，由題意知：，，所以，，所以且，即.故選：B.4、B【解析】直接利用兩點間的坐標公式和直線的斜率的關系求出結果【詳解】解：直線過點且斜率為，與連接兩點，的線段有公共點，由圖，可知，，當時，直線與線段有交點故選：B5、A【解析】計算雙曲線的焦點為，離心率，得到橢圓的焦點為，離心率，計算得到答案.【詳解】雙曲線的焦點為，離心率，故橢圓的焦點為，離心率，即.解得，故橢圓標準方程為：.故選：.【點睛】本題考查了橢圓和雙曲線的離心率，焦點，橢圓的標準方程，意在考查學生的計算能力.6、B【解析】利用等差數(shù)列的通項公式的基本量計算求出公差.【詳解】，所以.故選：B7、D【解析】在四面體中，取定一組基底向量，表示出，，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.【詳解】四面體所有棱長均為2，則向量不共面，兩兩夾角都為，則，因點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則，，，所以.故選：D8、D【解析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結果.【詳解】因為直線，，且，所以，故選：D.9、B【解析】首先分別設，，再根據(jù)橢圓的定義和性質列出等式，即可求解橢圓的短軸長.【詳解】設，，所以，即，即，得，短軸長為.故選：B10、A【解析】設直線，利用直線與圓相切，求得斜率，再利用弦長公式求弦長【詳解】設過點的直線.由直線與圓、圓均相切，得解得(1).設點到直線的距離為則(2).又圓的半徑直線截圓所得弦長結合(1)(2)兩式，解得11、B【解析】根據(jù)拋物線的定義求解【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，設，則，所以，故選：B12、A【解析】先求出向量，再利用空間向量中點到平面的距離公式即可求解.【詳解】解：由題知，點在內，點在外，所以又向量為平面的法向量所以點到平面的距離為：故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由共線向量得，解方程即可.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：214、【解析】由中點坐標公式和斜率公式可得的中點和直線斜率，由垂直關系可得垂直平分線的斜率，由點斜式可得直線方程，化為一般式即可【詳解】由中點坐標公式可得，的中點為，可得直線的斜率為，由垂直關系可得其垂直平分線的斜率為，故可得所求直線的方程為：，化為一般式可得故答案為：15、【解析】方法一：根據(jù)當線段為圓的直徑時，圓周長最小，由線段的中點為圓心，其長一半為半徑求解；方法二：根據(jù)當線段為圓的直徑時，圓周長最小，根據(jù)以AB為直徑的圓的方程求解.【詳解】方法一：當線段為圓的直徑時，過點，的圓的半徑最小，從而周長最小，即圓心為線段的中點，半徑則所求圓的標準方程為方法二：當線段為圓的直徑時，過點，的圓的半徑最小，從而周長最小又，，故所求圓的方程為，整理得，所以所求圓的標準方程為16、2【解析】畫出簡單示意圖，令，根據(jù)拋物線定義可得，應用數(shù)形結合及B在C上，求目標式的值.【詳解】如下圖，令，直線為拋物線準線，軸，由拋物線定義知：，又且，所以，故，又，故.故答案為：2.【點睛】關鍵點點睛：應用拋物線的定義將轉化為，再由三角函數(shù)的定義及點在拋物線上求值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題可得，根據(jù)橢圓的定義，求得，進而求得的值，即可求解；（2）由題可得直線方程為，聯(lián)立橢圓方程可得點P，利用三角形的面積公式，即求.【小問1詳解】設橢圓的標準方程為，焦距為，由題可得，，所以，可得，即，則，所以橢圓的標準方程為【小問2詳解】設點坐標為，，，∵，∴所在的直線方程為，則解方程組，可得，∴.18、（1）焦點為，準線方程：（2）【解析】（1）拋物線的標準方程為，焦點在軸上，開口向右，，即可求出拋物線的焦點坐標和準線方程；（2）現(xiàn)根據(jù)題意給出直線的方程，代入拋物線，求出兩交點的橫坐標的和，然后利用焦半徑公式求解即可【小問1詳解】（1）拋物線的標準方程是，焦點在軸上，開口向右，，∴，∴焦點為，準線方程：.【小問2詳解】∵直線l過拋物線C的焦點且傾斜角為，，∴直線L的方程為，代入拋物線化簡得，設，則，所以故所求的弦長為1219、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意列方程組求解（2）待定系數(shù)法設直線后，由條件求出坐標后代入雙曲線方程求解【小問1詳解】，解得，故雙曲線方程為【小問2詳解】，故設直線方程為則，由得：故，點在雙曲線上，則，解得直線l的斜率為20、（1）證明見解析；（2）證明見解析，1個零點.【解析】(1)求導同分化簡，構造新函數(shù)判斷導數(shù)正負即可；(2)令g(x)＝0，化簡方程，將問題轉化為討論方程解的個數(shù)問題.【小問1詳解】,設，則，時，遞減，時，遞增，而，所以時，，所以；小問2詳解】有零點，則有解，即有解，又，則只要，因為，方程可以化為，現(xiàn)在證明有解，令，則，可知在遞減，在遞增，所以，因為，所以，在內恒有，而在遞增，當x＝時，h()＝，故根據(jù)零點存在性定理知在存在唯一零點.所以有且只有一個零點，所以有零點，有一個零點【點睛】本題關鍵是是將方程零點問題轉化為方程解的問題，通過討論單調性和最值（極值）的正負即可判斷零點的有無和個數(shù).21、（1），；（2）；該地區(qū)2020年清明節(jié)有降雨的話，降雨量為20.2mm【解析】（1）利用概率模擬求概率；（2）套用公式求回歸直線方程即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，解得，即表示下雨，表示不下雨，所給的20組數(shù)據(jù)中714,740,491,272,073,445,435,027,共8組表示3天中恰有兩天下雨，故所求的概率為；（2）由題中所給的數(shù)據(jù)可得，，所以，，所以回歸方程為，當時，，所以該地區(qū)2020年清明節(jié)有降雨的話，降雨量為20.2mm【點睛】求線性回歸方程的步驟：①求出；②套公式求出