19.2.4證明舉例—兩線垂直一、填空題1．如圖，A，B，C三點在同一條直線上，∠A=∠C=90°，AB=CD，請?zhí)砑右粋€適當?shù)臈l件___，使得△EAB≌△BCD．二、解答題2．如圖，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD．求證：CD⊥AC．3．已知，，，．直線過點，交、于點、．（1）若是中線，求證：；（2）若，求證：．4．如圖，在中，已知，平分，且，求證：．5．如圖，在中，，點，、分別在邊、、上，，，是的中點，求證：．6．將兩塊全等的直角三角形如圖（1）擺放，其中，．

（1）

（2）（1）求證：；（2）將圖中的繞點順時針旋轉得到圖（2），、交于點，、交于，求證：．7．如圖，在中，，，且，，求證：．8．如圖，在中，，平分交于，是上一點，且，求證：．9．如圖，≌，，．（1）求的長；（2）若、、在一條

直線上，則與垂直嗎？為什么？10．如圖，在△ABC中，AB=AC，D點在BA的延長線上，點E在AC上，且AD=AE，DE的延長線交BC于點F，求證：DF⊥BC．

19.2.4證明舉例—兩線垂直一、填空題1．如圖，A，B，C三點在同一條直線上，∠A=∠C=90°，AB=CD，請?zhí)砑右粋€適當?shù)臈l件___，使得△EAB≌△BCD．【答案】AE=CB（答案不唯一）【詳解】解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，∴若添加AE=CB可由“SAS”證得△EAB≌△BCD，故答案為：AE=CB（答案不唯一）二、解答題2．如圖，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD．求證：CD⊥AC．【答案】見解析【分析】過D作DE⊥AB于E，根據(jù)等腰三角形性質推出AE=AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根據(jù)SAS證△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．【詳解】過D作DE⊥AB于E，∵AD＝BD，DE⊥AB∴AE＝AB，∠DEA＝90°，∵2AC＝AB∴AE＝AC∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD，在△DEA和△DCA中，，∴△DEA≌△DCA，∴∠ACD＝∠AED，∴∠ACD＝90°，∴AC⊥DC．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定的應用，關鍵是求出△DEA≌△DCA，主要培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力，題目比較好，難度適中．3．已知，，，．直線過點，交、于點、．（1）若是中線，求證：；（2）若，求證：．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【分析】（1）延長至，使，易證≌，可得，，再根據(jù)可得，再利用∠BAC、∠BAE、∠EAD和∠DAC四個角和為360°，可得，利用△AEF的內角和可得，可得，即可證明≌，最后利用等角的余角相等的等量代換以及△ABN的內角和為180°可得出結論.（2）過點作交的延長線于，則，根據(jù)，可得；，可得，等量代換得出．根據(jù)周角等于360°，可得；根據(jù)三角形內角和可得，可得，則可證明≌（AAS），得到；易證≌，即可得到．【詳解】解：（1）如圖，延長至，使，∵是中線，∴．在和中，，∴≌（SAS）．∴，．∵，∴．∵，，∴．∵，∴．在和中，，∴≌（SAS）．∴．∵，∴．∴．在中，，∴．（2）如圖，過點作交的延長線于，則，∵，∴．∵，∴．∴．∵，，∴．∵，∴．在和中，，∴≌（AAS）．∴．∵，∴．在和中，，∴≌（AAS）．∴．【點睛】本題考查三角形全等以及角度之間的等量代換，第（1）題通過“倍長中線”這一輔助線做法，構造全等三角形，從而得出角相等，在遇到有中線的題目，并且題中沒有全等三角形，那么我們就可以通過延長中線，或者經過中點的線段，構造全等三角形；第（2）題是通過構造平行線，進而得到角相等，構造全等三角形，然后再根據(jù)角之間的等量代換，常見的就是等角的余角相等、等角的補角相等，當直角比較多的地方都可以想到這種方法.4．如圖，在中，已知，平分，且，求證：．【答案】證明見解析【分析】在上截取，連結，可得BE=CD，由角平分線的定義可得∠CAD=∠EAD，推出△ACD≌△ADE，易得DE=CD、∠C=∠AED，即DE=BE，由等腰三角形的性質可得∠B=∠BDE，∠CAB=∠B，進而得到∠C=∠DEB=∠DEA，即可得到結論.【詳解】證明：在上截取，連接，∵，∴．∵平分，∴．在與中，，∴≌．∴，．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．【點睛】本題考查全等三角形、等腰三角形的判定和性質，作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.5．如圖，在中，，點，、分別在邊、、上，，，是的中點，求證：．【答案】證明見解析【分析】連結、，根據(jù)等腰三角形得到，利用SAS證明△BEF與△CFG全等，最后利用等腰三角形”三線合一”的性質證明即可.【詳解】證明：連接、∵∴．在與中，，∴≌（SAS）．∴．∵是的中點，∴．【點睛】本題考查的是全等三角形和等腰三角形的判定與性質，熟知全等三角形的判定方法是解答本題的關鍵.6．將兩塊全等的直角三角形如圖（1）擺放，其中，．

（1）

（2）（1）求證：；（2）將圖中的繞點順時針旋轉得到圖（2），、交于點，、交于，求證：．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質，可得∠A＋∠ABC＝90°，根據(jù)余角的性質，可得∠D＋∠ABC＝90°，∠D＋∠DBF＝90°，即可證明；（2）△ECM和△BCN，根據(jù)全等三角形的性質，可證明．【詳解】（1）如圖延長交于點，∵，，∴．∴．∵，∴．∴．∴．（2）∵，，∴．在和中，，∴≌（ASA）．∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了余角的性質，直角三角形的判定，全等三角形的判定與性質．7．如圖，在中，，，且，，求證：．【答案】詳見解析【分析】根據(jù)可得，即可證明≌，即可證明.【詳解】∵，∴．在和中，，∴≌（SAS）．∴．∴．∴．【點睛】本題考查等邊三角形的性質以及判定，難度不大，注意利用全等三角形的知識證明線段的相等．8．如圖，在中，，平分交于，是上一點，且，求證：．【答案】詳見解析【分析】作EF⊥AC于F，再根據(jù)等腰三角形的性質可得AF＝AC，再證明△ABE≌△AFE可得∠ABE＝∠AFE＝90°．【詳解】作于點，∵，∴．∵，∴．∵平分交于，∴．在和中，，∴≌（SAS）．∴．∴【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形的性質，關鍵是掌握全等三角形的判定定理．9．如圖，≌，，．（1）求的長；（2）若、、在一條

直線上，則與垂直嗎？為什么？【答案】詳見解析【分析】（1）根據(jù)三角形全等，得出邊相等即可求出的長；（2）根據(jù)全等三角形的對應角相等和平角的定義解答．【詳解】（1）∵≌，∴，．∴．（2）∵≌，∴．又、、在一條直線上，∴．∴．【點睛】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等、全等三角形的對應角相等是解題的關鍵．10．如圖，在△ABC中，AB=AC，D點在BA的延長線上，點E在AC上，且AD=AE，DE的延長線交BC于點F，求證：DF⊥BC．【答案】見解析證明．【詳解】試題分析：過A作AM⊥BC于M，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性質及等邊對等角的性質得出∠BAC=2∠D，則∠BAM=∠D，根據(jù)